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三角不等式题目研究摘要：本文主要内容是关于三角不等式的证明，通过一道例题分别用三角变化和几何图形来证明，然后介绍了利用这个题目的系列的变式，这样来展示证明三角不等式的特点。例一：在中，求证：证明:几何法:如图,在中设BC=a,AC=b,AB=c,作BAC的平分线AF,则 CAF=BAF=，过B，C两点作AF的垂线，交AF和AF的延长线于D，E两点,BE=C ,CD=b,BCBE+CD.(当且仅当b=c时等式成立)a(b+c) 同理可得： =当且仅当a=b=c时等式成立。即当且仅当A=B =C时等式成立我们再来看看另外一种证法,先证明=22222+ 33=当且仅当A=B =C时等式成立。这里我们给出了两种证明方法，初步体会到三角不等式的证明特点，主要都是利用三角形性质和三角变换，再结合均值不等式。下面我们再简单介绍这个题目的变式和应用。例二：在中，求证： 1cosA + cosB+ cosC cosA + cosB+ cosC= 2coscos+1-2sin2=2coscos+1-2cos2 =1+2 coscoscos) =1+4sinsinsin应用前面证明的在中，0sinsinsin, 即可得到01+4sinsinsin从而得到：10，cosB0， cosC0,cosA cosB cosC3（）3=（当且仅当A=B =C时等式成立） 由于三角变化的灵活性很大，有各种公式，比如像诱导公式，倍角，半角公式，和差化积公式，和1公式等，再加上经常还应用正余弦定理，就导致了三角不等式的变式较多，因此我们要注意总结，对于各种三角变化也非常熟悉，灵活应用各种结论。同时也要注意三角函数的限制条件，题目常会将角度限制在一定的三角形中，这时也可以多利用三角形的特点，利用几何图形来为证明不等式服务。,参考文献：上海中学数学 2008年09期 不等式sinA+sinB+sinC(3/2)3(1/2)的推广 秦伟伟 中学数
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