相似三角形分类整理(超全)

第一部分：相似和相似的三角形基本概念：1。相似性：具有相等对应角度和成比例对应边的两个多边形称为相似性。2.相似三角形：两个具有相等对应角度和成比例对应边的三角形称为相似三角形。1.几个重要的概念和性质(平行线段的比例定理)(1)平行线段的比例定理：三条平行线切割两条直线，获得的相应线段是成比例的。称为a b c，助理检察官学士学位C F c我们必须等待。(2)推论：平行于三角形一边的直线切割其他两条边(或两条边的延长线)，相应的线段成比例。A国防工程不列颠哥伦比亚从公元前年起：这个推论比原来的定理应用得更广泛，只要它是平行的。(3)推论的逆定理：如果一条直线切割三角形的两边(或两边的延长线)，并且相应的线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边。该定理给出了两条直线平行的证明方法，即平行线由比例公式证明。(4)定理：平行于三角形的一条边和与其他两条边相交的一条直线。截断三角形的三条边与原始三角形的三条边成比例。(5) (1)平行于三角形一边的直线与其他两条边相交，形成一个类似于原始三角形的三角形。(2)比例线段：在四个线段a、b、c、d中，如果a与b之比等于c与d之比，即=，则四个线段a、b、c、d称为比例线段，简称为比例线段。2.比例的相关性质(1)比例的基本性质：如果是，ad=bc。如果ad=bc(a、b、c、d不等于0)，则。(2)兼容性：如果是，那么。(3)等比性质：如果=(b d n0)，则b是线段a和d的比例的中间项，然后B2=ad。典型案例分析例1: 在1: 38000的南京交通旅游地图上，玄武湖隧道长约7厘米，实际长度约为_ _ _ _ _ _公里。(2) if=then=_ _ _ _ _ _ _。(3)如果=则a: b=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。3.相似三角形的判断(1)如果两个三角形的两个角等于另一个三角形的两个角，那么这两个三角形是相似的。(2)两条边成比例、夹角相等的三角形是相似的。(3)三条边成比例的两个三角形是相似的。补充：相似三角形的识别方法(1)定义方法：三角形对应相同，三条边对应成比例且相似的两个三角形。(2)平行线法：平行于三角形一条边的直线与另两条边(或两条边的延长线)相交，形成与原三角形相似的三角形。注：适用于该方法的基本图(简称为A型和X型)(3)三条边成比例的两个三角形是相似的。(4)两条边成比例、夹角相等的三角形是相似的。(5)两个角对应相同的两个三角形是相似的。(6)一个直角边和斜边的长度与两个直角三角形的长度成正比。(7)两个直角三角形除以斜边上的高度，类似于原来的直角三角形。基本实践(1)如图1所示，当ABCADE(2)如图2所示，当ABCAED。(3)如图3所示，当ABCACD。概要：以上三类被归类为基本数字：母子型或甲类(3)如图4和图1所示，当ABED时，则。(4)如图5所示，当，则。概要：类图是基本的：兄弟或X型典型案例分析示例1:判断所有等腰三角形都是相似的。()(2)所有直角三角形都是相似的。()(3)所有等边三角形都是相似的。()(4)所有等腰直角三角形都是相似的。()例2:如图所示，ABC，AD为BAC的平分线，AD的垂直平分线与E相交，BC与F相交的延长线验证：ABFCAF。例3:如图所示：在Rt ABC中，ABC=90，BD AC=d，如果ab=6；AD=2；Ac=。BD=；BC=；例3:如图所示：在Rt ABC中，ABC=90，BD AC为d，如果e为BC的中点，则ED的延长线与BA的延长线在f处相交。验证：AB :交流=DF :高炉第二部分：相似三角形的判断类似的三角形：定义1.具有相等对应角度和成比例对应边的两个三角形称为相似三角形。温馨提示：(1)当且仅当一个三角形的三个角对应于另一个三角形的三个角，并且三个对应边的比率相等时，这两个三角形(或三角形)称为相似三角形，即定义中的两个条件是必不可少的。(2)相似三角形的特征：形状相同，但大小不一定相同；(3)相应中线的比值、相应高度的比值和相应角平线的比值等于相似比值。(4)两个钝角三角形是否相似必须首先满足两个钝角相等的条件。2.相似三角形的对应边的比率称为相似比。温馨提示：(1)全等三角形必须是相似三角形，其相似比k=1。全等三角形是相似三角形的一个特例。区别在于，一致性要求对应的边相等，而相似性要求对应的边成比例。(2)相似比是连续的。例如，如果ABC的对应边的比值，即相似比是k，那么 a b c ABC的相似比是k=k=1，当且仅当它们是全等的。(3)相似度是一个重要的概念，在后续学习中经常出现。它的本质是把一个图形放大或缩小一倍，这可以用类似的三角形来观察。3.如果具有相同边数的两个多边形的对应角度相等，并且对应的边成比例，则这两个多边形称为相似多边形。4.相似三角形的准备定理：如果一条直线平行于三角形的一边，并且该直线与原始三角形的两条边(或延长线)相交，那么形成的三角形与原始三角形相似。温馨提示：(1)基本图形的定理有三种情况，如图中符号语言所示：debc,abcade；(2)该定理是由相似三角形的定义导出的三角形相似性的判定定理。它不仅本身有着广泛的应用，而且是下一节证明类似三角形的三个判定定理的基础，所以称之为“准备定理”；(3)有了初步定理，在解决问题时，不仅要想到上一节“看平行，想比例”，还要想到“看平行，想相似”。(2)相似三角形的判断1.相似三角形的确定：判断定理(1):两个角对应相同，两个三角形相似。判断定理(2):两条边成比例，夹角相等，两个三角形相似。判断定理(3):三条边成比例，两个三角形相似。温馨提示：(1)当有平行线时，使用上一节学习的准备定理；(2)当一对对应的角相等时(包括隐含的公共角或相反的顶角)，可以考虑判定定理1或判定定理2。(3)当两边彼此成比例时，可以考虑判定定理2或判定定理3。然而，当选择使用判定定理2时，一对对应的角度必须相等，并且成比例的两边的夹角必须相等。例1。如三角形ABC所示，点e是BC的中点，交点e在点d处形成一条直线AB，有AC的延长线在点f处，FD=3ED。验证：自动对焦=3CF2、直角三角形相似判断：斜边与一条直角边成比例，两个直角三角形相似。温馨提示：(1)由于直角三角形的一个角是直角，当判断两个直角三角形相似时，只需要找到一对对应的角相等，通过判断定理1判断两个直角三角形相似，或者两个直角彼此成正比，j(2)图形是相似三角形的一个非常重要的基础图形。图中的三角形可以称为“母子相似三角形”，被广泛使用。(3)如图所示，可以简单地记录为：在RtABC，CDAB，然后ABCCBDACD。直角三角形的体投影定理：CD2=阿德*阿布CD2=阿德* BC2=阿德*阿布总结：在相似三角形中寻找对应元素的方法和技巧正确找到相似三角形的对应元素是分析和解决相似三角形问题的基本技巧。通常有以下方法：(1)当相似三角形有公共角或顶角时，公共角或顶角是最明显的对应角；相似三角形中的最大角度(或最小角度)必须是相应的角度。在相似的三角形中，一对等角为对应角，对应角的对边为对应边，对应角的夹边为对应边；(2)在类似的三角形中，一对最长的边(或最短的边)必须是相应的边；对应边相对的角度就是对应的角度；由相应边缘夹住的角度就是相应的角度。2、相似三角形的常见基本图形：要了解三角形相似性的判断，应该将其与三角形同余的判断进行比较，并将证明三角形同余的思维方法转移到相似三角形上。对于一些高频率的图形，我们应该善于归纳和记忆。我们应该善于总结相似三角形的判断思想，形成一套完整的判断方法。例如：(1)“平行线型”类似三角形，基本图形见上一节图形。“见平行，想相似”是解决这类问题的基本思路。(2)相交线型类似三角形，如上图所示。每个图形都有一个公共角度或顶角。“看到一对等角，找到另一对等角或把等角的两边剪成比