工科数学分析II期末复习提纲

工科数学分析工科数学分析( (IIII) )期末期末复习提纲复习提纲 第十五章第十五章 常微分方程常微分方程 掌握微分方程的基本概念（常微分方程的定义、分类、通解、特解、初值条件） 熟练掌握几类一阶微分方程的求解：变量分离方程、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一 阶线性微分方程、 伯努利(Bernoulli)方程； 熟练掌握二阶线性微分方程齐次和非齐次微分 方程解的结构，二阶常系数线性齐次和非齐次微分方程的解法 典型题目：典型题目： 求解下列微分方程 （1） 2 (4 )0ydxxx dy (2) 0 cos sin dsincos d0, 4 x xy yxy xy 初值条件 (3) 22 ()dd =0 xyx xy y (4) (253)d(246)d =0 xyxxyy (5) 2 -3 -20 xyy xx （6） 4 11 (12 ) 33 yyx y （7） 3 6 9(1); x yyyxe (8) 2 331;yyyx (9) 3 23; x yyyxe (10) cos2yyxx 往年考题：往年考题： 1 （2010-2011）.的通解23求方程 x xeyyy 解：解：特征方程 023 2 rr ，特征根为 2, 1 21 rr ， 对应齐次方程通解为 xx ececY 2 21 。-3 分 因为 1 是单根，设特解 x eBAxxy)( * ，-5 分 代入方程得 02 12 BA A 则 1, 2 1 BA 。-8 分 于是 x exxy) 1 2 1 ( * ， 原方程通解为 xxx exxececy) 1 2 1 ( 2 21 。-10 分 2 （2011-2012）设 )(xyy 满足方程 x eyyy223 ， 且其图形在点 )1, 0( 与曲线 1 2 xxy 相切，求函数 )(xy . 解：解：由特征方程 2, 1023 21 2 rrrr , -2 分 对应齐次方程的通解 xx eCeCY 2 21 -2 分 设特解为 x Axey * ，其中 A 为待定常数， 代入方程，得 x xeyA22 * 从而得通解 xxx xeeCeCy2 2 21 , -（求出非齐方程特解）3 分 由条件知 )(xyy 满足 1)0(, 1)0(yy 代入初始条件得 0, 1 21 CC 最后得 x exxy)21 ()( .-（带入初值条件求出结果）3 分 3 （2012-2013）设 3 =0 ( )=, (3 )! n n x y x n （1）验证 + + = ; x y y y e （2）求 ( ).y x 解：解： （1）由于 3132 =1=1 ( )=,( )= (31)!(32)! nn nn xx y xy x nn 所以 0 + + =. ! n x n x yy ye n -2 分 （2） 因为 + + =0y y y 的特征方程为 2+ +1=0 rr 解得特征方程的特征根是 13 . 2 i r - -3分(或4分) 这样 1r 不是特征根，所以齐次方程的通解是 12 33 (cossin). 22 x yeCxCx -2 分 另原方程的特解是 * yA 带入原方程 解得 x Ae ， -1 分 于是原方程的通解为 1 2 12 33 (cossin) 22 x x yeCxCxe -1 分 又因为 (0)1,(0)0,yy 所以 2 231 ( )cos. 323 x x y xexe -1 分 (若只写到通解也可以) 第十六章第十六章 重积分重积分 二重积分、三重积分的定义以及性质；重积分的计算方法：化为累次积分或换元法。 一、一、普通二重积分的计算普通二重积分的计算： 1计算二重积分 2 2_ . y D x edxdy D是由 1, 0 yx 及 xy 围成的区域。 2计算二重积分cos() D xxy dxdy , 2 | | x D xy e dxdy , 其中( , )| 1Dx yxy 3计算二重积分 (,) ，其中 2 0, D， cos() ( , ) 1 , xyxy f x y xy ， . 4计算二重积分()sin() D xyxy dxdy ,其中( , )|Dx yxy. 二、运用换元公式进行的二重积分计算：二、运用换元公式进行的二重积分计算： 1计算二重积分 22 () D xy dxdy ,D由 2222 1,2,1,2xyxyxyxy所围而成. 2通过换元计算椭圆盘 22 21axbxy cy的面积. (其中 2 0bac) 三、三、运用极坐标系变换进行的二重积分计算：运用极坐标系变换进行的二重积分计算： 1求 D dxdy yx yx 22 22 )sin( = )cos12 （ 其中 0| ),( 22 yxyxD 。 2计算二重积分 2222 22 4 sin xy xy dxdy , 22 222 () xyRx Rxy dxdy 3计算二重积分 22 22 1 D xy dxdy ab ,其中 22 22 ( , )|1,0,0 xy Dx yxy ab . 4计算二重积分 sin( 2 2 + 2 2) ，其中 = (,)| 2 2 + 2 2 1, 0。 四、普通三重积分的计算：四、普通三重积分的计算： 1 (1+)2 ，是由曲面 = ， = 0， = ， = 1所确定的区域。 2 (1+)3 ，其中 = (,)| 0, 0, = 0, + + 1。 五、运用换元公式进行的三重积分计算五、运用换元公式进行的三重积分计算 求 ， 区域 由 = 2+2 , = 2+2 = 2, = 2, = , = 围成， 其中， ， 0 ， 0， 0。 六、六、运用柱面、球坐标变换进行的三重积分计算运用柱面、球坐标变换进行的三重积分计算 1计算三重积分 2 z dxdydz ，其中为椭球 222 222 1 xyz abc . 2计算三重积分 222 222 ln(1) 1 zxyz dxdydz xyz ，其中为椭球 222 222 1 xyz abc . 3 计算三重积分 22 ()Ixy dxdydz ， 其中由曲面 22 zxy， 2z 所围而成. 4计算三重积分 2 Iz dxdydz ，其中由曲面 22 2 ()zxy和曲面 22 zxy 围成. 5设 为椭球体, 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 计算 2 ().xyzdxdydz 6 利用对称性对称性计算三重积分 (2+ cos() ， 其中 = (,)|2+ 2+ 2 2, 2+ 2。 七、七、改变累次积分的积分顺序改变累次积分的积分顺序 1通过交换积分次序计算累次积分(1) 211 0 y x dxe dy ,(2) 3 82 4 0 1 1 x dxdy y . 2交换下列积分顺序（ ； ） (1) 1 0 1 0 (,) + 0 (2) 1 1 +2 12 (,) 1 2+2 八、包含重积分的极限计算八、包含重积分的极限计算 1设( , )f x y为一连续函数, 求极限 222 2 0 1 lim( , ) r xyr f x y dxdy r . 2设 222 :, r Dxyr求 22 2 0 1 limcos(). r xy r D exy dxdy r 3 0+ 1 3 cos( + ) 2+2+2+3 2+2+22 第十七章第十七章 向量场的曲线积分与向量场的曲线积分与 Green 公式公式 第一型曲线积分的概念，性质与计算，第二型曲线积分的概念，性质与计算，Green 公式， 积分与路径无关的四个等价条件。 一、第一型曲线积分一、第一型曲线积分 1. 求 第 一 型 曲 线 积 分 22 () C xy ds ， 其 中C为 曲 线( c o ss i n )xattt， (sincos )yattt(02t ). 2求第一型曲线积分| C y ds ，其中C为双扭线 22 222 ()()xya xy. 3求第一形曲线积分 2 C y ds ，其中C为旋轮线(sin ),(1 cos )xa ttyat的一拱. 4设曲线 2 2 :=1 4 x Ly的周长为l，求 ( + 2)2 。 解解： (+2)2 = (2+42) +4 =4 = 4 5求 = ( + + ) ，其中为圆周 2 + 2+ 2= 2 + + = 0 。 解：解：因为 + + = 1 2 ( + + )2 (2+ 2+ 2) = 1 2 2，则有 = ( + + ) = 1 2 2 的弧长= 1 2 2 2 = 3。 二、二、第二型曲线积分第二型曲线积分 1 求第二型曲线积分 222 ()2 C yz dxyzdyx dz ， 其中曲线C为依参数增加的方向行进 的曲线 23 ,xt ytzt（01t ）. 2 计算 zyxyxzxzyd)(d)(d)( 222222 ,为球面片1 222 zyx，0x， 0y，0z的边界，方向是从)0, 0, 1 (到)0, 1, 0(到) 1, 0, 0(再回到)0, 0, 1 (. 3 计算曲线积分(sin)(cos) xx AmO eymy dxeym dy ，其中AmO为由点( ,0)A a至 点(0,0)O的上半圆周 22 xyax. 4 计算第二型曲线积分 22 2 L xdyydx xy ，其中L为一条包围原点的曲线. 5 计算第二型曲线积分 (5,12) 22(3,4) xdxydy xy . 6 计算第二型曲线积分 2 (2, ) 2 (1, ) (1cos)(sincos) yyyyy dxdy xxxxx . 7 设曲线积分 2 ( ) L xy dxyf x dy 与路径无关， 其中( )f x具有连续导数， 且(0)0,f计 算 (2,2) 2 (0,0) ( )xy dxyf x dy 的值. 解：解：令 2 P( , )=,( , )( )x yxyQ x yyf x 则 P( , )( , ) 2,( ) x yQ x y xyy fx yx 因为 P( , )( , ) , x yQ x y yx 所以有 2( ),xfx 解得， 2 ( ),f xxC 又由于(0)0,f 知 2 0,( ).Cf xx ( 2 , 2 )( 2 , 2 ) 222 ( 0 , 0 )( 0 , 0 ) 2 22 0 ( ) ( . )8. xy dxyf x dyxy dxyx dy x xx x dx 三、三、Green 公式公式 1利用格林公式计算星形线 111 333 xya所围区域的面积. 2用格林公式计算下列曲线围成的面积：笛卡尔叶形线 3+ 3= 3 解：解：曲线的参数方程为 = 3 1+3 , = 32 1+3， 0,+)， = 922 (1 + 3)2 于是() = 1 2 = 92 2 2 (1+3)2 + 0 () = 32 2 ( 1 1 + 3)|0 + = 32 2 3 （2009-2010）计算, 4 . 22 yx xdyydx L 其中L为 ,.4 2 xy从点（2,0）到（-2,0）的一 段。 解：令 2222 4 , 4yx x Q yx y P , ,则当 04 22 yx 时, 有 . )4( 4 222 22 y P yx xy x Q 取椭圆 44: 22 yx ,上半部分记为l，方向为逆时针， 。 则L，l围成封闭区域记为 1 D ， 由 Green 公式得： 0 l L ，即 l L xdyydx yx xdyydx ll 4 1 4 22 ，记 A(-2,0),B(2,0),则补上线段 AB,再次使用 Green 公 式： DAB dxdy2 4 1 4 1 ）（xdyydxxdyydx l r r l xd yyd xxd yyd x0. 4 1 AB 4 （2010 附加）设 22 :0L xyxy的方向为逆时针方向，证明： 22 sin+ cos. 22 L yx dx xy dy 证明：证明：令由 22 :0L xyxy围成的区域为,D 由 GREEN 公式得 2222 22 sin+ cos(sincos) sincos L D DD yx dx xy dyxy dxdy x dxdyx dxdy 2 2sin(), 4 D xdxdy 又( , ),x yD 于是有 11 |, 22 x 从而 2 , 2 x 所以 2 3 , 444 x 于是 2 2 sin()1, 24 x 且 2 1 ( ).(), 22 S D 故命题得证. 第十八章第十八章 向量场的曲面积分与场论初步向量场的曲面积分与场论初步 第一型曲面积分的概念，性质与计算；第二型曲面积分的概念，性质与计算；Gauss 公式， Stokes 公式； 积分与路径无关的四个等价条件， 判断全微分并求其原函数。 梯度场， 散度场， 旋度场的概念以及保守场、有势场及无旋场之间的关系。 一、第一型曲面积分一、第一型曲面积分 1计算第一型曲面积分 ()xyz dS ，其中为球面 2222 xyza 上 zh )0(ah 的部分. （可利用对称性） 2 计算曲面积分 S Syzd)( 22 ， 其中 S 是锥面 22 yzx 界于 0 到 1 之间的部分。 3 设是单位球面2+ 2+ 2= 1，则曲面积分 = . 4计算 222 444 xyz dS abc ,其中为椭球面 222 222 1 xyz abc . 4 计算 2 z dS ，其中为圆锥面 22 zxy被za截下来的那一部分. 二、二、第二型曲面积分第二型曲面积分 1 计算第二型曲面积分yzdzdx ， 其中是球面 2222 xyza的上半部分， 取上侧. 2 计 算,d d2,dzdx,fx y zxy zfx y zyfx y zz dxdy , 其 中 , ,f x y z为连续函数, 为平面1xyz在第四卦限部分,取下侧. 3计算 S zdxdyydzdxdydzxz,-)( 2 其中S是旋转抛物面)( 2 1 22 yxz 介于平面 0 z及2 z之间的部分的下侧。 4计算 S dxdyxydzdxyzxdydzyz,)( 22 其中S为曲面0)(-4 22 yzxy 的外侧. 5计算双曲面zxy 被围在圆柱面 222 xya内部的面积 6计算曲面积分 222 ,x dydzy dzdxz dxdy 其中是球面 2222 (0)xyzRz 的上侧. 7计算 S yxzxxzyzzyxydddddd，其中 S 是曲面 x + y + z= 0 被圆柱面 1 22 zx 所截部分 ,取右侧 。 解：解：S 在 XOZ 平面内投影为 1 22 zx ，且 , 1, 1 zx yy -2 分 所以将积分都投影到 XOZ 平面得 S yxzxxzyzzyxydddddd = xzzxzxzxzx D dd) ) 1 ()() 1)( -6 分 xzxzzx D dd)( 22 根据对称性 0dd xzxz D ）（ 所以上式变为 xzzx D dd)( 22 -8 分 =0 7设为曲面 )40( 22 zyxz 下侧计算曲面积分 ()d d()d d()d dxyzy zyzxz xzxyx y 解：解：补 4z 上侧（ 22 4xy ）, 记 1 2 1 224 00 2 2242 0 0 (1 1 1)3 1 6(4)6 (2)|24 4 r dVdrdrdz rr drrr 1 (4)416 xyxy DD xy dxdydxdy 24168 三、三、Gauss 公式公式 1 使 用 高 斯 公 式 计 算 222 d dd dd dxy zyz xzx y ， 其 中为 球 面 222 2 xaybzcR,取外侧. 2使用高斯公式计算(2)xz dydzzdxdy ，其中为曲面 22 zxy（01z）,曲 面的法向量与z轴正方向成锐角. 3利用Gauss公式 计算 3 222 2 coscoscos , () xyz ds xyz 其中是曲面 222 (1)(2)(3) 1 91625 xyz 的外侧，cos , cos , cos是其外法线向 量的方向余弦. 解：解： 对充分小的0,取 2222 1: xyz（取内侧） ， 使 1 位于内的内区域中，记为与 1 所围有界区域，则 1 1 33 222222 22 3 222 2 coscoscoscoscoscos ()() coscoscos () xyzxyz dsds xyzxyz xyz ds xyz 1 2222 3 3 + 1 0( coscoscos ) 1 34 . xyz dVxyzds dV 4计算曲面积分, )2( 2 3 222 zyx zdxdyydzdxxdydz 其中 ：9 222 zyx，方向取外侧。 解：解： 2 3 222 2 3 222 2 3 222 )2( , )2( , )2(zyx z R zyx y Q zyx x P -2 分 2 5 222 2222 )2( 62 zyx xzyx x P ， 2 5 222 2222 )2( 32 zyx yzyx y Q ， 2 5 222 2222 )2( 32 zyx zzyx z R 所以0 z R y Q x P -4 分 , 0R取充分小的 作椭球面 S: 2222 2rzyx ，属于 内部，并取侧为外侧-6 分 在两曲面围成的区域内使用 Gauss 公式有 SS 0 ，即 2 3 222S 2 3 222 )2()2(zyx zdxdyydzdxxdydz zyx zdxdyydzdxxdydz S 3 1 zdxdyydzdxxdydz r -8 分 .223 1 3 V dxdydz r Gauss再用 -10 分 四、四、Stokes 公式公式 1使用 Stokes 公式计算 L ydxzdyxdz ，其中L是球面 2222 xyza与平面 0 xyz的交线，从x轴正向看去，是逆时针方向. 2使用 Stokes 公式计算 222222 ()(2)(3) L yz dxzx dyxy dz ，其中L是平面 1xyz与柱面| 1xy的交线. 3计算曲线积分 L dzyxdyxzdxzyI,)()()( 其中 L 是柱面 2+ 2= 1与平面 + +