贵州凯里第一中学高三数学开学考试文

贵州省凯里市第一中学2020届高三数学上学期开学考试试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则A. 1B. C. D. 23. 某地区高考改革，实行“”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“2”指在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，则一名学生的不同选科组合有多少种？A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种4. 已知m，n是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，有以下结论：，其中正确结论的个数是A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知等差数列的公差为2，若，成等比数列，则的值为A. B. C. D. 6. 在棱长为2的正方体内任取一点，则该点到各顶点的距离超过1的概率是A. B. C. D. 7. 已如非零向量，满足，则与的夹角为A. B. C. D. 8. 函数的图象可能是A. B. C. D. 9. 将半径为1的圆铁皮剪成一个矩形，则该矩形的面积的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 410. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则A. 为奇函数，在上单调递减B. 周期为，图象关于点对称C. 为偶函数，在上单调递增D. 最大值为1，图象关于直线对称11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D. 12. 定义在R上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的解集为A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题）13. 曲线在点处的切线方程为_14. 已知，则_15. 若抛物线上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则的面积为_16. 已知函数在时取得最大值，则_三、解答题（本大题共7小题）17. 商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品A按以下单价进行试售，得到部分的数据如下：单价元1516171819销量件6058555349求销量y关于x的线性回归方程；预计今后的销售中，销量与单价服从中的线性回归方程，已知每件商品A的成本是10元，为了获得最大利润，商品A的单价应定为多少元？结果保留整数参考数据：，参考公式：，18. 在中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知求角C的大小；若，求周长的取值范围19. 如图所示，四棱锥中，底面ABCD；，求证：平面SAD；求顶点A到平面SCD的距离20. 设椭圆，离心率，短轴，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为，求椭圆和抛物线的方程；设坐标原点为O，A为抛物线上第一象限内的点，B为椭圆一点，且有，当线段AB的中点在y轴上时，求直线AB的方程21. 已知函数求函数的单调区间；若恒成立，求a的值22. 在直角坐标系xOy中，曲线为参数，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为求曲线的极坐标方程；已知点，直线l的极坐标方程为，它与曲线的交点为O，P，与曲线的交点为Q，求的面积23. 已知当时，求不等式的解集；若时不等式成立，求a的取值范围答案和解析1.【答案】B【解析】解：，；故选：B可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可考查描述法表示集合的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算2.【答案】A【解析】解：，故，故选：A根据复数的基本运算法则进行化简即可本题主要考查复数模长的计算，比较基础3.【答案】B【解析】解：根据题意，分3步进行分析：，语文、数学、外语三门必考科目，有1种选法；，在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，有种选法；，在物理、历史两门科目中必选一门，有种选法；则这名学生的不同选科组合有种；故选：B根据题意，分3步进行分析该学生在“语文、数学、外语三门”、“化学、生物、政治、地理四门”、“物理、历史两门”中的选法数目，由分步计数原理计算可得答案本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题4.【答案】B【解析】解：对于，时，根据两个平面互相垂直的判定定理，不能得出，错误；对于，根据两个平面互相平行的判定定理，不能得出，错误；对于，根据两个平面互相垂直的判定定理，得出，正确；对于，根据直线与平面平行的判定定理，不能得出，错误综上，正确的命题是，只有1个故选：B根据空间中的直线与平面，平面与平面之间的平行与垂直关系，判定正误即可本题考查了几何符号语言以及空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题5.【答案】C【解析】解：由，成等比数列，得到，又公差，得到，即，解得：，则 故选：C由，成等比数列，根据等比数列的性质及通项公式，由列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，由求出的首项和公差，根据等差数列的通项公式求出和的值，即可求出结果此题考查学生掌握等比数列及等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题6.【答案】D【解析】解：点到各顶点的距离不超过1的几何体是一个半径为1的球，体积为，截面图如下：所以根据几何概型，点到各顶点的距离超过1的概率为，故选：D根据已知条件，求出满足条件的体积，代入几何概型计算公式，即可求出答案几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，本题以体积为度量，考查求概率的方法，基础题7.【答案】C【解析】解：非零向量，满足，所以；又，所以，即；所以，又，所以，即与的夹角为故选：C由平面向量的数量积与夹角公式，结合特殊角的余弦函数，即可求出与的夹角本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，是基础题8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的性质和赋值法的应用，属于中档题直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果【解答】解：根据函数的解析式，得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和B当时，函数的值为0，故排除C故选D9.【答案】B【解析】解：如图，矩形的长为，宽为，故矩形面积，故当时，最大值为2，故选：B本题是应用题，首先要审题，求出矩形的长和宽，求出面积，利用三角函数求最值本题是应用题，考查三角函数求最值，基础题10.【答案】D【解析】解：将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，故为偶函数，函数单调递减，故A不正确；再根据的周期为，最大值为1，当时，故B错误；，函数没有单调性，故C错误；当时，函数，为最小值，故的图象关于直线对称，故D正确，故选：D由题意利用函数的图象变换规律，再根据余弦函数的单调性以及图象的对称性，得出结论本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的单调性以及图象的对称性，属于基础题11.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，进而得到所求渐近线方程【解答】解：设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，由，且ON为的中位线，可得，即有，在直角三角形中，可得，即有，由双曲线的定义可得，可得，则双曲线的渐近线方程为故选A12.【答案】D【解析】解：构造，当时，不等式恒成立，当时，单调递增，又是奇函数，是偶函数，当时，单调递减，当时，当时，当时，当时，函数的解集为故选：D构造，结合条件分析单调性，奇偶性，零点，再解不等式即可本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题13.【答案】【解析】解：依题解：依题意得，因此曲线在处的切线的斜率等于1，所以函数在点处的切线方程为 故答案为：利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题14.【答案】【解析】解：，故答案为：利用二倍角公式即可算出结果本题主要考查了二倍角公式，是基础题15.【答案】【解析】解：由抛物线定义，所以，所以，的面积故答案为：利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力16.【答案】【解析】解：，最大值为5，所以，又因为，联立解之得，故答案为：先用公式求出最值，再联立方程解本题考查三角函数的最值，属于基础题17.【答案】解：，销量y关于x的线性回归方程为；设商品A的单价应定为x元，则利润，当时，获得的利润最大【解析】由已知求得与的值，则线性回归方程可求；设商品A的单价应定为x元，则利润，再由二次函数求最值本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题18.【答案】解：，又，则的周长，周长的取值范围是【解析】由三角函数的平方关系、余弦定理即可得出；利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出熟练掌握三角函数的平方关系、正、余弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等是解题的关键19.【答案】解：证明：，是等边三角形，平面SAD，平面SAD，平面SAD解：四棱锥中，底面ABCD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，0，0，1，2，0，2，设平面SCD的法向量y，则，取，得1，顶点A到平面SCD的距离为：【解析】推导出是等边三角形，从而，进而，由此能证明平面SAD推导出，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出顶点A到平面SCD的距离本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.【答案】解：由得，又有，代入，解得，所以椭圆方程为，由抛物线的焦点为得抛物线的方程为：由题意点A位于第一象限，可知直线OA的斜率一定存在且大于0，设直线OA方程为：，得：，可知点A的横坐标，即，因为，可设直线OB方程为：联立可得得：，从而得，若线段AB的中点在y轴上，可知，即，且有，且，解得，从而得，直线AB的方程：【解析】通过离心率以及短轴长，求出b，a得到椭圆方程，通过抛物线的焦点坐标求解抛物线方程即可可知直线OA的斜率一定存在且大于0，设直线OA方程为：，联立得，求出点A的坐标x，然后求解B的坐标，即可求解直线AB的方程本题考查椭圆以及抛物线的简单性质的应用，方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力21.【答案】解：的定义域是，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；恒成立，即恒成立，时，即在恒成立，令，令，则，故在递增，故，故，故在递增，由，故，时，显然成立，时，即在恒成立，令，故在递增，由，故，综上，【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；通过讨论x的范围，得到在恒成立或在恒成立，根据函数的单调性求出a的值即可本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题22.【答案】解：，其普通方程为，化为极坐标方程为：联立与l的极坐标方程：，解得P点极坐标为联立与l的极坐标方程：，解得Q点极坐标为，所以，又点M到直线l的距离，故的面积【解析】先利用平方关系式消去参数t可得普通方程，再利用互化公式可得曲