高中数学三角函数中的数学思想方法学法指导

高中数学三角函数中的数学思想方法三角函数是高中数学的重要内容，它蕴含着丰富的数学思想方法。灵活地借助数学思想方法解题，往往可以避免复杂的运算，优化解题过程，降低解题难度。本文能过实例介绍几种常用的数学思想方法。一. 方程的思想 例1. 已知sin+cos=，（0，），则cot=_。解析：由sin+cos=平方得sincos=。又（0，），所以sin0，cos0，且sin，将sin，cos看作是方程的两根。所以sin=，cos=。从而cot=，应填。二. 函数的思想例2. 已知x，y ，且x3+sinx-2a=0，4y3+sinycosy+a=0，求cos(x+2y)的值。解析：设f(u)=u3+sinu。由式得f(x)=2a，由式得f(2y)=2a。因为f（u）在区间上是单调奇函数，所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。又所因x,-2y，所以x=-2y，即x+2y=0。所以cos(x+2y)=1。三. 数形结合的思想例3. 函数f(x)=sinx+2，x0，2的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_。解析：f(x)=函数f(x)=sinx+2，x0，2的图象（如图1）与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则1k3。四. 化归的思想例4. 设为第四象限的角，若，则tan2=_。解析：因为 = = =，所以，tan2=。又因为为第四象限的角，所以tan=，从而求得tan2=。五. 分类讨论的思想例5. 若ABC的三内角满足sinA=，问此三角形是否可能为直角三角形？解析：假设ABC可以为直角三角形。（1）若B=90，则A=90-C，代入中，得sin(90-C)=，所以cos2C=1+sinC，1-sin2C=1+sinC，所以sinC=1，即C=90。这是不可能的，所以B90。（2）同理，C90。（3）若A=90。式右边=式左边=sinA=sin90=1。所以此三角形可为直角三角形，此时A=90。六. 换元的方法例6. 已知sin3+cos3=1，求sin+cos的值。解析：因为sin3+cos3=(sin+cos)(sin2+cos2-sincos)=(sin+cos)(1-sincos)所以(sin+cos)(1-sincos)=1。设sin+cos=x()，则sincos=。所以x，即x3-3x+2=0，(x-1)2(x+2)=0。因为，所以x-1=0，得x=1。所以sin+cos=1。七. 整体的方法例7. 证明cos。证明：设，b=，则ab=。因为b0，所以a=。即原式得证。八. 类比联想的方法例8. 已知为非零常数，xR，且f(x+)=。问f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。分析：由于探索的是周期函数的问题，容易联想到三角函数。又f(x+)=的结构的形式极易与tan(x+)=进行类比，故可把tanx看成是f(x)的一个原型实例，且题中的相当于实例中的。由于周期函数tanx的周期T=4，故可猜想f(x)也为周期函数，且周期为4