数学复习点拨二项式定理问题的三大热点

二项式定理问题的三大热点、五大方法学习二项式定理，应对二项式定理问题的三大热点、五大方法倍加关注，其具体内容是：一三大热点1通项运用型2系数和差型3综合应用型二五大方法1常规问题通项分析法例1如果在（+）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.解：展开式中前三项的系数分别为1，由题意得2=1+，得n=8.设第r+1项为有理项，T=Cx，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.有理项为T1=x4，T5=x，T9=.评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r. 通项公式Tr+1= Can-rbr(nN+,r=0,1,2,2，n）中含有a,b,n,r, Tr+1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题（如判断和计算二项展开式中的特殊项），这类问题一般是正确使用通项公式，要清楚其中的相关字母的意义，利用等价转化的思想方法把问题归结为解方程（组）2系数和差型赋值法例2已知（x）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是A.28B.38C.1或38D.1或28解析：T=Cx8r（ax1）r=（a）rCx82r.令82r=0，r=4.（a）4C=1120.a=2.当a=2时，令x=1，则（12）8=1.当a=2时，令x=1，则（12）8=38.答案：C例3若（1+x）6（12x）5=a0+a1x+a2x2+a11x11.求：（1）a1+a2+a3+a11；（2）a0+a2+a4+a10.解：（1）（1+x）6（12x）5=a0+a1x+a2x2+a11x11.令x=1，得a0+a1+a2+a11=26，又a0=1，所以a1+a2+a11=261=65.（2）再令x=1，得a0a1+a2a3+a11=0.+得a0+a2+a10=（26+0）=32.评述：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或-1.3近似问题截项法例4求(2.999)10的近似值（精确到0.001）解：(2.999)10=（3-0.001）10=310-10390.001+45380.0012-120370.0013+210360.0014-=59049-196.83+0.295245-0.00026244+58852.465评述：用二项展开式作近似计算，注意底数的变形，以及考查对精确度有影响的某些项。4整除（或余数）问题展开法例5求证：2n+23n+5n-4能被25整除。思路点拨：25=52, 而2n+23n=46 n=4(5+1) n，将此二项式展开后就会出现5r解：原式=4(5+1) n+5n-4=4(C5n+ C5n-1+ C5n-2+ C)+5n-4=4(C5n+ C5n-1+ C5n-2+ C52)+25n以上各项均为25的整数倍，故得证。5最值问题不等式法例6在二项式（axm+bxn）12（a0，b0，m、n0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求的最值.解：（1）设T=C（axm）12r（bxn）r=Ca12rbrxm（12r）+nr为常数项，则有m（12r）+nr=0，即m（12r）2mr=0，r=4，它是第5项.（2）第5项又是系数最大的