高中数学巧用方程、方程组妙解拼图和密铺

巧用方程、方程组，妙解拼图和密铺拼图、密铺问题是中考的热点。要解答这类问题，同学们不仅要有很强的图形观察能力，还要借助一种强有利的工具-方程或方程组。这样问题就会获得完美的解答。下面就试举几例，供学习时参考。一 、用长方形、正方形密铺成正方形例1、如图1，是用四个完全相同的小长方形和一个小的正方形镶嵌而成的正方形图案。已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，如果用x、y 表示小长方形的长和宽，（xy ），请你仔细观察图案，指出下列关系式中不正确的一个是：（ ）。A） x+y=7 B）x-y=2 C）4xy+4=49 D）x2+y2=25分析：通过仔细观察图案，我们不难发现这个图案中，大正方形的边长是小长方形的长与宽的和，也就是x+y；小正方形的边长是小长方形的长与宽的差，也就是x-y，由于大正方形的面积为49 ，小正方形的面积为4，所以，（x+y）2=49，（x-y）2=4，即x+y=7（另一个舍去了，你知道是为什么吗）；x-y=2，（另一个舍去了，你知道是为什么吗）；再回头审视一下题目的选择支，就知道选项A、B都是正确的；把x+y=7 、x-y=2，联立成方程组：，解这个方程组，得：x=，y=，所以xy=，所以4xy=4=45，所以，4xy+4=49，所以，选项C也是正确的，分析到这里，答案就已经凸现出来了，对，就是选项D。解：选D。二、用直角三角形、正方形拼成正方形例2、如图2，是用四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成的正方形图案。已知该图案的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a+b）2的值是：（ ）。A） 13 B）19 C）25 D）169分析：通过仔细观察图案，我们不难发现这个图案中，大正方形的边长是直角三角形的斜边，也就是；小正方形的边长是直角三角形较长的直角边长与较短的直角边长的差，也就是b-a，由于大正方形的面积为13 ，小正方形的面积为1，所以，=13，（b-a）2=1，我们联想到两个数的差的完全平方公式：（b-a）2=-2ab，所以，2ab=12，所以，（a+b）2=+2ab=13+12=25，所以，选项C是正确的，分析到这里，答案就已经凸现出来了，对，就是选项C。解：选C。三、用长方形、正方形拼成长方形例3、如图3，是用两个完全相同长方形和一个小的正方形和一个较大的正方形拼成的图案。小正方形面积为2，较大的正方形面积为4，那么阴影部分的面积为 。分析：我们不妨采用迁移法，把分散的阴影部分的面积拼成一个整体来处理，如图4，我们不难发现，整体长方形的长是较大正方形的边长与小正方形的边长的差，整体长方形的宽是小正方形的边长，我们不妨设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，则=4，=2，所以，x=2，y=，所以，阴影整体长方形的长为：2-，宽为，所以，整个阴影部分的面积为：（2-）=2-2，所以，本题的答案是2-2。解：本题应填2-2。四、用长方形密铺成长方形例4、如图4，是用8个完全相同的小长方形镶嵌而成的长方形图案。已知该图案的宽为40cm，其中一个小长方形的面积为 。A）200cm2 B）300 cm2 C）600 cm2 D）2400 cm2 分析：为了能更好的解决问题，我们不妨设小长方形的长为x，宽为y，现在，我们来一起仔细观察这个图形的特点：大长方形的长有两种表示法，从上边看，长方形的长可以表示为2x，从下边看，长方形的长可以表示为x+3y，所以，可以得到：2x= x+3y，即x=3y；大长方形的宽可以表示为x+y；已知该图案的宽为40cm，所以，x+y=40，这样，我们来解有x=3y和x+y=40组成的方程组， 就求出x、y的值，解得：x=30，y=10，也就求出了小长方形的长与宽，当然也就求出小长方形的面积了。即为3010=300 cm2，因此，我们应该选B。解：选B。例5、如图5，是用7个完全相同的小长方形镶嵌而成的长方形图案。已知该图案的周长为68，则长方形ABCD的面积为 。A）98 B）196 C）280 D）284 分析：为了能更好的解决问题，我们不妨设小长方形的长为x，宽为y，现在，我们来一起仔细观察这个图形的特点：大长方形的长有两种表示法，从上边看，长方形的长可以表示为5y，从下边看，长方形的长可以表示为2x，所以，可以得到：2x=5y；大长方形的宽可以表示为x+y；已知该图案的周长为68，所以，5y+x+y=34，即x+6y=34，这样，我们来解有2x=5y和x+6y=34组成的方程组， 就求出x、y的值，解得：x=10，y=4，也就求出了大长方形的长：2x=20；宽为x+y=14，当然也就求出大长方形的面积了。即为2014=280，因此，我们应该选C。解：选C。五、用等腰梯形密铺成平行四边形例6 如图6，是用大小、形状完全相同的等腰梯形密铺成的平行四边形ABCD的图案，已知AB=24，则，等腰梯形的下底边长为： （ ）A） 15 B）16 C） 17 D）18分析：为了问题解决的方便，我们不妨设等腰梯形的下底长为x，腰长为y，上底的长为m，下面我们就来仔细观察一下这个图案的特点：1） 平行四边形ABCD的边AB是有等腰梯形的下底和腰组成的，即AB=x+y=24，2） 再仔细观察1，2，3这三个角，不难发现它们都是等腰梯形的底角，所以它们应该是相等的，即1=2=3，再细心观察，我们又发现1，2，3恰好构成一个平角，即1+2+3=180，所以，1=2=3=60，3） 这样问题还是不能解决，不要着急，我们再来分析三角形EFG，我们结合2）的结论，就很容易判断出它是一个等边三角形，所以，EF就等于等腰梯形的腰长，即EF=y，4） 问题越来越清楚了，仔细观察四边形AMGE，不难发现这是一个平行四边形，因此，AE就等于等腰梯形的上底长m，即AE=m；我们还发现MG恰好是等腰梯形MBNG的腰，所以，AE=m=y，分析到这里，我们有了这样的一个结论，等腰梯形的下底长等于AE+EF，即为x=2y，我们再解由x+y=24，x=2y，组成的方程组，求得x=16，即等腰梯形的下底长为16。解：选B。例7 如图7，四边形ABCD 是等腰梯形，ABCD，用四个这样完全相同的等腰梯形可以密铺成如下图所示的平行四边形。1） 求四边形ABCD的四个内角的度数；2） 试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由。分析：为了问题解决的方便，我们不妨设等腰梯形的下底长为x，腰长为y，上底的长为m，下面我们就来仔细观察一下这个图案的特点：1） 平行四边形的一组同旁内角，恰好是有等腰梯形的三个底角来组成，根据两直线平行，同旁内角互补的原理，就求得原四边形的四个内角的度数；2、我们再来分析三角形EOM，我们结合1）的结论，就很容易判断出它是一个等边三角形，所以，EM、OM就等于等腰梯形的腰长，即EM=OM=y，3、问题越来越清楚了，仔细观察四边形OPNM，不难发现