高中数学总体特征数的估计和线性回归方程例题解析苏教必修三

总体特征数的估计和线性回归方程 例题解析【例1】下面是某一个工厂所有工作人员在某个月的工资，总经理6000元，技术工人甲900元，技术工作人员乙800元，杂工640元，服务员甲700元，服务员乙640元，会计820元.（1）计算所有工作人员的平均工资；解析：所有工作人员平均工资为=（6000+900+800+640+700+640+820）=1500（元）.（2）去掉总经理后，再计算平均工资；解析：去掉总经理后平均工资为=（900+800+640+700+640+820）=750（元）.（3）在（1）和（2）中两种平均工资哪一种能代表一般工人的收入水平，为什么？解析：能代表一般工人的收入水平的是去掉总经理后的平均工资750元.因为除去总经理之外，工作人员的工资均在900元以下，因此不能以1500元来代表职工的平均工资水平.点评：从本题中，反映出数据中的极端值对平均数的影响较大.一般地，在一组数据中，平均数、众数、中位数能够反映该组数据的集中趋势和平均水平，但有时需要去掉极端值（极大值或极小值）再去计算平均数则更能反映平均水平，这也就是有些比赛中往往会去掉一个最大值和一个最小值再去计算平均成绩的原因.【例2】甲、乙两工人同时加工一种圆柱零件，在他们所加工的零件中各抽取10个进行直径检测，测得数据如下（单位：mm）：甲：19.9，19.7，19.8，20.0，19.9，20.2，20.1，20.3，20.2，20.1；乙：20.0，20.2，19.8，19.9，19.7，20.2，20.1，19.7，20.2，20.4 .（1）分别计算上面两个样本的平均数和方差；（2）若零件规定直径为20.00.5（mm），根据两个样本的平均数和方差，说明谁加工的零件的质量较稳定. 解析：利用s2.因为样本数据在20.0上下波动，故取a20.0，列表如下 .表1（甲工人）x1x1（x120.0）19.919.719.820.019.920.220.120.320.220.10.10.30.200.10.20.10.30.20.10.010.090.0400.010.040.010.090.040.01合计0.20.34表2（乙工人）x1x1（x120.0）20.020.219.819.919.720.220.119.720.220.400.20.20.10.30.20.10.30.20.400.040.040.010.090.040.010.090.040.16合计0.20.52x甲0.0220.020.02（mm），x乙0.0220.020.02（mm），s甲20.10.34100.022=0.0336（mm2），s乙20.10.52100.022=0.0516（mm2）.s甲2s乙2，甲工人加工零件的质量比较稳定.点评：比较两人加工零件的质量的稳定性，这里通过平均数比较不出来，需要使用方差来比较，方差越大说明波动性较大，质量越不稳定.一般地，方差和标准差通常用来反映一组数据的波动大小，在统计中，样本的方差和标准差通常用来估计总体数据的波动大小.【例3】从2001年2月21日0时起，中国电信执行新的电话收费标准，其中本地网营业区内通话费是：前3 min为0.2元（不足3 min的按3 min计算），以后每分钟加收0.1元（不足1 min的按1 min计算）.上星期天，一位学生调查了A、B、C、D、E五位同学某天打本地网营业区内电话的通话时间情况，原始数据如表1.表1ABCDE第一次通话时间3 min3 min45 s3 min55 s3 min20 s6 min第二次通话时间04 min3 min40 s4 min40 s0第三次通话时间005 min2 min0表2 时间段频数累计频数0t33t44t55t6（1）问D同学这天的通话费是多少？解析：0.2+0.1+0.2+20.1+0.2=0.9（元），D同学这天通话费是0.9元.（2）设通话时间为t min，试根据表1填写频数（落在某一时间段上的通话次数）分布表（表2）；解析：表2：时间段频数累计频数0t323t454t525t61（3）调整前执行的原电话收费标准是：每3 min为0.2元（不足3 min的按3 min计算）.问：这五位同学这天的实际平均通话费与用原电话收费标准算出的平均通话费相比，是增多了，还是减少了？若增多，多多少？若减少，少多少？ 解析：设这五位同学这天的实际平均通话费为元，按原电话收费标准算出的平均通话费为元，则=（20.2+50.3+20.4+0.5）=0.64，=（20.2+80.4）=0.72，=0.720.64=0.08（元） . 这五位同学这天的实际平均通话费比按原电话标准算出的平均通话费减少了0.08元.点评：这是一个实际问题，统计的学习重在应用，要学会从实际生活之中抽取数据，处理数据，重在解决实际问题.本题中对于收费方式的正确理解是问题的关键.【例4】为研究某市家庭年平均收入与年平均生活支出的关系，该市统计调查队随机调查了10个家庭，得数据如下：i（家庭编号）12345678910xi（收入）（千元）0.81.11.31.51.51.82.02.22.42.8yi（支出）（千元）0.71.01.21.01.31.51.31.72.02.5求回归直线方程.解析：列表.i12345678910xi0.81.11.31.51.51.8222.42.8yi0.71.01.21.01.31.51.31.72.02.5xiyi0.561.101.561.501.952.702.603.404.807.00xi20.641.211.692.252.253.244.004.005.767.84yi20.491.01.441.001.692.251.692.894.06.25故可求得=1.72，=1.42，xi2=32.88，yi2=22.7，xiyi=27.17.b=0.833，a=0.013.回归直线方程为y=0.833x0.013.点评：应熟练掌握计算过程和计算器的使用.【例5】随机调查了某地区10个商店的建筑面积x（千m2）与年销售额y（百万元）的样本如下：x（面积）4.06067.240920788.4y（销售额）3.5254.83.5305124.556（1）求y关于x的回归方程；解析：列表.i12345678910xi46067.240920788.4yi3.5254.83.5305124.556xiyi14150028.825.212004524031.54050.4xi21636003651.84160081400496470.56yi212.2562523.0412.259002514420.252536=169.6=16.96，=99.3=9.93.xiyi=3174.9，xi2=5968.4，yi2=1822.79. y=0.48x+1.75.（2）若线性关系存在，那么对于一个拥有一万m2的商店来说，它的年销售额为多少？解析：当x=10时，y=6.55.年销售额约为655万元.点评：本题中，反映了生活中普遍存在的商店的面积与年销售额之间的联系，并根据已有的数据得出线性回归方程.预测面积为一万m2的商店的年销售额，这里的“年销售额约为655万元”并不是说一定能达到，或者达不到，而只是一种估计，体现了统计思维与确定性思维之间的差异.知识总结在本节学习中，要注意体会用样本估计总体的统计思想，也就是通过所抽取的样本的信息来推断总体的有关信息，这样才能体现统计的作用和价值所在，主要表现在：一是利用样本的频率分布来估计总体分布；二是用样本的基本数据特征来估计总体的数据特征，如方差、标准差、平均数等.我们还要明确样本的信息与总体的信息存在着一定的差异，样本所提供的