数学新题集锦

高考数学新题集锦http:/www.DearEDU.com0.60.91. 电缆绕在圆柱形的架子上，如图，若空架时架芯直径为0.6米，满架时直径为1.2米，架子宽为0.9米，电缆直径为0.03米，则满架时所绕的电缆的长是（按电缆的中心线计算各圈的长度，取3） （A）1620米 （B）810米 （C）540米 （D）270米2. 用火柴棒按下图的方法搭三角形: 按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an 与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是 A. B. C. D.设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点、分别满足下列两个条件：且；且（）求及的坐标；（）若四边形的面积是，求的表达式；（）对于（）中的，是否存在最小的自然数M，对一切都有M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由解答（） （），（） ，。， ，等即在数列中，是数列的最大项，所以存在最小的自然数，对一切都有M成立3. 集合A是由具备下列性质的函数组成的： (1) 函数的定义域是； (2) 函数的值域是；(3) 函数在上是增函数试分别探究下列两小题：（I）判断函数，及是否属于集合A？并简要说明理由 （II）对于（I）中你认为属于集合A的函数，不等式 是否对于任意的总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论解：（1）函数不属于集合A. 因为的值域是,所以函数不属于集合A.(或，不满足条件.)在集合A中, 因为: 函数的定义域是； 函数的值域是； 函数在上是增函数（2）对于任意的总成立.4. 已知函数（）。（）求的单调区间；（）证明：。解：（）函数的定义域为，且：若，则在上恒成立；若，则，综上所述，有下面结论：若，则在内单调递增；若，则在内单调递减，而在内单调递增。（）由（）的结论知：函数在内单调递减，而在内单调递增，故当时，有，故有，即。5. 椭圆C的中心在原点O，它的短轴长为，相应的焦点F1（c，0）（c0）的准线L与x轴相交于点A，|OF1|=2| F1A|。（1） 求椭圆的方程； （2）过椭圆C的左焦点F2作一条与两坐标都不垂直的直线L1，交椭圆于P、Q两点，若点M在x轴上，且使MF2为MPQ的一条角平分线，则称点M为椭圆的“左特征点”，求椭圆C的左特征点。 （3）根据（2）中的结论，猜测椭圆左特征点的位置。由条件知2b=,可设椭圆方程为1 分又4分设左特征点为M（m，0），左焦点为(-2,0)，可设PQ的方程为：x=ky-25分由x=ky-2与消去x得：又设 则 7分 因MF1为PMQ的角平分线，KPM+KQM=0,即由与化简得：再由代入得：即左特征点为M（-3，0）12分椭圆的左准线与x轴的交点为（-3，0）,故猜测椭圆的左特征点为左准线与x轴的交点。 14分6. 如图一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周 上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折 痕为CD，设CD与OM交于P，则点P的轨迹是（ ）A椭圆B双曲线C抛物线D圆7. 已知时.求证 （1）； （2）证明（1） 3分 （2）由（1） 8分 12分 14分8. 如图所示，平地上有一条水沟，沟沿是两条长100的平行线段，沟宽为2，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为，对称轴与地面垂直，沟深，沟中水深1. （1）求水面的宽； （2）现要把这条水沟改挖（不准填土）成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？（1） 建立直角坐标系，设抛物线的方程为.于是抛物线的方程为.4分（2）设，即.于是，8分令.10分S最小，此时所挖土最少，这时因此，当时，所挖土最少。12分9. 已知P为抛物线y2=4x上一点,记P到y轴的距离为，而到直线x+2y-12=0的距离为,则+的最小值为 解：如图所示 +PE+PM=(PH-1)+PM =PH+PM-1 =PF+PM-1 FM-1 (点F（1，0）到直线x+2y-12=0的距离) = 所以，当F,P,M三点共线时，+的最小值为10. 某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如右表所示电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数近似为最喜爱喜爱一般不喜欢4817718863921603 A25，25，25，25 B24，36，32，8 C20，40，30，10D48，72，64，1611. 已知函数f(x)在区间a，b上单调且f(a)f(b)0，则方程f(x)0在区间a，b内 （ ）A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有唯一的实根12. 已知点H（3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足=0，=，（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过点T（1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得ABE为等边三角形，求x0的值.（1）设点M的坐标为(x,y)，由=,得P(0,),Q(,0),2分由=0，得（3，）(x,)=0,又得y2=4x,5分由点Q在x轴的正半轴上，得x0,所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点.6分（2）设直线l:y=k(x+1),其中k0,代入y2=4x,得k2x2+2(k22)x+k2=0,7分设A（x1,y1）,B(x2,y2),则x1,x2是方程的两个实根，x1+x2=,x1x2=1,所以，线段AB的中点坐标为(,),8分线段AB的垂直平分线方程为y=(x),9分令y=0,x0=+1,所以点E的坐标为(+1,0)因为ABE为正三角形，所以点E（+1,0）到直线AB的距离等于AB,而AB=,10分所以，=,11分解得k=,得x0=.12分13. 一根细金属丝下端挂着一个半径为lcm的金属球，将它浸没在底面半径为2cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球全部被提出水面时，容器内的水面下降了 ( )A. B. C. D.14. 某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是棋盘上标有第0站、第1站、第2站、第100站一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败大本营)时，该游戏结束设棋子跳到第n站的概率为Pn (I)求P0，Pl，P2；(II)求证:()求玩该游戏获胜的概率解：(I)依题意，得 P0=1 1分P1= 2分 .4分(II)依题意，棋子跳到第n站(2n99)有两种可能：第一种，棋子先到第n-2站，又掷出反面，其概率为；第二种，棋子先到第n-1站，又掷出正面，其概率为.7分即.9分(III)由(II)可知数列(1n99)是首项为公比为的等比数列， 11分于是有因此，玩该游戏获胜的概率为.14分15. 如图，在RtABC中，BAC=90，A（，1）、B（，1），SABC=（平方单位），动点P在曲线E（y1）上运动，若曲线E过点C且满足|PA|+|PB|的值为常数.（）求曲线E的方程；（）设直线l的斜率为1，若直线l与曲线E有两个不同的交点P、Q，求线段PQ的中点M的轨迹方程.解:（）|AB|=2，SABC=|AC|AB|=，|AC|=1.但|BC|2=|AC|2+|AB|2，从而|BC|=3 .又|PA|+|PB|=|AC|+|BC|=42，P点在以A、B为焦点，半长轴为a=2，半焦距为c=,半短轴为b=的椭圆E（y1）上. 曲线E的方程为 （）设直线l：y=x+m ,代入E的方程，消x ,可得3y2-2(m+2)y +m2-2 =0 .令f(x)= 3y2-2(m+2)y +m2-2 .方程f(y)=0，有两个不小于1，且不相等的实根时，有解之，得. 设PQ的中点为M（x ,y ），P、Q两点的坐标分别为P（x1 ,y1）,Q（x2 ,y2）,将m=3y-2代入y=x+m得y =即为M点的轨迹方程. 16. 已知点M是椭圆+(0)上非长轴端点的点，F1、F2是椭圆的两个焦点，MF1F2的内心是I，连MI并延长交F1F2于点N，则的值为（ ） A、 B、 C、 D、17. 某纺织厂的一个车间有台织布机，编号分别为1，2，3，；该车间有技术工人名，编号分别为1，2，3，。定义记号，如果第名工人操作了第号织布机，此时规定，否则。例如第3号织布机有且仅有一个人操作，则，那么，7号工人操作了二台机器，请用一个等式来表示 。18. 符号表示不大于的最大整数，若方程的根为，则的值为 2 。19. 某工程由下列工序组成，则工程总时数为 11 天。 1. 一个正整数表如下( 表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍);第1行1第2行2 3第3行4 5 6 7则第8行中的第5个数是 ( )A. 68 B. 132 C. 133 D. 2602. 已知正ABC的边长为3, D、E分别是边BC上的三等分点(如图1). 沿AD、AE把ABC折成三棱锥ADEF, 使B、C两点重合于点F(如图2), 且G是DE的中点.(1) 求证: DE平面AGF;(2) 求二面角ADEF的大小;(3) 求点F到平面ADE的距离.证明: (1)G是DE的中点, AGDE (ADAE) 又B、C合于F点, 即BDDEEC, FGDE, DE平面AGF(4分)(2)由(1)证可知AGF为二面角的平面角, (5分), AFAB3. (6分)(7分).(8分)(3)过F作FOAG, 由(1)证知, DE平面AGF,DEFO, FO平面ADE. (9分)cosAGF, sinAGF.(10分) (11分), (12分)某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成.已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作时）.