高中数学数列的概念及等差数列文北师大必修5知识精讲

高二数学数列的概念及等差数列 文 北师大版必修5【本讲教育信息】一、教学内容： 数列的概念及等差数列二、教学目标理解数列的函数特性，会判别数列的单调性；掌握通项公式的定义，能用不完全归纳法写出数列的一个通项公式。理解并掌握等差数列的定义，会判断一个数列是等差数列，熟练的掌握等差数列的通项公式、前n项和公式及等差数列的性质及其应用。体会用函数的思想，方程的数学思想，由特殊到一般的数学思想等解决等差数列问题。三、知识要点分析：（一）数列的函数特性数列的通项是关于项数n的函数，即（数列具有函数的特性如单调性，周期性等）： （二）等差数列有关知识1. 等差数列的定义、通项公式、前n项和公式（定义）（通项），（前n项和公式）等差数列通项与前n项和的关系： 2. 等差数列的性质：（1）若数列成等差数列，则数列成等差数列（2）若数列成等差数列，且，则 （3）若数列成等差数列，是其前n项和，则成等差数列（4）若数列成等差数列，分别是其前n项的和，则有【典型例题】考点一：用不完全归纳法写出数列的一个通项公式例1：根据数列的前几项写出下列数列的一个通项公式（1）（2）（3）1，0，1，0，1，0，1，【思路分析】此类问题常用观察法，观察与n的关系，找出规律，用不完全归纳法写出一个通项公式.解：（1），（2） ，（3） 考点二：判断数列的单调性，（函数特性的考查）例2：已知数列的通项，试问：该数列有无最大项，若有，求出项数，若没有，请说明理由。【思路分析】此题考查数列的单调性，要从比较与的大小关系入手分析增减性。解：当n9时： 当n=9时： 当n9时：故可以推出数列中的最大项是第9项、第10项，即考点三：等差数列的判定例3：已知数列的前n项和是，且满足：（1）求证数列是等差数列，（2）求数列的通项公式【思路分析】（1）要判断数列是等差数列，常用的有三种方法：（i）定义法，（ii）中项法：若数列满足：，则数列是等差数列。（iii）通项法：若数列满足：是常数），则数列是等差数列。对于本题的特点采用定义法证明。（2）由（1）求出，再利用已知：求。解：（1）把代入可证：。（2）由（1）得：，（n2）故当n2时，=，又n=1时， ，故考点四：等差数列的性质的应用例4：已知数列是等差数列，首项，公差d， （1）：若：，试问13是否是数列中的项，若是，是第几项，若不是，请说明理由。（2）若=1，求公差d，使最小【思路分析】（1）由等差数列的性质，求出，然后求出数列的通项公式，再判断。（2）利用二次函数求最值，把表示成关于d的二次函数。解：（1）由已知求得：，由此可得d=，故=+（n9）=由=13，得n=18，即13是数列中的第18项。（2）由已知：=1， =1+d， =1+2d， 故当时，最小。例5：已知数列是等差数列，首项，公差d0， 若求的值，（2）若，求的值（3）利用函数观点证明你所得出的上述两个有趣的结论【思路分析】（1）（2）由已知条件建立关于和d的方程组，求出和d，进而利用数列的通项公式及前n项和的公式，可以求出结果。（3）对于结论（1）：当d0时，等差数列的通项是关于n的一次函数，其图像是在斜率为d的直线上的孤立的点，然后选择三个点列，利用A，B，C三点共线可以证明。对于结论（2）：由等差数列前n项和公式：是等差数列，仿照结论（2）证明。解：（1）由已知：得：，由等差数列的通项公式得：=0由已知：（3）对于结论（1）：选取点列，由A，B，C三点共线得：对于结论（2）：由数列是等差数列，可在其图像上选取三个点列，由A，B，C三点共线得：（*），把代入（*）得：。例6：已知数列是等差数列，公差d0， 是其n项和（1）若=1，证明点在同一条直线上，并写出直线方程（2）若，求证点都在以O为圆心，半径为1的圆内。【思路分析】（1）由数列是等差数列知：数列是等差数列，根据等差数列的函数特性可以证明。（2）只要证明点列到圆心的距离小于圆的半径。解：（1）故点都在直线上即点都在过点（1，1），且斜率为的直线上，所求的直线方程是：。（2）当时， ，故得证。 考点五：等差数列的奇、偶项问题例7：一个等差数列的前12项的和，在前12项中，偶数项与奇数项之和的比是32：27。求此数列的通项.【思路分析】等差数列中的奇偶项的问题是等差数列中常见的类型。在等差数列中若项数是（2n1），设所有的奇数项的和是，所有偶数项的和是，则有：（其中是中间项）。若项数是偶数（2n），则有.故对本题可以根据已知求出，然后由求出公差d，再求通项，或建立关于首项和公差的方程组，求出首项和公差。解法一：解法二： 考点六：等差数列前n项和的最值问题例8：已知数列的前n项和，且（1）求证数列是等差数列。（2）若，求数列的前n项和的最小值【思路分析】（1）利用代入已知条件中可以证明。（2）利用二次函数求最小值或利用等差数列的性质：当时，数列的前n项和存在最大值，即满足由此确定n，当时，数列的前n项和存在最小值，由此确定n.解：（1） 即：，故。（2）方法一：利用二次函数求：设数列的前n项和是，由（1）得：，故当n=15时，数列取得最小值225方法二：最小值，即数列的前15项和最小，最小值是225.四、【本讲涉及的数学思想方法】：本讲主要讲述了函数特性、等差数列概念与性质的应用，在用不完全归纳法确定数列的通项公式时运用了由特殊到一般的数学思想，确定等差数列有关问题时运用了方程的数学思想、分类讨论的数学思想、函数的思想，特别是利用函数的思想去解决数列问题值得关注。预习导学案（等比数列及数列在日常经济生活中的应用）一、预习前知1、在同一坐标系中作出函数的图像，比较这两个函数的图像的区别。2、在同一坐标系中作出函数的图像，比较这两个函数图像的变化趋势。3、某公司今年的产值是a元，计划今后的5年中每年比上一年产值增长5%，你能写出从今年起今后6年的产值吗？（用a表示）.把这6年的产值由小到大组成一个数列，这个数列是等差数列吗？如果不是，它有何特点？4、在日常生活中，同学们是怎样处理零花钱的？你会把你父母给你的零花钱存入银行吗？你了解银行存款有几种方式吗？二、预习导学探究与反思：探究的任务：等比数列及数列在日常经济生活中的应用。1、等比数列的定义： 叫等比数列。其中 叫公比，公比满足的条件是 。【反思】：（1）你能用数学语言写出等比数列的定义吗？（2）等比数列中的项能否有“零”存在？为什么？（3）你能写出一个数列，使其既是等差数列，又是等比数列吗？这样的数列有多少个？2、等比数列的通项公式是 。【反思】（1）你知道等比数列的通项公式是怎样推导出来的吗？和推导出等差数列的通项公式的方法是一样的吗？（2）在等比数列的通项公式中，有哪几个量？（3）等比数列具有的函数特性，如单调性，可以利用指数函数的单调性来分析等比数列的单调性与首项、公比有何关系？（参考教材的思考与交流）（4）若数列是等比数列，则数列都是等比数列吗？你能否利用等比数列的定义及通项公式来说明？（5）在等比数列中，若p+q=s+t，则成立吗？请用等比数列的通项公式证明。3、等比中项的定义： 。【反思】（1）在等比数列中，除首末两项外，每一项都是其前后两项的等比中项，你能用数学式子表示出来吗？这一结论能否用来判断一个数列是等比数列？（2）若三个数a，b，c满足：。则a，b，c一定成等比数列吗？4、等比数列前n项和公式是： 【反思】（1）等比数列前n项和公式在推证过程中，利用什么方法？与等差数列前n项和公式的推证一样吗？（这两种方法都要熟练的掌握）（2）在利用等比数列前n项和公式的时候，要特别注意的是什么？（3）若数列是等比数列，是其前n项的和，则成等比数列吗？你能利用等比数列前n项和公式证明吗？（4）若数列的前n项和，此数列是等比数列吗？（利用等比数列前n项和公式可以说明）（5）若数列的通项公式=，且数列是等差数列，数列是等比数列，你能用等比数列前n项和推导的方法求数列的前n项和吗？5、数列在日常经济生活中存款的类型有 和 两种。【反思】（1）两种存款类型哪一种是等比数列类型的？哪一种是等差数列类型的？（2）采用单利计算：若P表示本金，n代表存期，r表示利率，则本利和是什么？若采用复利计算，本利和公式是什么？【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题：*1. 在等差数列中，若，则数列的前8项和是（ ）A. 128 B. 80 C. 64 D. 56*2. 首项为60的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是（ ）A. B. C. D. *3. 已知表示数列的前k项和，且，则此数列是 （ ）A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 不确定*4. 已知数列满足：（ ）A. 0B. C. D. 5. 等差数列，其前n项和分别是，且满足，则（ ）A. B. 1C. D. 6. 等差数列前m项的和是30，前2m项的和是100，则其前3m项的和是（ ）A. 130 B. 170C. 210D. 2607. 在项数为2n+1的等差数列中，所有的奇数项之和为165，所有的偶数项之和是150，则n=（ ）A.9B. 10C. 11D. 12二、填空题8. 在数列中，则ab=_.9. 已知表示等差数列的前n项和，则 *10. 等差数列的首项，它的前11项的平均值是5，若从中抽取一项，余下的平均值是4，则抽取的是第 项。*11. 大楼共n层，现指定每层一个人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，要使n位参会人员所走的路程总和最短（假定相邻两层楼梯长相等），则k=_三、计算题*12. 已知是等差数列，首项，公差d=4（1）若，求k的值。（2）设其前n项和是，试问数列中是否存在相等的两项，若存在，求出这样的两项，若不存在，说明理由。*13. 设数列的前n项和。（1）求数列的通项公式。（2）判断这个数列是否是等差数列，并加以证明。*14. 函数f（x）对任意的xR，都有（1）求及的值。（）（2）若数列满足：，则数列是等差数列吗？请给予证明。【试题答案】一、选择题：1. C 2. A 3. C 4. B 5. C 6. C 7. B二、填空题：8. 4 9. 72 10. 第11项 11. 当n为奇数时，当n为偶数时，或三、解答题12. 分析：（1）欲求和必先去掉绝对值，故判断的符号。（2）假设存在两项相等，通过讨论方程的解来判断其存在性。解：（1）由已知，故数列的前6项大于零，从第7项开始小于零。（i）当时，=60解得k=4或k=7.5（舍去）（ii）当k7时，=12（2326）k（232k）= 由=60，由方程的知：方程无解综上可知：k=4（2）假设存在两项使，由得：整理得：（pq）（2p+2q23）=0（*）因pq，2p+2q是偶数，所以：2p+2q230，即（*）不成立。故不存在相等的两项。13. 分析：（1）由确定数列的通项公式。（2）根据等差数列的定义判断。解：（1）当n=1时，。当n时，。而由此得