数学理科仿真一

普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数学理工农医类（一）本试卷分第卷（选择题共60分）和第卷（非选择题共90分），考试时间为120分钟，满分为150分.第卷（选择题共60分）注意事项：1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=pk(1p)nk球的表面积公式S=4R2,其中R表示球的半径球的体积公式V=R3,其中R表示球的半径一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设P、Q是两个非空集合，定义：PQ=(a,b)|aP,bQ,若P=3,4,5,Q=4,5,6,7，则PQ中元素的个数是A.3 B.4 C.7 D.12解析: N=12.答案: D2.在(2+3x+4x2)5的展开式中，含x项的系数是A.160B.200C.240D.800解析: N=324=240.答案: C3.记函数y=x22x+n+1(1x3,nN*)的最大值ymax=an,最小值ymin=bn，且cn=bn22an，则数列cnA.是公差不为零的等差数列B.是公比不为1的等比数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列又不是等比数列解析: 易得an=n+4,bn=n,cn=n22n8,既不等差，也不等比.答案: D4.已知f(x)=Asin(x+)(A0,0,0),其导函数f(x)的部分图象如下图所示，则A.f(x)=2sin(x+)B.f(x)=4sin(x+)C.f(x)=2sin(x+)D.f(x)=4sin(x+)解析: 由题图知f(x)=2cos(x+),f(x)=4sin(x+).答案: B5.某人的密码箱是由五个数字密码控制的，每位数字可在0到9这10个数字中选取，该人只记得箱子的密码1、3、5位均为0，而忘记了2、4位上的数字，可随意按下2、4位上的数字，则他按对2、4位上的数字的概率为A.B.C.D.解析: 第2、4位各有10种按键的方法，依等可能性事件的概率P=.答案: D6.已知A(7,0)、B(7,0)、C(2，12)，若椭圆的一个焦点为C，且过A、B两点，则此椭圆的另一焦点的轨迹是A.椭圆B.椭圆的一部分C.双曲线D.双曲线的一部分解析: 设另一焦点为P，则|AC|+|AP|=|BC|+|BP|，|BP|AP|=|AC|BC|AB|，故P的轨迹为双曲线一支.答案: D7.已知A(1,7)、B(5,1)、C(2,1)、O(0,0)，且点P在直线OC上，则当、取最小值时，APB等于A.arccosB.arccosC.arccosD.arccos解析: P在直线OC上，可设P(2x,x),=(12x)(52x)+(7x)(1x)=5(x2)28,最小时P(4,2)，cosAPB=,APB=arccos().答案: A8.点P从O点出发，按逆时针方向沿周长为L的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如下图，那么点P所走的图形是解析: 由题图知，所走的路线为轴对称图形，排除D；对于A、B来讲，开始的一段对应的x、y应相等，亦排除；故只有C可选.答案: C9.已知正四棱锥PABCD的底面边长为，高为，M是PA的中点，则直线BM与PC所成的角等于A.30B.45C.60D.90解析: 设PO平面ABCD于O，MO PC=,BO=,BO平面PAC,tanBMO=,BMO=60.答案: C10.已知方程x2+=0有两个不等实根a和b，那么过点A(a,a2)、B(b,b2)的直线与圆x2+y2=1的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.随值的变化而变化解析: a+b=,ab=,lAB:y=(b+a)(x)+.圆心O(0,0)到其距离为d=1.故相切.答案: B11.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=1和x=1处都有极值，且f(1)=1,f(0)=0，则a,c的值依次是A.,B.,C. ,D. ,解析: f(x)=3ax2+2bx+c,又f(1)=f(1)=0,可解得a=,c=.答案: B12.已知方程x2+(4+i)x+(4+ai)=0(aR)有实根b，则a+bi等于A.2+2iB.22iC.2+2iD.22i解析: 整理得(x+2)2+(x+a)i=0.故a=2,b=x=2.答案: B普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数学理工农医类（一）第卷（非选择题共90分）注意事项：1.第卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.已知=m,则实数m的取值范围是_.解析: m2=sin6+cos6=1sin22.故m2,1.又sin0,cos0,故m2,1).答案: (1,1)14.如下图，已知A(,)、B(2,1),点(x,y)在AOB的区域上取值时，目标函数z=3xy的最大值是_.解析: l:y=3xz,kOA=2,故当l过B点时z最大，zmax=3xy=32(1)=7.答案: 715.设随机变量的概率为P(=k)=k(01,且k=1,2,3,),则=_.解析: (+2+n)=()=1,01,=1,=.答案: 16.如下图，ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与平行且长度为2的向量个数是_.解析: N=2=8.对角线长为2的正方形有4个,向量考虑方向，故42=8(个).答案: 8三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分12分)已知f(x)=x2+bx+c(b0对任意x3恒成立，试求实数c的取值范围.解：(1)依题意有f(0)=c0,1，f(1)=1+b+c0,1,由得(c+1)2,1.由得00在x3时恒成立，f(x)0在x3时恒成立.而f(x)=2x2,当x3时f(x)0.f(x)在3,+)上递增.f(3)0,c3.12分18.(本小题满分12分)A、B两个箱子中分别装有标号为0,1，2的三种卡片，每种卡片的张数如下表所示：标号张数箱012A213B212从A箱中取2张卡片，B箱中取1张卡片，共3张卡片，用表示取出的3张卡片中的标号数之积.(1)求随机变量的概率分布；(2)求随机变量的数学期望.解：(1)依题意的取值有0,2,4,8.P(=0)=1+=;3分P(=2)=;P(=4)=+=;P(=8)=.7分的分布列为0248P9分(2)E=0+2+4+8=.12分19.(本小题满分12分)给出等腰梯形数表的前五行如下： (1)根据前五行的规律依次写出第6行、第7行的数；(2)试求出第n行中所有数之和Sn.解：(1)第6行：0,1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,0.第7行：0,1,6,21,50,90,126,141,126,90,50,21,6,1,0.(2)数列规律为：第一行为0,1,0,从第二行开始的每个数都是其上三个数之和(若其上无数以0计).S1=1,Sn+1=3Sn，故Sn为以1为首项，3为公比的等比数列，故Sn=3n1(nN*).12分20.(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、bR都满足f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0)、f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(3)若f(2)=2,vn=(nN*)，求数列vn2的前n项和Sn.解：(1)令a=b=0,得f(0)=0f(0)+0f(0)=0.令a=b=1,得f(1)=1f(1)+1f(1),f(1)=0.4分(2)令a=b=1,得f(1)=f(1)(1)=f(1)f(1)=2f(1),f(1)=0.令a=1,b=x,得f(x)=f(1x)=1f(x)+xf(1)=f(x)+0=f(x).f(x)是奇函数.8分(3)当ab0时，=+.令g(x)=,则g(ab)=g(a)+g(b),g(an)=ng(a).f(an)=ang(an)=nang(a)=nan1f(a).vn=()n1f().f(2)=2,f(1)=f(2)=2f()+f(2)=0,f()=f(2)=,vn=()()n1(nN*).Sn=()n1.12分21.(本小题满分12分)如下图，在已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为直角梯形，ABCD且ADC=90，AD=1，CD=，BC=2，AA1=2，E是CC1的中点.(1)求A1B1与平面ABE的距离；(2)求二面角ABEC的大小.解：以D为原点，以、方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系Dxyz.(1)A1(1,0,2),A(1,0,0),E(0, ,1),过C作CFAB于F，则F(1,0),易得BF=,B(1,2,0),=(0,2,0),=(1,1).设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),不妨令n=(1,0，1)，则又=(0,0,2)，A1B1到平面ABE的距离d=.6分(2)B1(1,2,2)，=(0,0,2),=(1, ,0).设平面BCE的一个法向量为n=(x,y,z),易得不妨令n=(,1,0),n与n的夹角或其补角即为所求，设为.则cos=,故二面角的大小为arccos.12分22.(本小题满分14分)已知椭圆+=1(ab0)与直线x+y1=0相交于A、B两点，且OAOB(O为坐标原点).(1)试问该椭圆是否过定点？(2)若椭圆长轴长的取值范围是