高中数学谈探索性问题的求解 学法指导

高中数学谈探索性问题的求解“探索性问题的求解”是高考的热点，也是中学数学教学中的难点，学生对解决这类问题感到困惑，常常会给问题做出一个错误的判断，如何避免这些错误的发生，解决探索性问题是否有一般规律可循，有哪些方法，这些都是大家所关心的问题，为了回答这些问题，先看以下的案例。 例1. 若函数对其定义域内的任意x，都有，但既不是奇函数也不是偶函数，则这样的函数（ ） A. 一定为0函数B. 一定为非0常数函数C. 一定存在D. 一定不存在解：用观察法容易列举出适合条件的一些函数，比如因而选C。解析：这个问题若用常规的办法求解比较困难容易解错，容易将变形为，得是奇函数或是偶函数，这与题设矛盾，所以这样的函数一定不存在，错误的选取答案D。若通过观察法可以求得问题的结果，但这种方法只能适宜用于解客观性题的问题。 例2. 已知函数的图像上以点N（1，n）为切点的切线的倾斜角为。问是否存在最小的正整数k，使得不等式对于恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k的值；如果不存在，请说明理由。解：将不等式转化为，用导数法可解得的最大值2008，所以最小的正整数k的值存在且。辨析：这类问题是通过推理直接寻找结论存在的充分条件，得到问题的答案，思维简单，方法学生容易掌握，但也有它的局限性，对不易找到结论存在的充分条件的题型时就无能为力了。 例3. 在四面体ABCD中，且AB=BC=1。是否存在这样的四面体，使二面角为30？如果存在，求出CD的长；如果不存在，请说明理由。解：过C作交BD于H，作交AD于E，连结CE。不难证明平面，则CEH为二面角的平面角。设则，在直角三角形ACD中，又，若CEH=30，所以，即，化简得，显然无解，所以不存在二面角为30的四面体。辨析：这个案例的处理方法是把它作为存在性（设为正实数）的问题来解决的，推导过程中出现了一个矛盾的结果（方程无实数解）。根据命题中的逆否命题与原命题的关系（或根据反证法的原理）可得，这个“存在性”不成立，所以这样的四面体不存在。 例4. 设函数，若方程的两个实数根为、，且。试问，是否存在正整数，使得？说明理由。解：假设不存在正整数使成立，因为，所以。又。，这与矛盾。所以存在正整数或2使得、中至少有一个满足。辨析：这个例题处理方法与例3基本相同，是把它“结论不存在”作为存在性的问题来解决的，即不存在正整数使成立，从而推出了矛盾的结果，因而说明“结论不存在”不成立，所以得到了正确的判断。例3、4共同点是把问题转化为存在性来处理，过程中推导出矛盾的方面，因而说明事先假定的存在性不成立。有时转化为存在性的问题来解决时，在推理演算过程中往往看不出矛盾的方面，针对这种情况，如何给出探索性问题正确的结论呢，它的理论依据又是什么？ 例5. 已知曲线C：和点P（1，1），问：是否存在过点P的直线l与曲线C相交于A、B两点，且点P为AB的中点？解法1：设，则，两式相减并整理得。因为点P为AB中点，所以，即。所以存在这样的直线l，其方程为，即。解法2：设直线l的方程为。由消去y，得设方程的两根为，因为A、B的中点，由根与系数得。从而。所以存在这样的直线l，其方程为，即。辨析：以上两种解法，都是把问题转化为存在性来解决的，解法的刚开始，方法l就认定存在适合条件的点A（x1，y1）、B（x2，y2）；方法二认定存在适合条件的直线斜率k，两种解法从不同的方面推导出斜率k=2，得到了直线方程，因而给出这样的直线存在的论断。这样的论断是否正确，从推导过程来看，没发现任何矛盾的方面，但只要把求出的直线方程2xyl=0代入到曲线方程C：消去y，得，因为，所以直线l：与曲线不相交，不难发现这样的直线不存在。推导过程中没有产生任何矛盾为什么还会出现错误的判断呢？事实上，上面是由假定成立作为条件推导出的一系列结论，这个结论正确与否很难确定。也就是，在一个不真的条件下推出一系列的结论不一定为真。判定一个问题是否存在，应该找出它的充分条件是否具备，而前面两种方法的基本思想都是找出问题存在的必要条件，这一条件又不一定具有该问题存在的充分性，因而会得到一个错误的判断。在这种情况下，必须把所求的结果代入到原题中进行验证，才能得到正确的判断。验证的实质就是验证这个必要条件是否只有结论成立的充分性。上述将所得到的条件斜率k2代入曲线方程验证，就是说明了这一点。解法3：设，若P（1，1）为中点，则因点A、B在双曲线C上，故所以由、得。再代入整理得，显然该方程无实数解。所以这样的直线l不存在。这种解法实际上就是例3解题规律的体现。 例6. 是否存在，使等式同时成立？若存在，求出、的值；若不存在，说明理由。解：由题意得，因为，所以，从而得到或并代入（1）检验知，当时同时成立。 辨析：这个例题解决的方法与前面例题处理的方法基本相同，不同的是检验的结果适合题意，从而说明这样的角确实存在。 解题要领：由上面的例题及例题辨析可知，解探索性问题的一般方法有观察法、直接法和简接法。而简接法一般是将问题转化为存在性的问题来