高中数学一轮复习第8讲抛物线

第8讲 抛物线随堂演练巩固1.已知抛物线的准线与圆相切,则p的值为( ) A.B.1C.2D.4 【答案】C 【解析】抛物线的准线为因为其与圆相切,所以|=4,解得p=2(因为p0). 2.直线l过抛物线的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是( ) A.B. C.D. 【答案】B 【解析】设由抛物线定义可得=8,又AB中点到y轴的距离为2,.p=4. 3.在抛物线上有一点P,若使它到点A(1,3)的距离与它到抛物线焦点的距离之和最小,则点P的坐标是( ) A.(-2,1)B.(1,2) C.(2,1)D.(-1,2) 【答案】B 【解析】如图所示,直线l为抛物线的准线,F为其焦点， 由抛物线的定义知,|PF|=|PN|,|AP|+|PF|=|AP|+|PN|,当且仅当A、P、N三点共线时取等号.当所求距离之和最小时,P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1,又点P在抛物线上,P点坐标为(1,2). 4.已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点在y轴上,抛物线过点(4,-2),则抛物线的标准方程是 . 【答案】 【解析】设抛物线方程为因抛物线过点(4,-2),所以.所以抛物线方程为. 5.已知抛物线的焦点为F,点在抛物线上,过点P作PQ垂直于抛物线的准线,垂足为Q,若抛物线的准线与对称轴相交于点M,则四边形PQMF的面积等于 . 【答案】 【解析】由点在抛物线上,得故抛物线的标准方程为其焦点为F(0,1),准线为y=-1,所以|FM|=2,|PQ|MQ|=1,则直角梯形PQMF的面积等于. 课后作业夯基基础巩固1.若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为( ) A.圆B.椭圆 C.双曲线D.抛物线 【答案】D 【解析】依题意知,点P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P的轨迹是抛物线. 2.在抛物线上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为( ) A.B.1C.2D.4 【答案】C 【解析】由抛物线的定义得故p=2. 3.过点(0,1)作直线,使它与抛物线仅有一个公共点,则这样的直线有( ) A.1条B.2条C.3条D.4条 【答案】C 【解析】结合图形(图略)分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0). 4.已知点P在抛物线上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为( ) A.B. C.(1,2)D.(1,-2) 【答案】A 【解析】点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离,如图, |PF|+|PQ|=|PS|+|PQ|,故最小值在S,P,Q三点共线时取得,此时P,Q的纵坐标都是-1,此时点P坐标为. 5.设斜率为2的直线l过抛物线的焦点F,且和y轴交于点A.若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A.B. C.D. 【答案】B 【解析】抛物线焦点F坐标为故直线l的方程为y=,因此其与y轴交点坐标为因此|=即抛物线方程为. 6.已知过抛物线焦点的弦长为12,则此弦所在直线的倾斜角是( ) A.或B.或 C.或D. 【答案】B 【解析】设弦为AB,则由焦点弦长公式有|AB|即sin.或. 7.已知抛物线上两个动点B、C和点A(1,2),且,则动直线BC必过定点( ) A.(2,5)B.(-2,5) C.(5,-2)D.(5,2) 【答案】C 【解析】设的中点为则直线BC的方程为 即; 又=0,代入式得2(x-5)-由此可知动直线BC恒过x-5=0与y+2=0的交点(5,-2). 8.设抛物线的焦点为F,点A(0,2). 若线段FA的中点B在抛物线上,则点B到该抛物线准线的距离为 . 【答案】 【解析】由已知得将其代入得则B点到准线的距离为. 9.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C相交于A,B两点.若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为 . 【答案】 【解析】设抛物线方程为将直线y=x代入抛物线方程可得解之,得y=0或y=2p.由AB的中点坐标为(2,2)可得2p=4,即p=2,抛物线C的方程为4x. 10.(2012山东泰安月考)已知点M是抛物线上的一点,F为抛物线的焦点,A在圆C:上,则|MA|+|MF|的最小值为 . 【答案】4 【解析】依题意得|MA|+|MF|MC|-1)+|MF|=(|MC|+|MF|)-1,由抛物线的定义知|MF|等于点M到抛物线的准线x=-1的距离,结合图形不难得知,|MC|+|MF|的最小值等于圆心C(4,1)到抛物线的准线x=-1的距离,即为5,因此所求的最小值为4. 11.一抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线b0)的一个焦点,并与双曲线实轴垂直,又此抛物线与双曲线的一个交点为求该抛物线与双曲线的方程. 【解】由题设知,抛物线以双曲线的右焦点为焦点,准线过双曲线的左焦点,p=2c. 设抛物线方程为. 抛物线过点. c=1.故抛物线方程为. 又双曲线过点 .又. 或舍). .故双曲线方程为. 12.已知一动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切,点C在l上. (1)求动圆圆心的轨迹M的方程. (2)设过点P,且斜率为的直线与曲线M相交于A、B两点,问ABC能否为正三角形?若能,求出C点的坐标,若不能,说明理由. 【解】(1)依题意,曲线M是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,所以曲线M的方程为.如图所示. (2)由题意得,直线AB的方程为 由 消y得. 解得. 若ABC能为正三角形, 设C(-1,y),则|AC|=|AB|=|BC|,即 组成的方程组无解,因此直线l上不存在点C使ABC是正三角形. 13.已知定点F(0,1)和直线:y=-1,过定点F与直线相切的动圆圆心为点C. (1)求动点C的轨迹方程; (2)过点F的直线交动点C的轨迹于两点P、Q,交直线于点R,求的最小值. 【解】(1)由题设知点C到点F的距离等于它到直线的距离, 点C的轨迹是以F为焦点为准线的抛物线. 所求轨迹的方程为. (2)由题意设直线的方程为y=kx+1, 与抛物线方程联立消去y,得. 设则. 直线PQ的斜率易得点R的坐标为 当且仅当时取到等号, 即的最小值为16. 拓展延伸14.如图,过点F(1,0)的直线l与抛物线C:交于A、B两点. (1)若|AB|=8,求直线AB的方程; (2)记抛物线C的准线为l,设直线OA、OB分别交l于点N、M,求的值. 【解】(1)设|AB|=8,即 又p=2,.