高一数学课程设计展示

集合与函数概念一、教材分析集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变：思维从静止走向了运动、从运算转向了关系函数是高中数学的核心内容， 是高中数学课程的一个基本主线，有了这条主线就可以把数学知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些函数与不等式、数列、导数、立体、解析、算法、概率、选修中的很多专题内容有着密切的联系用函数的思想去理解这些内容，是非常重要的出发点反过来，通过这些内容的学习，加深了对函数思想的认识函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终高中数学课程中，函数有许多下位知识，如必修1第二章的幂、指、对函数数，在必修四将学习三角函数函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型二、学情分析 1学生的作业与试卷部分缺失，导致易错问题分析不全面通过布置易错点分析的任务，让学生意识到保留资料的重要性2学生学基本功较扎实，学习态度较端正，有一定的自主学习能力但是没有养成及时复习的习惯，有些内容已经淡忘通过自主梳理知识，让学生感受复习的必要性，培养学生良好的复习习惯3在研究例4时，对分类的情况研究的不全面为了突破这个难点，应用几何画板制作了课件，给学生形象、直观的感知，体会二次函数对称轴与所给的区间的位置关系是解决这类问题的关键三、设计思路本节课新课中渗透的理念是：“强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极性”在本节课的学习过程中，教师没有把梳理好的知识展示给学生，而是让学生自己进行知识的梳理一方让学生体会到知识网络化的必要性，另一方面希望学生养成知识梳理的习惯在本节课中不断提出问题，采取问题驱动，引导学生积极思考，让学生全面参与，整个教学过程尊重学生的思维方式，引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问题通过自主分析、交流合作，从而进行有机建构，解决问题，改变学生模仿式的学习方式在教学过程中，渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想、函数与方程思想在教学过程中通过恰当的应用信息技术，从而突破难点四、教学目标分析(一)知识与技能1了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，集合的基本运算A：能从集合间的运算分析出集合的基本关系B：对于分类讨论问题，能区分取交还是取并2理解函数的定义，掌握函数的基本性质，会运用函数的图象理解和研究函数的性质A：会用定义证明函数的单调性、奇偶性B：会分析函数的单调性、奇偶性、对称性的关系(二)过程与方法1通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化2在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合与函数的本质(三)情感态度与价值观在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的信心在例4的解答过程中，渗透动静结合的思想，让学生养成理性思维的品质五、重难点分析重点：掌握知识之间的联系，洞悉问题的考察点，能选择合适的知识与方法解决问题 难点：含参问题的讨论，函数性质之间的关系六知识梳理(约10分钟)提出问题问题1：把本章的知识结构用框图形式表示出来问题2：一个集合中的元素应当是确定的、互异的、无序的，你能结合具体实例说明集合的这些基本要求吗？问题3：类比两个数的关系，思考两个集合之间的基本关系类比两个数的运算，思考两个集合之间的基本运算，交、并、补问题4：通过本章学习，你对函数概念有什么新的认识和体会吗？请结合具体实例分析，表示函数的三种方法，每一种方法的特点问题5：分析研究函数的方向，它们之间的联系在前一次晚自习上，学生相互展示自己的结果，通过相互讨论，每组提供最佳的方案在自己的原有方案的基础上进行补充与完善学生回答问题要点预设如下：1集合语言可以简洁准确表达数学内容2运用集合与对应进一步描述了函数的概念，与初中的函数的定义比较，突出了函数的本质函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型3函数的表示方法主要有三种，这三种表示方法有各自的适用范围，要根据具体情况选用4研究函数的性质时，一般先从几何直观观察图象入手，然后运用自然语言描述函数的图象特征，最后抽象到用数学符号刻画相应的数量特征，也是数学学习和研究中经常使用的方法设计意图：通过布置任务，让学生充分的认识自己在学习的过程中，哪些知识学习的不透彻让学生更有针对的进行复习，让复习进行的更有效让学生体会到知识的横向联系与纵向联系通过类比初中与高中两种函数的定义，让学生体会到两种函数的定义本质是一样的七、易错点分析(约3分钟)问题6：集合中的易错问题，函数中的易错问题?主要是作业、训练、考试中出现的问题?教师展示学和成果并进行点评对于问题6主要由学生讨论分析，并回答，其他学生补充这个过程尽量由学生来完成，教师可以适应的引导与点评设计意图：让学生学会避开命题者制造的陷阱，通过不断的分析，让学生了解问题出现的根源，充分暴露自己的思维，在交流与合作的过程中，改进自己的不足，加深对错误的认识通过交流了解别人的错误，自己避免出现类似的错误八、考察点分析(约5分钟)问题7：分析集合中的考察点，函数中的考察点问题8：知识的横纵联系学生回答问题要点预设如下：1集合中元素的互异性2，则集合A可以是空集3交集与并集的区分，即何时取交，何时取并，特别是含参的分类讨论问题4函数的单调性与奇偶性的证明5作业与试卷中出现的问题6学生分析本章的考察点，主要分析考察的知识点、思想方法等方面设计意图： 让学生了解考察点，才能知道命题者的考察意图，才能选择合适的知识与思想方法来解答例如如果试题中出现集合， 无论试题以什么形式出现，考察点基本是集合间的基本关系、集合的运算九、典型问题分析例1：设集合（1）若，求实数的值；（2）若，求的值；（3）若，求的值教师点评，同时板书(1)答案： 或;(2)答案： 或;(3)答案： 由学生分析问题的考察点，包括知识与数学思想（预设有以下几个方面）从知识点来分析，这是集合问题考察点主要为集合的表示方法、集合中元素的特性、集合间的基本关系、集合的运算等学生在解第1个问时，可能漏掉特殊情况第2、3问可能会遇到一定的障碍，可以给学生时间进行充分的思考设计意图：让学生体会到分析考察点的好处，养成解题之前分析考察点的习惯能顺利的找到问题的突破口，为后续的解答扫清障碍通过一题多问、一题多解、多题归一，让学生主动的形成发散思维，主动应用转化与化归的思想例2：已知函数是定义在R上的奇函数，当时，求函数的解析式变式：函数是偶函数教师对生回答进行点评并板书学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充学生回答问题要点预设如下：1考察点为函数的奇偶性与函数图象的关系2函数的奇偶性的定义3转化与化归的思想法一：本题即求，函数的解析式，可先利用函数的奇偶性绘制函数的图象，把本题转化为二次函数的图象与解析式的问题法二：本法更具有一般性，已知时，函数的解析式，要分析时的函数对应关系，即当一个数小于零时，函数值应当怎样计算由于函数具有奇偶性，即一个数与它的相反数的函数值之间有关系， ，所以可以研究的函数值设计意图：学生在思考的过程中，体会数形结合思想函数的奇偶性与函数的图象的关系，可以根据奇偶性绘制函数图象，也可以通过函数的图象分析函数的奇偶性，两者是相辅相承的体会转化与化归的思想，把要研究的转化为已知的考察函数的单调性的证明，函数的奇偶性与单调性之间的关系，体会知识的纵向联系体会转化与化归的思想、特殊与一般的数学思想，让学生体会到问题后面隐含的本质例3：已知是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断 变式1：函数为奇函数变式2：你能分析奇函数(偶函数)在对称区间上的单调性的关系吗?试从数形两个方面来分析学生分析考察点、解题思路，如果不完善，其他学生补充学生回答问题要点预设如下：1考察点为函数的奇偶性与单调性的关系2函数的单调性的定义3数形结合、转化与化归的思想法一：通过函数的图象分析法二：把要研究的范围转化为已知的范围设计意图：明确函数的性质是一个有机的整体，不是一个个知识点的简单罗列同时体会知识的纵向联系与横向联系，在第二个方法中进一步感受转化与的思想通过两个变式的研究过程，学生体会研究探索性问题的一般思路，即通过特殊情况分析结果，再对结果的正确性进行证明例4：求在区间上的最大值和最小值变式：在区间上的最大值是1，求的值教师用几何画板演示，二次函数对称轴的变化对函数的最值的影响答案： 时，最大值是，最小值是;时，最大值是，最小值是;时，最大值是，最小值是;时，最大值是，最小值是变式答案：或学生通过直观的演示，思考问题的考察点与解答策略学生回答考察点分析(预设)：1二次函数的图象与性质2分类与整合3逆向思维学生回答解题思路分析（预设）：研究二次函数的对称轴方程与所给的区间的关系设计意图：通过几何画板的动态性，给学生直观的感知，从而建立最近发展区，进而突破难点通过对二次函数的研究，学生巩固了上位知识函数的图象与性质，充分体会数形结合的优势学生在解答变式的过程中， 体会逆向思维与正向思维的关系，体会函数与方程思想，感受到动静结合十、课后小结1 知识网络2 知识的来龙去脉3 问题中体现的数学思想4 分析问题的基本思路学生总结，教师板书设计意图： 让学生把知识窜串，形成网络，能迅速而准确的选用知识来解答问题十一、课后总结巩固所学，补充课上的不足主要是本节课中没有涉及的问题，本节课中理解有困难的问题1已知是定义在R上的函数，设，（1）试判断的奇偶性；（2）试判断的关系；（3）由此你猜想得出什么样的结论，并说明理由？2设函数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值3已知集合，是否存在实数，同时满足4将长度为20 cm的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为多少？十二、教学反思在复习课中，要充分调动学生学习的自主性，让学生独立制定出适合自己的知识结构、整理出自己在本章学习中出现的问题在课堂上，学生通过交流与合作，体会解决问题成功的喜悦从而养成良好的学习习惯、树立信心感受知识的横向联系与纵向联系，洞悉知识的本质、问题的根源，从而形成深刻的印象，少出现或避免出现类似的问题通过分析知识的来龙去脉，明确知识的用途通过典型题分析，回顾主干知识，重要的数学思想，感受知识与数学思想的有机融合函数的单调性【教学目标】 1使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法2通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力3通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习【教学手段】计算机、投影仪【教学过程】一、创设情境，引入课题 课前布置任务：(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因. (2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考 问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小设计意图由生活情境引入新课，激发兴趣二、归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1借助图象，直观感知问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？预案：(1)函数在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数在整个定义域内 y随x的增大而减小(2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小(3)函数在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识设计意图从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识2探究规律，理性认识问题1：下图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？学生的困难是难以确定分界点的确切位置通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究设计意图使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性问题2：如何从解析式的角度说明在为增函数？预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12 0, a1）。8通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的图象，了解它们的变化情况。二、内容安排全章分为三节，教学时间约需15课时，具体分配如下（仅供参考）：21 指数函数 约6课时22 对数函数 约6课时23 幂函数 约1课时小结 约2课时本章知识结构如下：1本章首先涉及指数幂的扩充。学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂，学习了整数指数幂的运算法则有了这些知识作准备，教科书通过实际问题引出了分数指数幂，说明了扩张指数取值范围的必要性，由此先将平方根与立方根的概念扩充到n次方根，将二次根式的概念扩充到一般根式的概念，然后进一步探究了分数指数幂及其运算性质，最后通过有理指数幂逼近无理指数幂，通过一个实例介绍了无理指数幂的概念，将指数的范围扩充到了实数。2指数函数是高中新引进的第一个基本初等函数，因此，教科书先给出了指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立、指数函数图象的绘制、指数函数的基本性质的发现与指数函数的初步应用，作了完整的介绍。指数函数是本章的重点内容之一3教科书从具体问题引进对数概念。从对数概念的建立过程可以看出，教科书是从指数运算与对数运算的互逆关系来建立对数概念的（这与历史上对数的发明先于指数不同），这为学生学习时发现与论证对数的运算性质提供了方便。与传统教科书另一个较明显的区别是，这里加强了对数的实际应用与数学文化背景。4对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础讲授的对数函数的研究过程也同指数函数的研究过程一样，目的是让学生对建立和研究一个具体函数的方法有较完整的认识。在学习了指数函数与对数函数后，以两个底数相同的指数函数与对数函数介绍了反函数的概念。对一般的反函数概念，教科书根据标准的要求没有作更多的介绍，这也是与传统教科书有区别的另一个地方。5幂函数是实际问题中常见的一类函数，教科书是从具体问题中归纳了以1、2、3、 、1这五个数作为指数的幂函数y=x， ，并通过它们的图象归纳出这五个幂函数的基本性质。三、本章编写中考虑的几个问题1.以适当的问题带动学生的学习，使他们在解决问题的过程中自主地建构知识问题是思维的动力，是生长新思想、新方法与新知识的种子。课程内容“问题化”，实际上是将那种从定义到概念到定理，再用概念和原理解决问题的“演绎式”教材体系，转化为问题引导的，体现知识发生发展过程的，从大量的、丰富的具体事例中通过归纳概括而获得数学的概念与法则的“归纳式”教材体系。这样的转化有利于学生学习方式的改进，能促使他们积极主动学习。本章充分关注高中学生的心理发展和分析能力、思维能力明显增强的特点，强调以问题激发学生的学习动机和兴趣，引起学生的“认知冲突”，使他们带着问题学习。例如，在“指数”与“指数函数”的内容中，教科书先给出了两个实际例子：GDP的增长问题、碳-14的衰减问题。前一个问题是为了让学生回顾初中已经学习过的整数指数幂，体会其中的函数模型；后一个问题是为了让学生进一步感受到指数函数的实际背景，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的强烈欲望，为新知识的学习作铺垫。又如，在2.1.2的“指数函数及其性质”的学习中，教科书安排了问题“例8截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口约为多少（精确到亿）？”在学习“对数”概念时，教科书首先提出的问题是：“在2.1.2的例8中，我们能从关系中，算出任意一个年头的人口总数。反之，如果问哪一年的人口数约为18亿，20亿，30亿？该如何解决？”，这样的问题可以使学生看到指数函数、对数函数的研究源于社会生活、生产的需要，可以促进学生在解决问题的过程中理解知识。2强调学生的动手操作和主动参与，让他们在观察、操作、探究等活动中归纳和发现知识与结论，使学生学习方式的改进落在实处为了促进学生主动学习，提高他们分析问题和解决问题的能力，教科书充分重视为学生提供动手操作与主动参与的机会。例如，在“无理数指数幂”的学习中，不仅让学生根据提供的数据表格，观察无理指数幂是怎样用有理指数幂来逼近的，同时还安排了“思考”，让学生自己动手制表、观察并说明无理指数幂的含义。又如，在绘制指数函数与对数函数图象的过程中，教科书没有提供完整的自变量与函数值的对应值表，而是留空让学生自己填充。再如，在“幂函数”的基本性质的处理上，教科书设计了如下活动：探究 观察图2.3-1，将你发现的结论写在下表内： 定义域值域奇偶性单调性定点3. 积极探索数学课程与信息技术的整合，适当体现信息技术的应用为了更好地发挥信息技术的作用，为学生进行自主探究、理解数学本质提供有力的认知工具，本章加强了信息技术与课程内容的整合。如“用有理指数幂逼近无理指数幂”中的近似计算，利用“碳14”含量测定生物体死亡时间等。特别是在利用指数函数与对数函数的图象发现指数函数与对数函数的基本性质的内容中，教科书安排了以下的内容：探究 选取底数（ ）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内作出相应的指数函数的图象。观察图象，你能发现它们有哪些共同特征？探究 选取底数（）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内作出相应的对数函数的图象。观察图象，你能发现它们有哪些共同特征？上述探究活动，为学生使用信息技术发现指数函数与对数函数的基本性质提供了机会，可以让学生在信息技术构建的动态环境下，通过观察函数图象的连续变化，发现指数函数与对数函数的一些基本性质。4. 重视数学知识与实际问题的联系，关注数学应用，让学生体会数学是自然的并且是有用的为了使学生感受指数函数、对数函数的现实和数学背景，使学生感到引进和研究它们的必要性，在本章的每一个概念的产生过程中，都注意了通过具体实例，展示函数模型的实际背景，使学生理解不同的变化现象应当用不同的函数模型来描述。同时，在例题、练习、习题与复习参考题中，安排了较多的实际应用问题，如人口问题、碳14考古问题、增长率问题、细胞分裂问题、地震震级计算问题、溶液酸度的测量问题、臭氧层保护问题等，以加强本章研究的基本初等函数与现实的联系性。四、对教学的几个建议1突出指数函数与对数函数是现实世界中的重要数学模型，强调它们的实际背景和应用价值。把指数函数、对数函数等作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，要求结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，强调指数函数、对数函数、幂函数是三类不同的函数增长模型，这是本章学习要求的重要变化。因此，要加强让学生通过具体实例了解指数函数、对数函数模型实际背景的教学；要利用适当的事例，让学生体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义；另外，还可以要求学生通过收集现实生活中普遍使用的函数模型实例，去了解这些函数模型的广泛应用。2引导学生体会数学知识结构的严谨性。本章中，指数幂概念及其运算性质的拓展内涵了数学研究中对数学知识发展的逻辑合理性、严谨性的要求，教学中要引导学生认真体会。指数幂的运算性质，是在根式与分数指数幂的基础上，先将整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂的运算性质；然后在有理指数幂逼近无理指数幂的思想指导下，再将有理指数幂的运算性质推广到了实数范围。指数幂的运算性质的每一次推广，都需要考虑严谨性的要求。3充分发挥函数图象的几何直观作用，加强数形结合思想教学。数形结合、几何直观等数学思想方法是本章学习中的重要思想方法，它们对于理解本章的几个基本初等函数的性质（例如增长模式）是十分重要的，同时信息技术又使得函数作图变得方便、快捷，并且可以构建一种动态环境，为学生利用图象直观研究函数性质提供了有力工具。因此，教学中应充分注意发挥函数图