高中数学椭圆的几何性质知识精讲文苏教选修11

1 高二数学高二数学椭圆的几何性质椭圆的几何性质苏教版（文）苏教版（文） 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 椭圆的几何性质 二. 教学目标： 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形， 并了解椭圆的一些实际应用 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关 系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等 三. 重点、难点： 重点：椭圆的几何性质及初步运用 难点：椭圆离心率的概念的理解 四. 知识梳理 1、几何性质 （1 1）范围）范围1 b y a x 2 2 2 2 ，即|x|a，|y|b，这说明椭圆在直线xa和直线 yb所围成的矩形里注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的 点 （2 2）对称性）对称性 把x换成x，或把y换成y，或把x、y同时换成x、y时，方程都不变，所以 图形关于y轴、x轴或原点对称 （3 3）顶点）顶点 在1 b y a x 2 2 2 2 中，须令x0，得yb，点B1（0，b） 、B2（0，b）是椭圆和y轴 的两个交点；令y0，得xa，点A1（a，0） 、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交 点椭圆有四个顶点A1（a，0） 、A2（a，0） 、B1（0，b） 、B2（0，b） O A1 B1 B2 A2 F2 F1x y 线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 2a和 2b； a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长； （4 4）离心率）离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义： 椭圆的焦距与长轴的比 a c e 椭圆的离心率e的取值范围：ac0， 0e1 2 当e接近 1 时，c越接近a，从而b越接近 0，因此椭圆越扁； 当e接近 0 时，c越接近 0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆； 当e0 时，c0，ab两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2y2a2，图形就是圆 了 2、性质归纳为如下表： 标准方程)0( 1 2 2 2 ba b y a x )0( 1 2 2 2 2 ba a y b x 图像 y x F1 O A1 B1 B A2 F2 y x F1 O A1 B1 B2 A2 F2 范围 ax |，by |bx |，ay | 对称性关于x轴、y轴均对称，关于原点中心对称 顶点坐标 长轴端点A1（a，0） ，A2（a，0） ； 短轴端点B1（0，b） ，B2（0，b） 长轴端点A1（0，a） ，A2（0，a） ； 短轴端点B1（b，0） ，B2（b，0） 焦点坐标F1（c，0） ，F2（c，0）F1（0，c） ，F2（0，c） 半轴长长半轴长：a，短半轴长：b 焦距 2c a，b，c 关系 222 bac 离心率 ) 1 , 0( a c e 【典型例题典型例题】 例 1. 求椭圆 16x225y2400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描 点法画出它的图形 解：解：（1）列表。将 2 22 25 5 4 1 1625 x yx 变形为，根据 2 25 5 4 xy在第 一象限5x的范围内算出几个点的坐标（x，y） （2）描点作图先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画 出整个椭圆 3 O F2F1 例 2. 若椭圆 22 1 49 xy k 的离心率为e 1 2 ，求实数k的值。 解：解：当焦点在x轴上时，有 51 44 k k 得k8. 当焦点在y轴上时，有 51 94 k 得k 11 4 . 所求的k8 或 11 4 。 例 3. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦 点到椭圆上点的距离的最小值为3，求椭圆的方程。 解：解： 2222 2 2 3 3 3 11 129129 ac a ac c xyyx 所求的椭圆方程为或所求的椭圆方程为1 912 1 912 2222 xyyx 或 例 4. 椭圆1 2 2 2 2 b y a x （ab0）上一点M与两焦点F1，F2所成的角F1MF2，求证 F1MF2的面积为b2tan 2 a . 解：解：设M F1m，M F2n， 则mn2a，且 4c2m2n22mncos（mn）22mn（1cos） 4b22mn（1cos） 22 1sin sintan 21 cos2 Smnbb 例 5. 如图，椭圆的长短轴端点为A，B，过中心O作AB的平行线，交椭圆上半部分于点 P，过P作x轴的垂线恰过左焦点F1，过F1再作AB的平行线交椭圆于C，D两点，求椭圆 的方程。 4 y B x O A F2 F1 D P 解：解：设所求的椭圆方程为 22 22 1 xy ab （ab0） 则P（c， 2 b a ） ， 又ABOP 2 2 22 2 b bx a bcyc ac 椭圆方程可化为 直线CD的方程为y 2 2 （xc） ，将其代入椭圆方程化简得，2x22cxc20 3 2 23 4)( 2 3 )( 2 1 1 ( 21 2 21 2 21 c xxxxxxCD 2c 所求的椭圆方程为1 24 22 yx 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：60 分钟 满分：100 分） 一、选择题（5 分840 分） 1、已知椭圆1 1625 22 yx 上一点P到椭圆一个焦点的距离是 3，则P点到另一个焦点的 距离为： （ ） A、2 B、3 C、5 D、7 2、椭圆的一个焦点与两个顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的（ ） A、3倍B、2 倍 C、2倍 D、 3 2 倍 3、椭圆1 312 22 yx 的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上， 那么点M的纵坐标是：（ ） A、 4 3 B、 2 3 C、 2 2 D、 4 3 4、以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率为 （ ） A、 1 2 B、 2 2 C、 3 2 D、 3 3 5 5、椭圆1 2 2 2 2 b y a x （ab0）的半焦距为c，若直线y2x与椭圆的一个交点的横坐标 恰好为c，则椭圆的离心率为（ ） A、 22 2 B、 2 21 2 C、31 D、21 6、若以椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1，则此椭圆长轴的长 的最小值为（ ） A、1 B、2 C、2 D、22 7、椭圆的两个焦点分别为F1、F2，以F2为圆心且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为 M，已知直线F1M与圆F2相切，则离心率为 （ ） A、 3 2 B、 2 2 C、31 D、23 8、设椭圆1 2 2 2 2 b y a x （ab0）的两个焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，若 PF1PF2，则PF1PF2等于（ ） A、 22 2ab B、2 22 2ab C、 22 ab D、2 22 ab 二、填空题（5 分420 分） 9、平面上点P到两个定点A、B的距离之和等于|AB|，则P点轨迹是 。 10、已知对称轴为坐标轴，长轴长为 6，离心率为 3 2 的椭圆方程为 。 11、椭圆1 5 22 m yx 的离心率为 5 10 ，则实数m的值为 。 12、若M为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且MF1F22MF2F12（0） ， 则椭圆的离心率是 。 三、解答题（共 40 分） 13、 （满分 8 分）已知椭圆 22 22 1 xy ab 的焦点在x轴上，焦距是 4，且经过 3, 2 6M，求此椭圆的方程。 14、 （满分 10 分）若点P在椭圆 2 2 1 2 x y上， 12 FF、分别是椭圆的两个焦点，且 12 90FPF，求 12 FPF的面积。 15、 （满分 10 分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆左顶点A，上顶点B，左焦点 F1到直线AB的距离为 7 7 |OB|，求椭圆的离心率。 16、 （满分 12 分）已知F1（3，0） ，F2（3，0）分别是椭圆的左、右焦点，P是该椭圆 上的点，满足PF2F1F2，F1PF2的平分线交F1F2于M（1，0） ，求椭圆方程。 6 【试题答案试题答案】 一、选择题 题号 12345678 答案 DBABDDCB 二、填空题 9、线段AB 10、 2222 11 9595 xyyx 或 11、m3 或m 25 3 12、 sin3 sinsin2 三、解答题 13、解：因为焦距为 4，所以2c 即 22 4ab 3 设椭圆方程为 22 22 1 xy ab 因为 3, 2 6M在椭圆上 所以 2 2 22 2 6 3 1 ab 6 由得 22 36,32ab 所以椭圆方程为 22 1 3632 xy 8 14、解：设 12 ,PFm PFn 由椭圆 2 2 1 2 x y得2,1,1abc2 12 2PFPFa 即 2 2mn 4 12 FPF是直角三角形 2 22 2mnc4 6 由得2mn 8 所以 12 1 1 2 F PF Smn 10 15、解：直线AB的方程为bxayab0，4 则左焦点F1（c，0）到