高中数学《导数在研究函数中的应用》文字素材1新人教A选修11

高中数学导数在研究函数中的应用文字素材1 新人教A版选修1-1一、导数与函数的交汇例1（2006年山东卷）设函数,其中,求的单调区间.解析：由已知得函数的定义域为，且 （）（1）当时，函数在上单调递减.（2）当时，由，解得.、.随的变化情况如下表:极小值从上表可知当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述:当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减, 函数在上单调递增.【评注】利用导数研究含参函数的单调性一直是高考的重点和热点,常考常新.主要有:根据对参数的讨论来确定函数的单调性;已知含参函数的单调性来求对应参数的取值范围.二、导数与数列的交汇例2（2006年江苏卷）对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是 解析：曲线在处的切线的斜率为又因为切点为，所以切线方程为，令得,令.数列的前项和为【评注】本题考查应用导数求曲线切线的斜率,数列通项公式以及等比数列的前项和的公式,应用导数求曲线切线的斜率时,要首先判断所经过的点是否为切点.否则容易出错.三、导数与三角的交汇例3（2005年湖北）若，则与的大小关系 （ ）A B C D与的取值有关解析：令,由，在上的正负可知与的取值有关。故答案应选D.例4（2005年全国1）设函数，图象的一条对称轴是直线（1）求;（2）求函数的单调区间（3）证明直线与函数的图象不相切.解析：（1）是函数的图象的对称轴,（2）由（1）知因此由题意可得.所以函数的单调增区间为（3）证明:曲线的切线斜率的取值范围为.而直线的斜率为, 直线与函数的图象不相切.【评注】（1）例3若直接比较与的大小关系,则比较麻烦.而采用构造函数,对函数进行求导,判断函数在所给区间的单调性,利用函数的单调性进行比较两个代数式,有事半功倍之效. （2）例4.的第3小题利用导数的几何意义来证明直线与函数的图象不相切.起到化繁为简的作用.四、导数与向量、方程的交汇例5（2001年天津高考模拟试题）已知平面向量，（1）证明（2）若存在不同时为零的实数和，使，且，试求函数关系式（3）据（2）的结论，议论关于的方程的解的情况。解析：（1）（2）即整理得上式化为（3）讨论方程的解的情况，可以看作曲线与直线的交点个数。于是，令解得，当变化时，的变化情况如下表：极大值极小值当时，有极大值，极大值为当时，有极小值，极小值为而时，得所以的图象大致如图所示：于是当或时，直线与曲线仅有一个交点，则方程有一解；当或时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当时，直线与曲线有三个交点，但不同时为零，故此时方程也有两解；当或时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解；【评注】本题考查了平面向量的数量积、导数的运算、函数和方程有关知识，同时又运用了转化化归思想，逻辑性强，是一道典型的融向量、导数、函数、方程为一体的综合性题目，符合高考在知识交汇处设计试题的原则。五、导数与不等式的交汇例6.（2006年四川）已知函数 ,的导函数是,对任意两个不相等的正数,证明:（1）当时,（2）当时,解析:（1）略.（2）证法一:由,得下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立,即证成立.设 ,则令，得，列表如下：极大值对任意两个不相等的正数,当时,证法二:由,得是两个不相等的正数设 ，则，列表：极大值即对任意两个不相等的正数,当时,【评注】本题是利用导数求函数的极值及运用比较法、放缩法证明不等式的综合问题，考查学生推理能力、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。六、导数与解析几何的交汇例7（2004年福建高考模拟试题）设函数分别在、处取得极小值和极大值，平面上点、的坐标分别为，该平面上动点满足，点是点关于直线的对称点。（1）求点、的坐标；（2）求动点的轨迹。解析：（1）令得或当时，；当时，；当时，.函数在处取得极小值，在处取得极大值；故当时，点、坐标分别为（2）设则 又 又的中点在上， 由、消去，得，其中动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆。【评注】本题以函数的导数与极值为载体，利用向量设计点的轨迹，借助对称建立相关点间的联系，是典型的解析几何中求轨迹的问题。七、导数与立体几何的交汇例8（2005年全国3）用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解析：设容器高为 cm，容器的容积为 cm，则 求的导数，令，得（舍去）当时，那么为增函数；当时，那么为减函数；因此，在定义域内，函数只有当时取得最大值，其最大值为（m）答：当容器的高为10 cm时，容器的容积最大, 最大容积是19600 m.【评注】本题是