黑龙江大庆实验中高考数学模拟4理

2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（理科）（4）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知U=x|y=，M=y|y=2x，x1，则UM=（）A1，2）B（0，+）C2，+）D（0，13“x0，使a+xb”是“ab”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知sin（）=，则cos（2）=（）ABCD5执行如图所示的程序框图，则输出的结果S=（）ABCD6在区间（0，1）上随机取两个实数m，n，则关于x的一元二次方程x22x+2n=0有实数根的概率为（）ABCD7等差数列an的前n项和为Sn，若=，则下列结论中正确的是（）A =2B =C =D =8如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）ABCD9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A3B4C5D610已知不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y=ax2与平面区域D有公共点，则实数a的取值范围为（）A2，2B（，+）C（，22，+）D，11给出下列四个结论：已知服从正态分布N（0，2），且P（22）=0.6，则P（2）=0.2；若命题P：x01，+），xx010，则p：x（，1），x2x10；已知直线l1：ax+3y1=0，l2：x+by+1=0，则l1l2的充要条件是=3；设回归直线方程为=22.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位其中正确结论的个数为（）A1B2C3D412已知函数f（x）=|lnx|1，g（x）=x2+2x+3，用minm，n表示m，n中的最小值，设函数h（x）=minf（x），g（x），则函数h（x）的零点个数为（）A1B2C3D4二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.13已知，若，则等于 14（2x+4）9的展开式中，不含x的各项系数之和为 15过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，若|AB|=10，则AB的中点P到y轴的距离等于 16如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面上，三条棱AB，AC，AD都在平面的同侧，若顶点B，C到平面的距离分别为1，则顶点D到平面的距离是 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为ABC的外接圆的圆心，若满足a+b2c（1）求角C的最大值；（2）当角C取最大值时，己知a=b=，点P为ABC外接圆圆弧上点，若，求xy的最大值18骨质疏松症被称为“静悄悄的流行病“，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同学 （常喝碳酸饮料的同学30，不常喝碳酸饮料的同学20），对这50名同学进行骨质检测，检测情况如表：（单位：人）有骨质疏松症状无骨质疏松症状总计常喝碳酸饮料的同学22830不常喝碳酸饮料的同学81220总计302050（1）能否据此判断有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关？（2）现从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，记甲、乙两同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）附表及公式P（k2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k2=19如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，M分别是线段BC，CC1，AB的中点，AA1=2AB=4（1）求证：DE平面A1MC；（2）在线段AA1上是否存在一点P，使得二面角A1BCP的余弦值为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由20已知椭圆E：中，a=b，且椭圆E上任一点到点的最小距离为（1）求椭圆E的标准方程；（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l1，l2（l1，l2不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|QC|=|QB|QD|21已知函数f（x）=aln（x+1）+x2x，其中a为非零实数（）讨论f（x）的单调性；（）若y=f（x）有两个极值点，且，求证：（参考数据：ln20.693）修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分10分）22已知圆O和圆C的极坐标方程分别为=2和=4sin，点P为圆O上任意一点（1）若射线OP交圆C于点Q，且其方程为=，求|PQ|得长；（2）已知D（2，），若圆O和圆C的交点为A，B，求证：|PA|2+|PB|2+|PD|2为定值选修4-5：不等式选讲23若a0，b0且2ab=a+2b+3（1）求a+2b的最小值；（2）是否存在a，b使得a2+4b2=17？并说明理由2017年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（理科）（4）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：z（1+i）=i，z（1+i）（1i）=i（1i），z=，则复数z所对应的点在第一象限故选：A2已知U=x|y=，M=y|y=2x，x1，则UM=（）A1，2）B（0，+）C2，+）D（0，1【考点】1F：补集及其运算【分析】分别求出关于U，M的范围，从而求出M的补集即可【解答】解：U=x|y=x|x1，M=y|y=2x，x1=y|y2，则UM=1，2），故选：A3“x0，使a+xb”是“ab”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由于“x0，使a+xb”与“ab”成立等价，即可判断出关系【解答】解：“x0，使a+xb”“ab”，“x0，使a+xb”是“ab”成立的充要条件故选：C4已知sin（）=，则cos（2）=（）ABCD【考点】GI：三角函数的化简求值【分析】由二倍角公式可得cos（2），整体利用诱导公式可得cos（2）=cos（2），代值可得【解答】解：sin（）=，cos（2）=12sin2（）=，cos（2）=cos（2）=cos（2）=故选：A5执行如图所示的程序框图，则输出的结果S=（）ABCD【考点】EF：程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=+的值，用裂项法即可计算求值得解【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=+的值而S=+=（1）+（）+（）1=故选：B6在区间（0，1）上随机取两个实数m，n，则关于x的一元二次方程x22x+2n=0有实数根的概率为（）ABCD【考点】CF：几何概型【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（m，n）对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程x22x+2n=0有实根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解【解答】解：要使方程有实根，只需满足=4m8n0，即m2n，又m，n是从区间（0，1）上随机取两个数，则满足条件的m，n，如图所示，关于x的一元二次方程x22x+2n=0有实数根的概率为，故选B7等差数列an的前n项和为Sn，若=，则下列结论中正确的是（）A =2B =C =D =【考点】85：等差数列的前n项和【分析】由等差数列的求和公式和性质可得=3=2，解方程可得【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，且=，=2，由等差数列的求和公式和性质可得：=3=2， =故选：C8如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）ABCD【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲乙两人的平均成绩，再求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，即可得到答案【解答】解：由已知中的茎叶图得，甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）=90；设污损的数字为x，则乙的平均成绩为（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩等于甲的平均成绩的概率为，所以，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1=故选：D9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A3B4C5D6【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图，得到几何体为四棱锥，依据图中数据计算体积【解答】解：由题意，几何体为四棱锥，其中底面是上底为2，下底为4，高为2 的直角梯形，棱锥的高为2，所以体积为=4；故选B10已知不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y=ax2与平面区域D有公共点，则实数a的取值范围为（）A2，2B（，+）C（，22，+）D，【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义建立不等式关系进行求解即可【解答】解：画出可行域（如图阴影部分所示），直线y=ax2恒过点A（0，2），则直线与区域D有公共点时满足akAB或akAC而，则a2或a2，故选：C11给出下列四个结论：已知服从正态分布N（0，2），且P（22）=0.6，则P（2）=0.2；若命题P：x01，+），xx010，则p：x（，1），x2x10；已知直线l1：ax+3y1=0，l2：x+by+1=0，则l1l2的充要条件是=3；设回归直线方程为=22.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】根据正态分布的性质进行判断，根据含有量词的命题的否定进行判断根据直线垂直的等价条件进行判断根据回归直线的性质进行判断【解答】解：若服从正态分布N（0，2），且P（22）=0.6，则P（2）=0.2，故正确，若命题p：x01，+），xx010，则p：x1，+），x2x10；故错误当b0时，两直线的斜率分别为，由（）=1，即a=3b，当b=0，a=0时，两直线分别为l1：3y1=0，l2：x+1=0，满足l1l2，故l1l2的充要条件是错误，故错误，设回归直线方程为=22.5x，当变量x增加一个单位时，y平均减少2.5个单位故错误，故正确是，故选：A12已知函数f（x）=|lnx|1，g（x）=x2+2x+3，用minm，n表示m，n中的最小值，设函数h（x）=minf（x），g（x），则函数h（x）的零点个数为（）A1B2C3D4【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】根据minm，n的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图，两个图象的下面部分图象，由g（x）=x2+2x+3=0，得x=1，或x=3，由f（x）=|lnx|1=0，得x=e或x=，g（e）0，当x0时，函数h（x）的零点个数为3个，故选：C二、填空题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.13已知，若，则等于5【考点】93：向量的模【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量的数量积公式列出方程求出m，再根据向量模的定义即可求出【解答】解： =（2，1），=（3，m），=（1，1m），（），（）=2+1m=0，解得，m=1，+=（5，0），|+|=5，故答案为：514（2x+4）9的展开式中，不含x的各项系数之和为1【考点】DC：二项式定理的应用【分析】先将问题转化为二项展开式的各项系数和问题，再利用赋值法求出各项系数和【解答】解：（2x+4）9的展开式中，不含x的各项系数之和，即（4）9的各项系数之和令y=1，可得（4）9的各项系数之和为（1）9=1，故答案为：115过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点，若|AB|=10，则AB的中点P到y轴的距离等于4【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】过 A、P、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C、F、D，如图所示：由PF为直角梯形的中位线及抛物线的定义求出PF，则PH=PF1 为所求【解答】解：抛物线y2=4x焦点E（1，0），准线为l：x=1，由于AB的中点为P，过 A、P、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C、F、D，PF交纵轴于点H，如图所示：则由PF为直角梯形的中位线知，PF=5，PH=PFFH=51=4，故答案为：416如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面上，三条棱AB，AC，AD都在平面的同侧，若顶点B，C到平面的距离分别为1，则顶点D到平面的距离是【考点】MK：点、线、面间的距离计算【分析】本题的条件正规，但位置不正规牵涉到的知识虽然只有线面距离和线面角，但难于下手出路何在？在正方体的8个顶点中，有关系的只有4个（其他顶点可不予理会）这4点组成直角四面体，这就是本题的根所以最终归结为：已知直角四面体的3个顶点A，B，C到平面M的距离依次为0，1，求顶点D到平面M的距离【解答】解：如图，连结BC、CD、BD，则四面体ABCD为直角四面体作平面M的法线AH，再作，BB1平面M于B1，CC1平面M于C1，DD1平面M于D1连结AB1，AC1，AD1，令AH=h，DA=a，DB=b，DC=c，由等体积可得=+，+=1令BAB1=，CAC1=，DAD1=，可得sin2+sin2+sin2=1，设DD1=m，BB1=1，CC1=，=1解得m=即所求点D到平面的距离为故答案为：三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为ABC的外接圆的圆心，若满足a+b2c（1）求角C的最大值；（2）当角C取最大值时，己知a=b=，点P为ABC外接圆圆弧上点，若，求xy的最大值【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】（1）由余弦定理可以得到，而由a+b2c即可得出c2的范围，从而得出a2+b2c2的范围，进一步便可得到，从而有，这便说明角C的最大值为；（2）时便可得出ABC为等边三角形，从而可求得外接圆半径为1，并可求得，从而对两边平方便可得到x2+y2=xy+12xy，这样便可得出xy的最大值【解答】解：（1）在ABC中由余弦定理得，；a+b2c；，当且仅当a=b时取“=”；即；角C的最大值为；（2）当角C取最大值时，；ABC为等边三角形；O为ABC的中心，如图所示，D为边AB的中点，连接OD，则：ODAB，且；OA=1，即外接圆半径为1，且AOB=120；对两边平方得，；1=x2+y2xy；x2+y2=xy+12xy，当且仅当x=y时取“=”；xy1；xy的最大值为118骨质疏松症被称为“静悄悄的流行病“，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同学 （常喝碳酸饮料的同学30，不常喝碳酸饮料的同学20），对这50名同学进行骨质检测，检测情况如表：（单位：人）有骨质疏松症状无骨质疏松症状总计常喝碳酸饮料的同学22830不常喝碳酸饮料的同学81220总计302050（1）能否据此判断有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关？（2）现从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，记甲、乙两同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）附表及公式P（k2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k2=【考点】BO：独立性检验的应用；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】（1）根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；（2）X可能取值为0，1，2，求出相应的概率，可得X的分布列及数学期望E（X）【解答】解：（1）由表中数据得K2的观测值所以根据统计有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关有关）（2）由题可知从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种 X可能取值为0，1，2，X的分布列为：X012PX的分布列为：19如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，M分别是线段BC，CC1，AB的中点，AA1=2AB=4（1）求证：DE平面A1MC；（2）在线段AA1上是否存在一点P，使得二面角A1BCP的余弦值为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定【分析】（1）连接AC1，设O为A1C，AC1的交点，连接OM，OE，MD，推导出四边形MDEO为平行四边形，从而DEMO由此能证明DE平面A1MC（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建系，利用向量法能求出存在点P，使得二面角A1BCP的余弦值为，此时PA=1【解答】证明：（1）如图，连接AC1，设O为A1C，AC1的交点，由题意可知O为AC1的中点，连接OM，OE，MD，MD，OE分别为ABC，ACC1中的AC边上的中位线，四边形MDEO为平行四边形，DEMO又DE平面A1MC，MO平面A1MC，DE平面A1MC解：（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建系，设PA=a，则D（0，0，0），B（0，1，0），则，设平面PBC的法向量为，则解得同理，设平面BCA1的法向量为，则解得如图易得所求二面角为锐角，设为，则，解得a=1或（舍），所以存在点P，使得二面角A1BCP的余弦值为，此时PA=120已知椭圆E：中，a=b，且椭圆E上任一点到点的最小距离为（1）求椭圆E的标准方程；（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l1，l2（l1，l2不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|QC|=|QB|QD|【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程【分析】（1）设M（x，y）为椭圆E上任一点，由，椭圆E的方程可化为，通过求解椭圆E上任一点到点的最小距离为即可求出椭圆的方程（2）直线l1，l2不重合，则直线l1，l2的斜率均存在，设直线l1：y=k（x1）+1，点A（x1，y1），C（x2，y2）直线l2：y=k（x1）+1联立消去y，由韦达定理以及弦长公式化简，可得|QA|QC|=|QB|QD|【解答】（1）解：设M（x，y）为椭圆E上任一点，由，则椭圆E的方程可化为，从而由于ab1，则当x=1时，故椭圆E的标准方程为（2）证明：由于直线l1，l2不重合，则直线l1，l2的斜率均存在，设直线l1：y=k（x1）+1，点A（x1，y1），C（x2，y2）易知直线l2：y=k（x1）+1.，由得（1+2k2）x2+4k（1k）x+2（1k）24=0，由韦达定理有：，则；同理可得，从而有|QA|QC|=|QB|QD|21已知函数f（x）=aln（x+1）+x2x，其中a为非零实数（）讨论f（x）的单调性；（）若y=f（x）有两个极值点，且，求证：（参考数据：ln20.693）【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（）求导数，分类讨论，利用导数的正负研究函数f（x）的单调性；（