北京大学量子力学课件-第14讲

,第十四讲算符的共同本征函数(1)Schwartz不等式如果，,是任意两个平方可积的波函数，则,(2)算符“涨落”之间的关系测不准关系：如令,例1，所以，这即为海森堡（Heisenberg）的测不准关系的严格证明。,例2但在特殊态时但这仅是某一特殊态。例3在态下,这时(3)算符的共同本征函数组定理1.如果两个力学量相应的算符有一组正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符，必对易，。定理2：如果两力学量所相应算符对易，则它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。,(4)角动量的共同本征函数组球谐函数因，它们有共同本征函数组。A.本征值：设：是它们的共同本征函数，则,的本征值为的本征值为这表明，角动量的本征值是量子化的。它与能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。自由粒子的角动量是量子化的。B.本征函数,已求得的共同本征函数组-球谐函数称为缔合勒让德函数（AssociatedLegendrefunction）。,当给定，也就是的本征值给定，那就唯一地确定了本征函数。其性质：1.正交归一2封闭性,3所以，,因此，4.宇称即5.递推关系,(4)力学量的完全集量子力学描述与经典描述大不一样，在量子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将状态描述完全确定呢？设：是力学量所对应的算符，并且对易如是的本征函数。,的本征函数不简并，则当的本征值是两重简并。那问题就不一样了。测量取值时，并不知处于那一态，可能为尽管也是的本征态。但一般而言,可求得的本征值。若，则一起就唯一地决定函数,的共同本征态没有一个是简并的。力学量完全集：设力学量彼此对易；它们的共同本征函数是不简并的，也就是说，本征值a,b,c仅对应一个独立的本征函数，则称这一组力学量为力学量完全集。所以，以后要描述一个体系所处的态时，我们首先集中注意力去寻找一组独立的完全集，以给出特解，然后得通解。有了力学量完全集，则可得,完全集相应的本征函数为4.5力学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）恩费斯脱定理（EhrenfestTheorem）（1）力学量的平均值，随时间变化，运动常数,它随时间演化为,若不显含t，则当，则（对体系任何态）不随t变。而取的几率也不随t变。我们称与体系对易的不显含时间的力学量算符为体系的运动常数。,运动常数并不都能同时取确定值。因尽管它们都与对易，但它们之间可能不对易。如都是运动常数，但彼此不对易，不能同时取确定值。（2）VivialTheorem维里定理不显含t的力学量，在定态上的平均与t无关。,若是x,y,z的n次齐次函数，则例：谐振子势是x,y,z的2次齐次函数例：库仑势是x,y,z的1次齐次函数,(3)能量-时间测不准关系由算符的“涨落”关系，有如，则有若是不显含时间的算符，则有,取则有这即为能量和时间的测不准关系。,（4）恩费斯脱定理（EhrenfestTheorem）以,表示的平均值。体系的坐标平均值的时间导数等于其速度算符的平均值。,体系动量算符平均值的时间导数等于作用力的平均值。于是有,称为的恩费斯脱定理。我们可以看到，上面三个式子与经典力学看起来非常相似。,但决不能无条件地认为如果这样，即得但事实上，一般而言,但在V(x)随x的变化很缓慢，以及比较小的条件下，上式近似相等.以一维运动来讨论,当场随空间变化非常缓慢，且很小时，我们有不等式,这样，量子力学中粒子运动与经典力学规律相似。经典运动是一好的近似。当然，根据测不准关系，,因此，当较小时，比较大。所以要有,要有两个条件：势随空间作缓慢变化：动能很大：,第五章变量可分离型的三维定态问题,不显含t时，有特解,处理的是变量可分离型的位势问题。5.1有心势能量本征方程可写为,我们可看到因此，是两两对易。当共同本征函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集（球对称势的体系都有这一特点）。,以的本征值（即量子数）对能量本征方程的特解进行标识。于是归结到解具有不同位势的径向方程,首先要研究边条件的共性。对于束缚态，对于，波函数行为？（1）不显含时间的薛定谔方程解在的渐近行为A若时，仅当0m2时才有束缚态。,根据维里定理：如是x,y,z的n次齐次函数，则有（在定态上）。对于上述势即,在这类位势下，束缚态E0。所以存在束缚态的条件为0m2,即仅当时，才有束缚态。B在时，径向波函数应满足由径向方程,当时，方程的渐近解为，所以有（2）三维自由粒子运动因，所以可选力学量完全集,于是有令,这即为球贝塞尔函数满足的方程。而在处为有限的解是而在处为无穷的解是,由于的条件，所以自由粒子的本征函数为对于自由粒子，亦可选作为力学量完全集，其共同本征函数为,而前述，作为力学量完全集，有共同本征