数学立体几何预测

2008年高考数学立体几何预测试题 秦 永1. ABCDD1C1B1A1直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，（1）求证：AC平面BB1C1C；（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论答案：（1） 直棱柱中，BB1平面ABCD，BB1AC 又BADADC90，CAB45， BCAC又，平面BB1C1C， AC平面BB1C1C （2）存在点P，P为A1B1的中点 证明：由P为A1B1的中点，有PB1AB，且PB1AB又DCAB，DCAB，DC PB1，且DC PB1，DC PB1为平行四边形，从而CB1DP又CB1面ACB1，DP 面ACB1，DP面ACB1同理，DP面BCB12. 已知直角梯形中, ,过作,垂足为,的中点,现将沿折叠,使得. (1) 求证：；(2) 求证：；（3）在线段上找一点,使得面面,并说明理由. ABCDEGFABCDEGF 答案：（1）由已知得：, . , ,.（2）取中点，连接, ， , ， . , .（3）分析可知，点满足时，. 证明：取中点，连结、 容易计算, 在中,可知, 在中, ,. 又在中, .3. 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=，PA=AB=BC，E是PC的中点（1）证明CDAE；（2）证明PD平面ABE；（3）求二面角APDC的大小答案： （1）在四棱锥中，因底面，平面，故，平面而平面，（2）由，可得是的中点，由（1）知，且，所以平面而平面，底面在底面内的射影是， 又，综上得平面（3） 法一：过点作，垂足为，连结则（）知，平面，在平面内的射影是，则因此是二面角的平面角由已知，得设，可得在中，则在中，所以二面角的大小是法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。设PA=AB=BC =a，又由已知，得xyz故A(0,0,0)，B(a,0,0)，C()，D(0,0)，P(0,0,a)因为E是PC的中点，所以E().（1）=（），=(),=0.所以CDAE.（2）= D(0,a)，=(a,0,0)，=(),=0，=0。PDAB，PDAE，又ABAE=A,PD平面ABE.（3）显然=（1，0，0）是面PAD的一个法向量，又由（2）知=0，=0, 平面PDC的法向量可以取为=（）的共线向量，取,cos=.结合图形可知所求二面角APDC的大小为.4如图，平行四边形中，过作，垂足为的中点，且，将沿折成直二面角.(1) 求二面角的大小；(2)求点到平面的距离. 答案：(1) 因为二面角为直二面角，所以平面.过作，交于，连接.则为二面角的平面角.因为，所以.在直角三角形中，,所以，在直角三角形中，,则.所以, 二面角的大小为.（2）过点作平面，垂足为，连接.则为二面角的平面角，且大小为,则，又所以,于是点到平面的距离为.5. 在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形， 为的中点，且，求二面角的大小答案：法一： 为的中点，且，C1B1CBAA1P ，设，则，于是，所以 由，得平面，所以， 是二面角的平面角 是等腰直角三角形， ， 即二面角的大小是 法二：以为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设，则， ，由， 得，即，所以 平面的一个法向量为，设面的一个法向量是，则由 ，得， ， 设与的夹角为，则DPABC 二面角的大小是6如图，棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BD=.（1）求点C到平面PBD的距离.（2）在线段上是否存在一点,使与平面所成的角的正弦值为，若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由yzDPABCx 答案：（1）在RtBAD中，AD=2，BD=， AB=2，ABCD为正方形，因此BDAC. PA=AB=AD=2，PB=PD=BD= 设C到面PBD的距离为d，由，有， 即，得. （2）如图, 建立空间直角坐标系因为在上，所以可设，又, .,.易求平面的法向量为，（应有过程）所以设与平面所成的角为，则有.所以, 有， .所以, 存在且.7. 一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M、N分别是AF、BC的中点)左视图俯视图(1) 求证：平面CDEF；(2) 求二面角DMNB的余弦值的绝对值.答案：由三视图可知，该多体是底面为直角三角形的直三棱柱ADEBCF ，且 . .（1）取BF中点G，连MG、NG ，由M、N 分别为AF、BC 中点可得， ，面MNG 面CDEF , .（2）建立空间直角坐标系，如图， 则 设平面DMN 的法向量为 , 则即 设平面MNB 的法向量为 ,则且，即 . 设二面角DMNB 的平面角为 ，则. 二面角DMNB 的余弦的绝对值为.8. 如图，三棱柱中，已知平面平面，棱的中点为.（1）求证：；（2）求点到平面的距离. 答案：（1）连结、则由题设得：,平面-. 又平面.（2）作，则，由题知点到平面的距离等于点到平面的距离,又由（1）知,则又故到面的距离为.M9. 如图，已知ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F是BE的中点求证：（1）FD平面ABC；（2）AF平面EDB答案：(1) 取AB的中点M，连FM、MC F、M分别是BE、BA的中点， FMEA, FM=EA EA、CD都垂直于平面ABC， CDEA， CDFM 又 DC=a， FM=DC，四边形FMCD是平行四边形 FDMC，FD平面ABC （2）因为M是AB的中点，ABC是正三角形，所以CMAB又因为CMAE,所以CM面EAB, CMAF, FDAF 因为F是BE的中点，EA=AB，所以AFEB 10. 如图：在长方体，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为 （1）求证：D1EA1D； （2）求AB的长度； （3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角。若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由 答案：（1） 连结AD1，由长方体的性质知，AE平面AD1，所以AD1是ED1在平面AD1内的射影又AD=AA1=1，AD1A1D，D1EA1D1 （2）设AB=x，四边形ADD1