数学一轮总第十章圆锥曲线训练检测PDF理新人教B

年高考年模拟 版（教师用书） 第十章 圆锥曲线 椭圆及其性质 对应学生用书起始页码 考点一 椭圆的定义与标准方程 （ 江苏， 分）如图，在平面直角坐标系 中， 是椭 圆 （）的右焦点，直线 与椭圆交于 ， 两点，且，则该椭圆的离心率是 答案 解析 由已知条件易得 ， ， ， ， （，）， ， ， ， ， 由，可得 ， 所以 () ， ， 即 （ ） ， 亦即 ， 所以 ，则 思路分析 圆锥曲线中垂直问题往往转化为向量垂直利用 向量数量积为零转化为数量关系 （ 安徽， 分）设 ，分别是椭圆 ： （ ）的左、右焦点，过点 的直线交椭圆 于 ， 两点若 ， 轴，则椭圆 的方程为 答案 解析 不妨设点 在第一象限， 轴， （，）（其 中 ，） 又 ， 由 得 ， ()，代入 得 ，又 ， 故椭圆 的方程为 本题是用待定系数法求椭圆的标准方程，条件中 线段长度 转化为 是关键，利用向量 的坐标运算，从而可以避免复杂的运算，向量法是数学中的 重要方法 （ 四川， 分）已知椭圆 ： （）的两个 焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 ： 与椭圆 有且只有一个公共点 （）求椭圆 的方程及点 的坐标； （）设 是坐标原点，直线 平行于 ，与椭圆 交于不同的 两点 ，且与直线 交于点 证明：存在常数 ，使得 ，并求 的值 解析 （）由已知， ， 则椭圆 的方程为 由方程组 ， ， 得 （） 方程的判别式为 （），由 ，得 ， 此时方程的解为 ， 所以椭圆 的方程为 点 坐标为（，） （）由已知可设直线 的方程为 （）， 由方程组 ， ， 可得 ， 所以 点坐标为 ， ()， 设点 ， 的坐标分别为 （，），（，） 由方程组 ， ， 可得 （） 第十章 圆锥曲线 方程的判别式为 （）， 由 ，解得 由 得 ， 所 以 () () ， 同理， 所以 () () () ()（ ） () () () 故存在常数 ，使得 方法总结 一般地，解直线与圆锥曲线相交的问题时，常常 是联立方程转化为关于 （或 ）的一元二次方程，注意 ， 再结合根与系数的关系进行解题 本题考查了直线与圆锥曲线相交的问题，这类题 中常用的方法是方程法，并结合根与系数的关系，两点间距 离公式，难点是运算量比较大，注意运算技巧 （ 山东， 分）平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： （）的离心率为 ，左、右焦点分别是 ，以 为圆心以 为半径的圆与以 为圆心以 为半径的圆相 交，且交点在椭圆 上 （）求椭圆 的方程； （）设椭圆 ： ， 为椭圆 上任意一点过点 的 直线 交椭圆 于 ， 两点，射线 交椭圆 于 点 （）求 的值； （）求 面积的最大值 解析 （）由题意知 ，则 又 ， ，可得 ， 所以椭圆 的方程为 （）由（）知椭圆 的方程为 （）设 （，）， ，由题意知 （，） 因为 ， 又（ ） （ ） ， 即 ， 所以 ，即 （）设 （，），（，） 将 代入椭圆 的方程， 可得（）， 由 ，可得 则有 ， 所以 因为直线 与 轴交点的坐标为（，）， 所以 的面积 （） 设 将 代入椭圆 的方程， 可得（）， 由 ，可得 由可知 ， 因此 （） 故 ， 当且仅当 ，即 时取得最大值 由（）知， 面积为 ， 所以 面积的最大值为 （ 课标， 分）已知点 （，），椭圆 ： （）的离心率为 ， 是椭圆 的右焦点，直线 的斜 率为 ， 为坐标原点 （）求 的方程； （）设过点 的动直线 与 相交于 ， 两点当 的面 积最大时，求 的方程 解析 （）设 （，），由条件知， ，得 又 ，所以 ， 故 的方程为 （） 当 轴 时 不 合 题 意， 故 设 ： ， （ ， ），（，） 将 代入 得（） 当 （），即 时， 从而 又点 到直线 的距离 ， 所以 的面积 年高考年模拟 版（教师用书） 设 ，则 ， 因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，且满足 ， 所以，当 的面积最大时， 的方程为 或 本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质，直线的 方程以及直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查用代数方 法研究圆锥曲线的综合问题，考查方程思想、函数思想、整体 代换以及换元法的应用考查学生的逻辑推理能力和运算求 解能力 （ 浙江， 分）如图，点 （，）是椭圆 ： （）的一个顶点，的长轴是圆 ： 的直径， 是过点 且互相垂直的两条直线，其中 交圆 于 ， 两 点，交椭圆 于另一点 （）求椭圆 的方程； （）求 面积取最大值时直线 的方程 解析 （）由题意得 ， 所以椭圆 的方程为 （）设 （，），（，），（，）由题意知直线 的斜率 存在，不妨设其为 ，则直线 的方程为 又圆 ： ，故点 到直线 的距离 ， 所以 又 ，故直线 的方程为 由 ， ， 消去 ，整理得（），故 所以 设 的面积为 ，则 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号 所以所求直线 的方程为 本题主要考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置 关系、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几 何的基本思想方法和综合解题能力 以下为教师用书专用（） （ 大纲全国， 分）已知椭圆 ： （）的 左、右焦点为 、，离心率为 ，过 的直线 交 于 、 两点若 的周长为 ，则 的方程为（ ） 答案 由题意及椭圆的定义知 ，则 ，又 ， ， ， 的方程为 ，选 （ 辽宁， 分）已知椭圆 ： ，点 与 的焦 点不重合若 关于 的焦点的对称点分别为 ，线段 的中点在 上，则 答案 解析 解法一：由椭圆方程知椭圆 的左焦点为 （ ， ），右焦点为 （ ，） 则 （，） 关于 的对称点为 （ ，），关于 的对称点为 （ ，），设 中点为（，），所以 （，） 所以 （ ） （） （ ）（） （ ） （ ） ， 故由椭圆定义可知 解法二：根据已知条件画出图形，如图设 的中点为 ，、 为椭圆 的焦点，连结 、显然 是 的中位 线，是 的中位线， （ ） 评析 本题主要考查椭圆的定义等知识，重点考查学生的运 算能力，也考查数形结合思想，难度适宜 （ 陕西， 分）已知椭圆 ： ，椭圆 以 的长轴为短轴，且与 有相同的离心率 （）求椭圆 的方程； （）设 为坐标原点，点 ， 分别在椭圆 和 上， ，求直线 的方程 解析 （）由已知可设椭圆的方程为 （）， 其离心率为 ，故 ，则 ，故椭圆 的方程为 第十章 圆锥曲线 （）解法一：， 两点的坐标分别记为（，），（，）， 由 及（）知， 三点共线且点 ， 不在 轴上， 因此可设直线 的方程为 将 代入 中， 得（），所以 ， 将 代入 中， 得（），所以 ， 又由 ，得 ，即 ， 解得 ，故直线 的方程为 或 解法二：， 两点的坐标分别记为（，），（，）， 由 及（）知， 三点共线且点 ， 不在 轴上， 因此可设直线 的方程为 将 代入 中， 得（），所以 ， 由 ，得 ， ， 将 ， 代入 中，得 ， 即 ，解得 ， 故直线 的方程为 或 评析 本题考查了直线和椭圆的方程，考查了待定系数法 考查了运算求解能力及方程思想 考点二 椭圆的几何性质及应用 （ 课标全国， 分）已知 为坐标原点， 是椭圆 ： （）的左焦点， 分别为 的左，右顶点 为 上一点，且 轴过点 的直线 与线段 交于点 ， 与 轴交于点 若直线 经过 的中点，则 的离心率为 （ ） 答案 由题意知过点 的直线 的斜率存在且不为 ， 故可设直线 的方程为 （），当 时，（），当 时，所以 （，（），（，）如图，设 的 中点为 ，则 ， ()，由于 ， 三点共线，所以 ， 即 （） ，所以 ，即 ，所以 故选 思路分析 根据题意设过点 的直线 的方程，从而求出点 和点 的坐标，进一步写出线段 中点的坐标，利用三 点共线建立关于 ， 的方程，得到 ， 的关系式，从而求出椭 圆的离心率求解本题的关键在于写出各对应点的坐标，难 点在于参数的选择 本题主要考查椭圆的几何性质，三点共线的判定 等基本知识和基本技能，考查学生的计算求解能力和逻辑思 维能力，同时考查了方程思想的应用 （ 浙江， 分）如图，是椭圆 ： 与双曲 线 的公共焦点， 分别是 ，在第二、四象限的公共 点若四边形 为矩形，则 的离心率是（ ） 答案 焦点 （ ，），（ ，），在 中， ， ，所以可解得 ，故双曲线的离心率 ，选 本题考查椭圆与双曲线的几何性质，以及数形结 合思想，函数与方程思想和转化与化归思想，考查学生的运 算求解能力和图形观察能力抓住点 在双曲线和椭圆上且 是解答本题的关键 （ 江西， 分）过点 （，）作斜率为 的直线与椭 圆 ： （）相交于 ， 两点，若 是线段 的 中点，则椭圆 的离心率等于 答案 解析 设 （，），（，），则 ， 、两式相减并整理得 把已知条件代入上式得， ， ，故椭圆的离心率 （ 福建， 分）椭圆 ： （）的左、右焦 点分别为 ，焦距为 若直线 （）与椭圆 的一 个交点 满足 ，则该椭圆的离心率等 于 答案 解析 由已知得直线 （）过 、两点，所以直线 年高考年模拟 版（教师用书） 的 斜 率 为 ， 所 以 ， 则 ， ，如图，故 ， ，由点 在椭圆 上知： ，故 （ 江西， 分）椭圆 （）的左、右顶点分 别是 、，左、右焦点分别是 、若， ， 成 等比数列，则此椭圆的离心率为 答案 解析 ， ， ， 则有 （）（）， 得 本题考查了椭圆的离心率的概念，椭圆和等比数 列的基本性质 （ 山东， 分）平面直角坐标系 中，椭圆 ： （）的离心率是 ，抛物线 ： 的焦点 是 的一个顶点 （）求椭圆 的方程； （）设 是 上的动点，且位于第一象限， 在点 处的切线 与 交于不同的两点 ，线段 的中点为 直线 与过 且垂直于 轴的直线交于点 （）求证：点 在定直线上； （）直线 与 轴交于点 ，记 的面积为 ， 的 面积为 求 的最大值及取得最大值时点 的坐标 解析 （）由题意知 ，可得 因为抛物线 的焦点 的坐标为 ， ()， 所以 ，所以 所以椭圆 的方程为 （）（）设 ， ()（） 由 ，可得 ， 所以直线 的斜率为 因此直线 方程为 （），即 设 （，），（，），（，） 联立 ， 得（） 由 ，得 （或 ），（） 且 ，因此 将其代入 ，得 （ ） 因为 ， 所以直线 方程为 联立 ， 得点 的纵坐标 ， 所以点 在定直线 上 （）由（）知直线 方程为 令 ，得 ，所以 ， ()又 ， ()， ， ()， ， （ ） ， 所以 （ ） ， （ ） （ ） 所以 （）（ ） （ ） 设 则 （）（） ， 当 ，即 时， 取到最大值 ， 此时 ，满足（）式， 所以 点坐标为 ， 因此 的最大值为 ，此时点 的坐标为 ， 疑难突破 以点 的横坐标为参变量表示出点 的坐标，进 而得出直线 的方程，结合直线 的方程，消参可得到点 的纵坐标合理计算三角形的面积并利用函数思想是解决 （）（）的关键 本题考查了椭圆和抛物线的基本知识；考查了直 线与椭圆的位置关系，函数的思想方法，及“设而不求，进行 整体运算”的技巧本题综合性强，运算量大，属难题 第十章 圆锥曲线 （ 浙江， 分）如图，设椭圆 （） （）求直线 被椭圆截得的线段长（用 ， 表示）； （）若任意以点 （，）为圆心的圆与椭圆至多有 个公共 点，求椭圆离心率的取值范围 解析 （）设直线 被椭圆截得的线段为 ， 由 ， 得（） ， 故 ， 因此 （）假设圆与椭圆的公共点有 个，由对称性可设 轴左侧的 椭圆上有两个不同的点 ，满足 记直线 ， 的斜率分别为 ，且 ， 由（）知， ， ， 故 ， 所以（ ） （） 由于 ， 得 （） ， 因此 （）， 因为式关于 ，的方程有解的充要条件是 （） ，所以 因此，任意以点 （，）为圆心的圆与椭圆至多有 个公共点 的充要条件为 ， 由 得，所求离心率的取值范围为 本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位 置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综 合解题能力 （ 重庆， 分）如图，椭圆 （）的左、右 焦点分别为 ，过 的直线交椭圆于 ， 两点，且 （）若 ， ，求椭圆的标准方程； （）若 ，求椭圆的离心率 解析 （）由椭圆的定义，有 （ ） （ ） ，故 设椭圆的半焦距为 ，由已知 ，得 （ ）（ ） ，即 ，从 而 故所求椭圆的标准方程为 （）解法一：如图，连结 ，设点 （，）在椭圆上，且 ， 则 ， ， 求得 ， 由 得 ， 从而 （ ） （ ） 由椭圆的定义，有 ， 从而由 ，有 又由 ， ，知 因此（ ） ，即（ ）（ ） ， 于是（ ）（） ， 解得 解法二：连结 ，由椭圆的定义，有 ， 从而由 ，有 又由 ， ，知 ， 因此， ，得 （ ）， 从而 （ ）（ ） 由 ，知 （）， 因 此 （ ）（ ） （ 浙江， 分）已知椭圆 上两个不同的点 ， 关于直线 对称 （）求实数 的取值范围； （）求 面积的最大值（ 为坐标原点） 解析 （）由题意知 ，可设直线 的方程为 年高考年模拟 版（教师用书） 由 ， ， 消去 ，得 因为直线 与椭圆 有两个不同的交点， 所以 ， 将 中点 ， 代入直线方程 ，解得 由得 或 （）令 ， ， ， 则 ， 且 到直线 的距离为 设 的面积为 （）， 所以 （） () 当且仅当 时，等号成立 故 面积的最大值为 本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位 置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综 合解题能力 （ 陕西， 分）已知椭圆 ： （）的半 焦距为 ，原点 到经过两点（，），（，）的直线的距离为 （）求椭圆 的离心率； （）如图， 是圆 ：（） （） 的一条直径，若椭 圆 经过 ， 两点，求椭圆 的方程 解析 （）过点（，），（，）的直线方程为 ， 则原点 到该直线的距离 ， 由 ，得 ，解得离心率 （）解法一：由（）知，椭圆 的方程为 依题意得，圆心 （，）是线段 的中点，且 易知， 与 轴不垂直，设其方程为 （），代入得 （）（）（） 设 （，），（，），则 （） ， （） 由 ，得 （） ，解得 从而 于是 () （ ） （） 由 ，得 （） ，解得 故椭圆 的方程为 解法二：由（）知，椭圆 的方程为 依题意得，点 ， 关于圆心 （，）对称，且 设 （，），（，），则 ， ， 两式相减并结合 ， ，得 （）（） ， 易知 与 轴不垂直，则 ， 所以 的斜率 因此直线 的方程为 （）， 代入得 所以 ， 于是 () （ ） （） 由 ，得 （） ，解得 故椭圆 的方程为 本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质，直线 与椭圆的位置关系，圆的标准方程等基础知识，巧妙利用根 与系数的关系或点差法构造关于参数的方程是求解的关 键考查学生的运算求解能力及方程思想的应用能力 （ 课标， 分）设 ，分别是椭圆 ： （）的左，右焦点， 是 上一点且 与 轴垂直直 线 与 的另一个交点为 （）若直线 的斜率为 ，求 的离心率； （）若直线 在 轴上的截距为 ，且 ，求 ， 解析 （）根据 及题设知 ， ()， 将 代入 ，解得 或 （舍去） 故 的离心率为 （）由题意，得原点 为 的中点， 轴，所以直线 与 轴的交点 （，）是线段 的中点，故 ，即 第十章 圆锥曲线 由 得 设 （，），由题意知 ， 则 （） ， ， 即 ， 代入 的方程，得 将及 代入得（ ） 解得 ，故 ， 本题考查了椭圆的几何性质及向量的运算等基础 知识，考查用代数方法研究圆锥曲线问题 以下为教师用书专用（） （ 江苏， 分）如图，在平面直角坐标系 中，、 分别是椭圆 （）的左、右焦点，顶点 的坐 标为（，），连结 并延长交椭圆于点 ，过点 作 轴的 垂线交椭圆于另一点 ，连结 （）若点 的坐标为 ， ()，且 ，求椭圆的方程； （）若 ，求椭圆离心率 的值 解析 设椭圆的焦距为 ，则 （，），（，） （）因为 （，），所以 又 ，故 因为点 ， ()在椭圆上，所以 ，解得 故所求椭圆的方程为 （）因为 （，），（，）在直线 上， 所以直线 的方程为 解方程组 ， ， 得 ， （ ） ， ， 所以点 的坐标为 ， （ ） 又 垂直于 轴，由椭圆的对称性，可得点 的坐标 为 ， （ ） 因为直线 的斜率为 （ ） （） （ ） ，直线 的 斜率为 ，且 ，所以（ ） () 又 ，整理得 故 因此 评析 本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与 直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力 对应学生用书起始页码 考点名称常考题型考查难度命题角度关联考点预测热度考题统计（课标卷） 一、椭圆的定义及标 准方程 选择题 解答题 根据椭圆的定义，结合常见 的几何图形求椭圆的标准 方程 轨迹与方程的求解 方法：直接法，定义 法，待定系数法，交 轨法，相关点法，几 何法，参数法 二、椭圆