数学活动经验的案例分析

数学活动经验的案例分析710062 陕西师范大学数学与信息科学学院 罗新兵1.引言 义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简称标准（2011年版）课程目标明确提出“四基”，除了我国传统的“双基”（基础知识和基本技能）以外，又增加了新的“双基”，即基本思想和基本活动经验。那么，如何认识基本数学活动经验？在数学教学中学生应该获得哪些基本数学活动经验？本文主要结合人教版初中数学教材中的四边形和函数的有关内容，分析和探讨基本数学活动经验及基本数学活动经验积累的有关问题。史宁中依据两个标准，即“数学的产生和发展一直依赖的思想是什么”和“学过数学的人和没学过数学的人有什么差异”，明确提出了三个基本数学思想：抽象、推理与模型（见文2）。马云鹏从“贯穿于数学的学习过程”与“对数学本质理解的集中体现”两个角度，确定了三个基本数学思想：数学抽象的思想、数学推理的思想和数学模型的思想（见文3）。也就是说，基本数学思想是非常具体的，大家也能形成共识。另外，我国传统数学教学也一直强调数学思想方法，它们虽然内涵并不完全一致，但也有共同的地方，所以基本数学思想对于数学教师而言相对容易理解。需要特别指出的是，上述三个基本数学思想是从很多数学思想中选择出来的。也就是说，数学思想是比较丰富的，如数形结合、等量替换、化归转化等，而基本数学思想是其中比较特殊的一些数学思想，即经历了“多中选少”的过程，这个过程是一个价值的判断与权衡的过程。相对基本数学思想而言，基本数学活动经验就不那么明确。获得基本数学活动经验，首先必须明确都有哪些数学活动，其中哪些数学活动可确定为基本数学活动。我们先来分析标准（2011年版）关于数学活动或者基本数学活动的表述。在基本理念中，“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”的表述表明了观察、实验、猜测、计算、推理、验证是数学活动。在知识技能目标中，“经历数与代数的抽象、运算与建模等过程；经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程；经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程；参与综合实践活动”的表述表明了抽象、运算与建模；图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定；在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息；参与综合实践活动是数学活动。在数学思考目标中，“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法”的表述表明了观察、实验、猜想、证明、综合实践是数学活动。在教学建议中，强调数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。 进一步地，以统计教学为例指出，通过设计有效的统计活动，使学生经历完整的统计过程，包括收集数据、整理数据、展示数据、从数据中提取信息，并利用这些信息说明问题，不断积累统计活动经验。最后特别指出，强调“综合与实践”是积累数学活动经验的重要载体，通过“综合与实践”的学习积累运用数学解决问题的经验。显然，标准（2011年版）在不同地方对数学活动的表述是有差异的。那么，是否可以将其在不同地方提及的数学活动合并以后就可以构成义务教育阶段数学课程中的数学活动？是否还存在着标准（2011年版）没有提及的数学活动？在上述数学活动中，又有哪些数学活动属于基本数学活动？确定的依据或标准又是什么（以下在论述时只提“数学活动”，不提“基本数学活动”）？显然这些问题都需要认真地研究。一个基本的认识是，研究数学活动或者基本数学活动不能停留在一般层面上泛泛而谈，不能脱离具体数学知识（数学教学内容）空对空谈，而应对具体的数学知识进行深入地分析，揭示数学知识之后所蕴含的数学活动，使数学知识挖掘出数学活动的生长点，使数学活动寻求到数学知识的固着点，并将这些数学活动设计为过程性的教学目标，使学生切实能够在数学学习过程中获得数学活动经验。 2.数学活动经验的案例分析2.1平行四边形学习中的数学活动经验分析以人教版数学（八年级下册）第十九章四边形为例，通过分析可知，四边形这一章所涉及的图形及其相互关系可用如下结构图直观表示：也就是说，这一章依次要研究平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形和直角梯形。一个自然的想法是：研究平行四边形的做法是否也可以用来研究随后的矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形和直角梯形？从数学活动经验的角度来分析，即在平行四边形学习过程中获得的数学活动经验是否可以在随后的矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形和直角梯形的学习中发挥积极作用？进一步地，通过分析平行四边形的教学内容可以知道以下三个基本事实：（1）知识的整体脉络：定义性质判定方法应用首先，教材给出了平行四边形的定义；其次，在掌握平行四边形定义的基础上探究平行四边形的性质；再次，在学习平行四边形的性质后研究平行四边形的判定方法；最后，关于平行四边形知识的应用（这里的应用包括了平行四边形的定义、性质和判定方法的应用，也涵盖了数学内部的应用和数学外部的应用）。（2）考察的基本元素：边、角与对角线平行四边形的一个定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。平行四边形的三条性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。平行四边形的四种判定方法：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。从平行四边形的定义、性质和判定方法中可以看出，其所涉及的平行四边形的基本元素只有三个：边、角、对角线，除此以外再也没有提及其他元素。（3）关注的主要关系：度量关系与位置关系“平行四边形的对边相等”、“平行四边形的对角线互相平分”刻画的是线段相等，“平行四边形的对角相等” 刻画的是角度相等。不论线段相等，还是角度相等，其本质是几何对象的度量关系。“平行四边形的两组对边分别平行”刻画的是边与边的平行关系，菱形的性质“菱形的对角线互相垂直”刻画的是对角线与对角线的垂直关系。无论平行关系，还是垂直关系，其本质是几何对象的位置关系（特殊位置关系）。所以，在学习平行四边形时，除了让学生掌握平行四边形的定义、性质、判定方法与应用这些具体的知识以外，还要让学生体会和感悟以下三点：平行四边形的知识发展的脉络是按照以下的顺序：定义性质判定方法应用；在研究平行四边形时，只关注它的边、角和对角线；在研究边、角和对角线时，只关注几何对象的度量关系和位置关系（特殊位置关系）。而以上就是要求学生在学习平行四边形过程中必须获得的数学活动经验。一旦这些数学活动经验能够积累起来，便可以在后续矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形和直角梯形的学习中发挥积极的作用，经过几次这样学习活动，最终会使学生获得研究四边形的数学活动经验。2.2正比例函数学习中的数学活动经验分析人教版初中数学教材对函数知识的安排如下：教材在研究一般的一次函数之前，先研究特殊的一次函数正比例函数，正比例函数的知识是按照以下的顺序来展开的：第一，从实际问题情境中抽象得到正比例函数的模型。第二，给出正比例函数的描述性定义。第三，利用列表、描点、连线这些步骤画出正比例函数的图象。第四，通过比较不同的正比例函数的图象，考察函数解析式中的取值对正比例函数图象位置的影响及对自变量和函数值之间变化关系的影响。第五，应用正比例函数的有关知识解决问题（包括实际问题）。进一步地，通过分析一次函数、反比例函数、二次函数与锐角三角函数可以发现，不同函数的研究过程是类似的，基本是沿用正比例函数的研究过程，可以用直观图表示如下：所以，一个自然的想法就是，在正比例函数的学习中应该积累对后续函数学习有帮助的数学活动经验！随之的问题是：在正比例函数的学习过程中可以获得哪些数学活动经验？我们认为，应该让学生获得两种具体的数学活动经验和四种一般的数学活动经验。两种具体的数学活动经验是：（1）函数图象的画法经验，即函数图象画法三部曲列表、描点、连线；（2）函数性质的研究经验，就是考察函数解析式中的参数变化对函数图象的位置特点和几何特征的影响，对函数的自变量和函数值之间变化关系的影响。四种一般的数学活动经验是：（1）函数的研究过程经验：抽象函数模型给出函数定义画出函数图象研究函数性质应用函数知识。（2）函数性质的研究经验：借助函数的直观图象以数形结合的方式来研究函数的性质。（3）数学抽象的活动经验：学生在函数知识的学习中要经历两次抽象的过程，一是从实际问题情境中通过剥离无关因素（非数学的因素）抽象得到多样化的函数概念模型；二是在多样化的函数概念模型的基础上进一步归纳形成抽象的函数概念。（4）应用函数的知识分析问题和解决问题的活动经验。如果学生在正比例函数的学习过程中获得了上述数学活动经验，这些数学活动经验就可以在一次函数、反比例函数、二次函数与锐角三角函数的学习中发挥积极的作用。不仅如此，这些数学活动经验还可以在高中阶段和大学阶段的函数学习中起到积极作用。3.进一步的思考在数学活动经验案例分析的基础上，我们对有关的问题做了进一步的思考。（1）学生一旦获得数学活动经验，就能有效开展自主探究学习、自主建构知识，真正体现“学生是数学学习的主体”。以四边形的学习为例，在平行四边形学习之后，学生获得了文中提到的三种数学活动经验，后续的矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形和直角梯形的学习可让学生自行完成，完全可以让学生对上述图形的性质和判定方法进行自主探究。当然不能否认教师在教学过程中的组织者、引导者、合作者的作用。（2）实际上，在一般情形下，数学活动经验积累很难一次完成，可能需要多次才能逐步完成这个积累过程。以函数的学习为例，学生在正比例函数的学习过程中，就很难获得文中提到的全部六种数学活动经验。在这些数学活动中，有的感受到了，有的就未必感受到；有的感受比较深刻，有的感受比较肤浅。因此，在第二次函数的学习过程中，即一次函数学习过程中，教师应该再次启发和引导学生去感受和体验其中的数学活动，最终应能获得所有的六种数学活动经验。（3）教师在教学过程中存在“平均用力”的现象，即每种类型的函数教学课时基本相等，这种现象在其他内容教学中也很普遍，我们是否需要进行反思？在学习不同类型的函数时，函数的定义、性质是新的，但是学习函数的活动经验却不是新的。所以，教师在教学设计时，往往会忽略以前的数学活动经验对当前的数学知识学习的促进作用。理想的教学是：在数学活动类似的数学知识教学过程中，课时应该是逐渐减少的。（4）数学活动经验在数学学习中所起作用的范围、时空是有差异的。例如，在平行四边形学习活动中获得的数学活动经验在四边形这一章内容的学习中会发挥作用，而在正比例函数学习活动中获得的数学活动经验在初中后续函数内容、高中函数内容、乃至大学函数内容的学习中都会发挥作用。当然，随着学生年龄的增长、知识的增多和能力的发展，函数形式将会更加复杂，如从基本初等函数到函数的复合；函数性质将会增多，如高中阶段增加了函数的单调性、周期性和奇偶性，大学阶段增加了函数的有界性、凹凸性；研究对象将会增多，如高中阶段增加了函数图象上的特殊点和函数的最值等，大学阶段增加了拐点、极值点等；研究工具更加多样，如高中阶段增加了“一次导数”作为研究函数单调性的工具，大学阶段增加了“二次导数”作为研究函数单调性、凹凸性的工具等。虽然函数的名称、形式、性质、研究对象、研究工具在不断地变化，但是在正比例函数学习中获得的数学活动经验仍然能够在函数学习中发挥积极作用。（5）对数学活动经验及其积累要开展理论性的研究，但是