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2线性空间的定义与简单性质,3维数基与坐标,4基变换与坐标变换,1集合映射,5线性子空间,7子空间的直和,8线性空间的同构,6子空间的交与和,第六章线性空间,6.2线性空间的定义与简单性质,一、线性空间的定义,二、线性空间的简单性质,6.2线性空间的定义与简单性质,6.2线性空间的定义与简单性质,一、线性空间（linearspace）的定义,设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中,定义了一种代数运算，叫做加法：即对，,在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为,的和，记为；在P与V的元素之间还,定义了一种运算，叫做数量乘法：即,在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为,的数量乘积，记为如果加法和数量乘,法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：,6.2线性空间的定义与简单性质,加法满足下列四条规则：,(1),（具有这个性质的元素0称为V的零元素）,(2),（称为的负元素）,(3)在V中有一个元素0，对,6.2线性空间的定义与简单性质,(5),(6),数量乘法与加法满足下列两条规则：,(7),数量乘法满足下列两条规则:,(8),6.2线性空间的定义与简单性质,3线性空间的判定：,注意,1凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为,2线性空间的元素也称为向量，线性空间也称,向量空间但这里的向量不一定是有序数组,线性运算,就不能构成线性空间,运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合,若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者,6.2线性空间的定义与简单性质,例1Pn,Px均为数域P上的线性空间,例2数域P上的次数小于n的多项式的全体，再添,法构成数域P上的一个线性空间，常用Pxn表示,上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘,6.2线性空间的定义与简单性质,的加法和数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，,例3数域P上矩阵的全体作成的集合,按矩阵,用表示,例4任一数域P按照本身的加法与乘法构成一个数,域P上的线性空间,6.2线性空间的定义与简单性质,例5全体正实数R，,判断R是否构成实数域R上的线性空间.,加法与数量乘法定义为：,解：,R不构成实数域R上的线性空间.,6.2线性空间的定义与简单性质,1、零元素是唯一的.,2、的负元素是唯一的，记为-,证：假设有两个负元素、，则有,利用负元素，我们定义减法：,01010202,证：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有,二、线性空间的简单性质,6.2线性空间的定义与简单性质,两边加上即得00；
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