高中数学三角函数式的化简与求值文苏教必修5知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学三角函数式的化简与求值高二数学三角函数式的化简与求值 文文 苏教版苏教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 三角函数式的化简与求值 二. 教学目标： 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一。通过本节的学习使考生掌握化 简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们 的解题效果，做到事半功倍。 三. 知识要点： 1. 两角和与差的正、余弦公式两角和与差的正、余弦公式 sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos( sin()sincoscossinsin()sincoscossin tantan1 tantan )tan( tantan1 tantan )tan( 2. 二倍角公式二倍角公式 ； cossin22sin ； 2222 sin211cos2sincos2cos ； 2 tan1 tan2 2tan 注意：（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适 用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 （2）二倍角公式为不仅限于是的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的。2 （3）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想 相应角的公式。 （4）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次） 。 （5）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 这两个形式今后常用。 2 2cos1 sin, 2 2cos1 cos 22 3. 几个三角恒等式几个三角恒等式 （1）积化和差公式）积化和差公式 sincos =sin（ + ） + sin（ ） 1 2 用心 爱心 专心 cossin =sin（ + ） sin（ ） 1 2 coscos =cos（ + ） + cos（ ） 1 2 sinsin = cos（ + ） cos（ ） 1 2 （2）和差化积公式）和差化积公式 2 cos 2 sin2sinsin 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 sin2coscos 4. 万能公式（补充）万能公式（补充） 2 tan1 2 tan2 tan, 2 tan1 2 tan1 cos, 2 tan1 2 tan2 sin 22 2 2 重难点归纳：重难点归纳： 1. 求值问题的基本类型 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 给角求值，给值求值，给式求值，求函数式的最值或 值域，化简求值。 2. 技巧与方法：要寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用 公式。 注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用。 对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手 的问题，可利用分析法。 求最值问题，常用配方法、换元法来解决。 【典型例题典型例题】 例例 1. 不查表求 sin220+cos280+sin20cos80的值。3 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求 较高。 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用。 错解分析：公式不熟，计算易出错。 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更 简单更精妙，需认真体会。 解法一：解法一：sin220+cos280+sin20cos803 用心 爱心 专心 = （1cos40）+ （1+cos160）+ sin20cos80 2 1 2 1 3 =1cos40+cos160+sin20cos（60+20） 2 1 2 1 3 =1cos40+ （cos120cos40sin120sin40） 2 1 2 1 +sin20（cos60cos20sin60sin20）3 =1cos40cos40sin40+sin40sin220 2 1 4 1 4 3 4 3 2 3 =1cos40（1cos40）= 4 3 4 3 4 1 解法二：解法二：设 x=sin220+cos280+sin20cos803 y=cos220+sin280cos20sin80，则3 x+y=1+1sin60=，3 2 1 xy=cos40+cos160+sin1003 =2sin100sin60+sin100=03 x=y=， 4 1 即 x=sin220+cos280+sin20cos80= 3 4 1 例例 2. 设关于 x 的函数 y=2cos2x2acosx（2a+1）的最小值为 f（a） ，试确定满足 f（a）=的 a 值，并对此时的 a 值求 y 的最大值。 2 1 命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思 维能力。 知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题。 错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错。 技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、 分类讨论等。 解：解：由 y=2（cosx）2及 cosx1，1得： 2 a 2 24 2 aa f（a） )2( 41 )22( 12 2 )2( 1 2 aa aa a a 用心 爱心 专心 f（a）=， 2 1 14a=a=2，+ 2 1 8 1 ) 或2a1=，解得 a=1， 2 2 a 2 1 ( 2,2) 此时，y=2（cosx+）2+， 2 1 2 1 当 cosx=1 时，即 x=2k，kZ，ymax=5 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例例 3. 已知函数 f（x）=2cosxsin（x+）sin2x+sinxcosx 3 3 （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）求 f（x）的最小值及取得最小值时相应的 x 的值； 命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值等知识，还考查计算变形能力，综合 运用知识的能力。 知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质等知识。 技巧与方法：等价转化，逆向思维。 解：解：（1）f（x）=2cosxsin（x+）sin2x+sinxcosx 3 3 =2cosx（sinxcos+cosxsin）sin2x+sinxcosx 3 3 3 =2sinxcosx+cos2x=2sin（2x+）3 3 f（x）的最小正周期 T= （2）当 2x+=2k，即 x=k （kZ）时，f（x）取得最小值2。 3 2 12 5 例例 4. 已知，cos（）=，sin（+）=，求 sin2的值 2 4 3 13 12 5 3 _。 解法一：解法一：，0，+， 2 4 3 4 4 3 22 54 sin()1 cos (),cos()1 sin (). 135 sin2=sin（）+（+） =sin（）cos（+）+cos（）sin（+） . 65 56 ) 5 3 ( 13 12 ) 5 4 ( 13 5 解法二：解法二：sin（）=，cos（+）= 13 5 5 4 sin2+sin2=2sin（+）cos（）= 65 72 用心 爱心 专心 sin2sin2=2cos（+）sin（）= 65 40 sin2= 65 56 ) 65 40 65 72 ( 2 1 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：30 分钟） 1. 已知方程 x2+4ax+3a+1=0（a1）的两根均 tan、tan，且，（） ， 2 , 2 则 tan的值是（ ） 2 A. B. 2C. D. 或2 2 1 3 4 2 1 2. 已知 sin=，（，） ，tan（）= ，则 tan（2）=_。 5 3 2 2 1 3. 设（） ，（0，） ，cos（）=，sin（+）=，则 4 3 , 4 4 4 5 3 4 3 13 5 sin（+）=_。 4. 不查表求值：. 10cos1 )370tan31 (100sin130sin2 5. 已知 cos（+x）=， （x，求的值。 4 5 3 12 17 4 7 x xx tan1 sin22sin 2 6. 已知 cos+sin=，sin+cos的取值范围是 D，xD，求函数 y=3 的最小值，并求取得最小值时 x 的值。 104 32 log 2 1 x x 用心 爱心 专心 【试题答案试题答案】 1. 解析：a1，tan+tan=4a0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 tan+tan=3a+10， 又、（，）、（，0） ，则（，0） ， 2 2 2 2 2 又 tan（+）=， 3 4 2 tan1 2 tan2 )tan(, 3 4 ) 13 (1 4 tantan1 tantan 2 又 a a 整理得 2tan2=0，解得 tan=2 2 2 tan3 2 2 答案：B 2. 解析：sin=，（，） ，cos= 5 3 2 5 4 则 tan=，又 tan（）=可得 tan= 4 3 2 1 2 1 2 2 1 2 () 2tan4 2 tan2. 1 1tan3 1 () 2 答案： 24 7 3. 解析：（） ，（0， ） ，又 cos（）= 4 3 , 4 4 2 4 5 3 13 12 ) 4 3 cos( 13 5 ) 4 3 sin(), 4 3 ( 4 3 ) 4 , 0(, 5 4 ) 4 sin( 65 56 )sin( 65 56 13 5 5 4 ) 13 12 ( 5 3 ) 4 3 sin() 4 sin() 4 3 cos() 4 cos( ) 4 3 () 4 cos( 2 ) 4 3 () 4 sin()sin( 即 用心 爱心 专心 答案： 65 56 4. 答案：2 5. 解析： 25 7 ) 4 (2cos2sin, 5 3 ) 4 cos( xxx 又 5 4 ) 4 sin(,2 43 5 , 4 7 12 17 xxx 75 28 5 3 ) 5 4 ( 25 7 ) 4 cos( ) 4 sin(2sin sincos cos)cos(sinsin2 cos sin 1 sin2cossin2 tan1 sin22sin 22 x xx xx xxxx x x xxx x xx 答案： 75 28 6. 解：设 u=sin+co