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文档简介

高中数学巧用函数单调性妙解题 函数是高中数学的重要内容，函数的单调性又是函数的重要性质。在求解某些数学问题时，若能根据题目的结构特征，构造出一个适当的单调函数，往往能化难为易，化繁为简，获得巧解和妙解。下面举例说明。一. 巧求代数式的值 例1. 已知，求的值。 解：已知条件可化为 设，则 而在R上是增函数 则有，即 所以 点评：本题关键是将条件转化为，再构造相应函数，利用单调性求解。 拓展练习：已知方程的根为，方程的根为，求+的值。（答案：）二. 妙解方程 例2. 解方程 解：易见x=2是方程的一个解 原方程可化为 而（因为） 在R上是减函数，同样在R上是减函数 因此在R上是减函数 由此知：当时， 当时， 这说明与的数都不是方程的解，从而原方程仅有唯一解。 拓展训练：解方程。（答：） 点评：解该类型题有两大步骤：首先通过观察找出其特解，然后等价转化为的形式，最后根据的单调性得出原方程的解的结论。三. 妙求函数的值域 例3. 求函数的值域。 解：令，则 因为，所以 而在内递增 所以 又 而 所以为所求原函数的值域。四. 巧解不等式 例4. 解不等式 解：设 原不等式可化为 则，即 设 显然是R上的减函数，且，那么不等式 即 因此有，解得 点评：解不等式其实质是研究相应函数的零点，正负值问题。用函数观点来处理此类问题，不仅可优化解题过程，且能让我们迅速获得解题途径。 拓展训练：解不等式。（答：）五. 巧证不等式 例5. 设，求证。 证明：当m，n中至少有一个为0时，则有，结论成立。 设 因为在上单调递增 所以与必同号，或同为0（当且仅当时） 从而 因此，原不等式成立（当且仅当或，或时取“=”号）。 点评：原不等式等价于，这可由幂函数在上递增而得到。 本题可拓展：令，则。六. 巧解恒成立问题 例6. 已知函数对区间上的一切x值恒有意义，求a的取值范围。 解：依题意， 对上任意x的值恒成立 整理为对上任意x的值恒成立。 设，只需 而在上是增函数 则 所以七. 巧建不等关系 例7. 给定抛物线，F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A，B两点，设。若，求l在y轴上的截距的变化范围。 解：设 由，得 联立（1）（2）（3）（4），解得 所以或 所以的方程为或 当时，在y轴的截距为 令，则 所以在4，9上是减函数 故 所以直线在y轴上截距的取值范围是： 八. 巧解数列问题 例8. 已知数列是等差数列，。 （1）求数列的通项公式； （2）设数列的通项，Sn是数列的前n项和，试比较与的大小，并证明你的结论。 解：（1）
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