高中数学指数函数图象与性质教案

指数函数图象与性质一、教学目标1，知识目标：（1）理解指数函数的定义,初步掌握指数函数的图象,性质及其简单应用.（2）通过指数函数的图象和性质的学习,培养学生观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.（3） 通过对指数函数的研究,使学生能把握函数研究的基本方法,激发学生的学习兴趣.2，能力目标：通过数形结合，利用图象来认识，掌握函数的性质，增强学生分析问题，解决问题的能力。二、教学重点和难点 重点：理解指数函数的定义,把握图象和性质. 难点：认识底数对函数值影响的认识.三、教学媒体：多媒体，实物投影（见附件ppt课件）四、教学方法：探究式五、教材分析：(1) 指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究.(2) 本节的教学重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质.难点是对底数在和时,函数值变化情况的区分.指数函数是学生完全陌生的一类函数,对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题,所以从指数函数的研究过程中得到相应的结论固然重要,但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法,所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法,以便能将其迁移到其他函数的研究. 六、教法建议(1) 关于指数函数的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是的样子,不能有一点差异,诸如,等都不是指数函数.(2) 对底数的限制条件的理解与认识也是认识指数函数的重要内容.如果有可能尽量让学生自己去研究对底数,指数都有什么限制要求,教师再给予补充或用具体例子加以说明,因为对这个条件的认识不仅关系到对指数函数的认识及性质的分类讨论,还关系到后面学习对数函数中底数的认识,所以一定要真正了解它的由来.(3) 关于指数函数图象的绘制,虽然是用列表描点法,但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算,也应避免盲目的连点成线,要把表列在关键之处,要把点连在恰当之处,所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论,取得对要画图象的存在范围,大致特征,变化趋势的大概认识后,以此为指导再列表计算,描点得图象.七、教学对象分析及其学习需要分析：指数函数是在学生系统学习了函数概念、分数指数幂,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,学生探究起来很自然，而且容易接受。通过解决实际问题的实例，激发学生学习的兴趣，进一步体会到学习指数函数的重要性，在这几个例子的讲解过程中，学生体现到从具体到抽象，从特殊到一般的思维过程，体会归纳、总结的一般方式、方法，还可以让学生自己举一些体现指数函数在实际生活中应用的例子。八、教学流程图：问题情境从实例入手，激发学生学习的兴趣学生活动从实例中观察总结指数函数的形式，并且讨论其中a的取值建构数学通过学生自己描点列表作图，观察讨论指数函数的性质数学运用通过例1例3，用指数函数的单调性，图象解题巩固练习通过巩固性练习，对学生这一课知识的程度做一个总体认识，以便对下一课的教学做准备学生归纳小结学生通过总结这一课的收获，教师对本课做一个评价教学过程一. 问题情境情境1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,一个这样的细胞分裂次后,得到的细胞分裂的个数与之间,构成一个函数关系,能写出与之间的函数关系式吗? 由学生回答:与之间的关系式,可以表示为.情境2: 庄子曰：一尺之棰，日取其半 ，万世不竭。设木棒的长度为y，经历天数为x，能写出与之间的函数关系式吗? 由学生回答:.（备选情境）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口因此，中国的人口问题是公认的社会问题2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策 按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？ 到2050年我国的人口将达到多少？ 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？1 上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（xN*，x20）能否构成函数？2 一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？二、学生活动问题1：上面的几个函数有什么共同特征？观察讨论得到：从形式上是幂的形式,且自变量均在指数的位置上。（那么就把形如这样的函数称为指数函数，板书题目）定义:形如的函数称为指数函数.(板书)问题2：为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若学生感到有困难,可将问题分解为若会有什么问题?如,此时,等在实数范围内相应的函数值不存在.)讨论得到：若对于都无意义,若则无论取何值,它总是1,对它没有研究的必要.三、建构数学问题3：指数函数的定义域是什么？教师引导学生回顾指数范围,发现指数可以取有理数.此时教师可指出,其实当指数为无理数时,也是一个确定的实数,对于无理指数幂,学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用,所以将指数范围扩充为实数范围,所以指数函数的定义域为.扩充的另一个原因是因为使它更具代表更有应用价值.问题4：刚才分别认识了指数函数中底数,指数的要求,下面我们从整体的角度来认识一下,根据定义我们知道什么样的函数是指数函数,请看下面函数是否是指数函数？(1), (2) , (3) (4), (5).学生回答并说明理由,教师根据情况作点评,指出只有(1)和(3)是指数函数,其中(3) 可以写成,也是指数图象.最后提醒学生指数函数的定义是形式定义,就必须在形式上一摸一样才行,然后把问题引向深入。问题5：有了定义域和初步研究的函数的性质,要研究函数的性质，我们一般从什么入手？（学生回答）追问：如何画出和的图象？学生回答：描点画图，从图象上观察性质。问题6：请同学们用描点画图法画出图象，并且观察函数的性质。此处教师可利用几何画板列表描点,给出十组数据,而学生自己列表描点,至少六组数据.连点成线时,一定提醒学生图象的变化趋势(当越小,图象越靠近轴,越大,图象上升的越快),并连出光滑曲线.学生观察回答： （示意图）（1）定义域 : （2）值域: （3）奇偶性 : 既不是奇函数也不是偶函数（4）截距: 在轴上没有,在轴上为1.（5）单调性：在R是增函数，在R上是减函数问题7：函数和图象有什么关系？学生观察回答：图象关于y轴对称。对于性质1和2可以两条合在一起说,并追问起什么作用.(确定图象存在的大致位置)对第3条还应会证明.对于单调性,我建议找一些特殊点.,先看一看,再下定论.对最后一条也是指导函数图象画图的依据.(图象位于轴上方,且与轴不相交.)问题8：请大家猜想一下，函数和的示意图如何画？（把学生画的用投影打出），学生猜想画图，教师几何画板验证。我们得到：， ，的图象-问题9，通过上面的一组图象，你能归纳出的性质吗？学生观察回答：图象性质定义域值域定点单调性在上是减函数在上是增函数取值情况若，则若，则若，则若，则对称性函数与的图象关于轴对称四、数学应用。1. 利用指数函数单调性比大小. (板书)一类函数研究完它的概念,图象和性质后,最重要的是利用它解决一些简单的问题.首先我们来看下面的问题.例1. 比较下列各组数的大小 (1) 与 ;； （3）首先让学生观察两个数的特点,有什么相同?由学生指出它们底数相同,指数不同.再追问根据这个特点,用什么方法来比较它们的大小呢?让学生联想指数函数,提出构造函数的方法,即把这两个数看作某个函数的函数值,利用它的单调性比较大小.然后以第(1)题为例,给出解答过程. 解：（1）考察指数函数y=1.7x，由于底数1.71，所以指数函数y=1.7x在R上是增函数。因为2.53，所以1.72.5 1.73 。（2）考察指数函数y=0.8x,由于底数 00.8- 0.2，所以0.8-0.11.70 = 1，0.83 1，0.83 0.83 方法小结： 对于比较大小的问题，若是底数相同，则用指数函数的单调性.具体步骤如下：（1） 确定函数；（2） 判断增减；（3） 比较大小。例2判别下列各题中 m, n的大小：（1 ）1.5m1.5n ; （2）0.125m1，所以指数函数y=1.5x在R上是增函数。因为1.5m1.5n，所以mn .（2）考察指数函数y=0.125x，由于底数0.1251，所以指数函数y=0.125x在R上是减函数。因为0.125mn方法小结： 对于判别大小的问题，若是底数相同，则用指数函数的单调性.具体步骤如下：（1） 确定函数；（2） 判断增减；（3）判别大小。例3已知，求实数的取值范围；已知，求实数的取值范围解：因为，所以指数函数在上是增函数由，可得，即的取值范围为因为所以指数函数在上是减函数，因为所以 由此可得，即的取值范围为五、课堂评价练习1. 由指数函数定义判断下列函数是否是指数函数： (1) y=0.2x (2)y=(-2)x (3)y=2x+2 (4)y=(1/3)x (5)y=1x (6) y=x2解：只有 (1) y=0.2x (4)y=(1/3)x 是指数函数。练习2 . 某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成（ ） A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个 解：每小时分裂三次，小时共分裂次，所以经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成 个。选择为B练习3 .下列结论中正确的是( )A. 任何指数函数都是增函数; B. 所有的指数函数都是单调函数;C. 指数函数的图象与X轴必相交; D. 所有的指数函数值域都是实数集。分析该题结合指数函数的图象一目了然，说明图象是性质的载体。选B。 练习4 . 比较下列各题中两个值的大小(1) 30.8 30.7 (2) 0.7-0.1 0.70.1 (3) 0.53 30.5 解：（1）考察指数函数y=3x，由于底数31，所以指数函数y=3x在R上是增函数。因为0.80.7，所以30.8 30.7（2）考察指数函数y=0.7x，由于底数0.71，所以指数函数y=0.7x在R上是减函数。因为-0.1 0.70.1（3）由指数函数的性质知30.5 30 = 1，0.53 1，0.53 0.53练习5 . 判别下列各题中 m, n的大小:(1) 0.99m1.01n解 ：（1）考察指数函数y=0.99x，由于底数0.991，所以指数函数y=0.99x在R上是减函数。因为0.99mn .（2）考察指数函数y=1.01x，由于底数1.011，所以指数函数y=1.01x在R上是增函数。因为1.01m 1.01n，所以m n .六、小结归纳1. 指数函数的概念2. 指数函数的图象和性质3. 简单应用七 、板书设计投影2.6指数函数 二.图象与性质 三.应用指数函数的概念 1.画图象的方法 1.比较大小 定义 2.草图 例1. 几点说明 3.性质 例2.练习 八、教后反思（上完这一课，教者有什么收获？）九、扩展资料：扩展资料：富兰克林的遗嘱-关于指数效应富兰克林是美国著名的科学家,一生为科学和民主革命而工作.在他死后,只留下一千英镑的遗产,可令人惊讶的是,他竟留下一份分配几百万英镑的遗嘱,遗嘱的内容是这样的:“一千英镑赠给波士顿的居民,他们得把这钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息,这款子过了100年增加到131000英镑,用100000英镑建立一所公共建筑物,剩下的31000英镑继续生息100年,在第二个100年末,这笔款增加到4061000英镑,其中1061000英镑还是由波士顿的居民支配,而其余的