高中数学直线和圆的位置关系新课标人教必修2A

直线和圆的位置关系 教学目标 (一)使学生掌握直线和圆的三种位置关系的定义及其判定方法和性质； (二)通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透类比、分类、数形结合的思想，培养学生观察、分析和发现问题的能力； (三)使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩证唯物主义观点.教学重点和难点 直线与圆的三种位置关系是重点；直线和圆的三种位置关系的性质和判定的正确运用是难点.教学过程设计 一、类比联想，提出问题 1.前面已经研究了点和圆的位置关系，请学生回忆，点和圆有几种位置关系?它们的数量特征分别是什么? 在学生回答的基础上，教师投影打出点和圆的三种位置关系：点在圆内、在圆上、在圆外. 数量特征：点在圆内 dr；点在圆上 dr；点在圆外 dr. 2.如果把点换成一条直线，直线和圆又有哪几种位置关系呢?(板书课题) 二、根据图形运动变化，发现规律、传授新知 1.尝试活动 让学生在纸上画一个圆，把直尺边缘看成一条直线，任意移动直尺，观察有几种位置关系. 2.电脑演示 在学生尝试活动的基础上，教师电脑演示图7-98：一个已知圆O与一条直线l发生相对运动的情况. 将圆向上逐步运动，让学生观察，把观察到的情况说出来. 教师引导学生答出：在图7-98中，直线和圆由有两个交点逐渐缩至一个点最后完全消失. 在学生回答的基础上，教师指出：由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系： (1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线. (2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点. (3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离. 给出以上定义后，教师强调： (1)直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”，这与直线与圆有一个公共点的含义不同. (2)直线和圆除了上述三种位置关系外，有第四种关系吗?即一条直线和圆的公共点能否多于两个?为什么? 对于问题(2)可让学生展开讨论，后教师指出：由于同一直线上的三点不可能作圆，因而直线不可能与圆有三个交点，故直线与圆不可能有第四种位置关系. 3.直线与圆的位置关系的数量特征. 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样进行数量分析呢? 提出问题，让学生思考，教师引导学生观察图7-98，发现：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系.图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径. 学生回答后，教师总结并板书： 如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 (1)直线l和O相交 dr； (2)直线l和O相切 dr； (3)直线l和O相离 dr. 在讲点与圆的位置关系时若引用了符号“”，可再巩固一下；若没有引用，这里应解释符号“”的意义. 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定. 以上三个命题的正确性是通过观察得到的，可鼓励程度好的学生课后对它们加以证明.现以(3)为例证明如下. 证明：判定定理. 过O作OAl于A，则OAd. 在直线l上任取另一点B，并连结OB. 则在RtOAB中，OBOAr. 所以l上任意一点均在O的外部. 即直线l与O没有公共点，l与O相离. 证明：性质定理. 假设d不大于r,则dr或dr. 由判定定理可知，当dr时，l与O相切；当dr时，l与O相交，都与已知直线l与O相离矛盾，因此dr. 三、例题分析，课堂练习 例 在RtABC中，C90，AC3厘米，BC4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?为什么? (1)r2厘米；(2)r2.4厘米；(3)r3厘米. 分析：因为题目给出了O的半径，所以解题关键是求圆心C到直线AB的距离，也就是要求出RtABC斜边AB上的高.为此，可过C点向AB作垂线段CD，然后可根据CD的长度与r进行比较，确定C与AB的关系.让学生自己作出回答，教师板书解题过程，并画出相应的图形.(图7-100) 练习1 填空(投影打出) 在RtABC中，C90，AC3，AB5，若以C为圆心，r为半径和圆，那么： (1)当直线AB与C相离时，r的取值范围是 ； (2)当直线AB与C相切时，r的取值范围是 ； (3)当直线AB与C相交时，r的取值范围是 ；练习2 如图7-101，已知AOB30，M为OB上一点，且OM5厘米，以M为圆心、以r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系?为什么? (1)r2厘米； (2)r4厘米； (3)r2.51厘米； 四、课堂小结 问：这节课学习了哪些具体内容?用到了哪些数学思想方法?应注意什么问题? 在学生回答的基础上教师归纳； 1.投影打出直线与圆的位置关系表. 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 圆心到直线距离d与半径r的关系 drdr dr 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无 2.本节课类比点和圆的位置关系，从运动变化的观点来研究直线和圆的位置关系；利用了分类的思想把直线和圆的位置关系分为三类来讨论；用了数形结合的思想，通过d的r这两个数量之间的关系来研究直线和圆的位置关系. 3.学习时应注意弄清直线与圆的位置关系的