数学复习点拨函数表示法中的一题多解

函数表示法中的一题多解函数的三种表示方法列表法、图像法和解析法，是研究函数问题的基点和出发点. 通过函数表示法中的一题多解，一方面我们可以在了解三种表示法各自优缺点的基础上，能根据不同问题的需要，达到灵活运用函数表示法的境界，即合理选择某种函数的表示法、综合运用几种函数的表示法，以及善于转化几种函数的表示法；另一方面可以从不同的角度帮助我们在更高层次上把握函数的概念、图像和性质.一、把握函数概念中的一题多解例1已知函数分别由下表给出：则的值 ；满足的的值 .分析：因为题设中的两个函数都是由列表法给出的，定义域相同且有限，值域也有限，所求的问题也只与三个函数值有关，所以既可以通过解析法直观求解，又可以通过一个综合型的表格法直观求解.解法1：，.，.；满足的的值为2.解法2：函数由同一张表格给出：123131321131313由上表可得，且满足的的值为2.点评：不论是解析法还是列表法，都能准确而清晰地表达自变量与函数值之间的对应关系，有时为了便于问题的解决，可以变通一些函数的表示法，如这里为了便于比较两个函数值的大小，就用了一种综合型的表格法.例2 求函数的值域.分析：求含绝对值函数的值域，关键是如何去掉绝对值，所以既可以把原函数转化为分段函数求解，又可以通过图像法直观求解.解法1：原函数写成分段函数得 .当时，的值域是；当时，的值域是. 故取其并集即得函数的值域为.解法2： . 作出其图像为：观察图像得函数的值域为.点评：研究含绝对值函数的问题，一般转化为分段函数求解，其目的就是把一个复杂问题转化为几个简单的问题来解决，从中我们更深刻地认识到了分段函数不是几个函数，而是一个函数.二、把握函数图像中的一题多解例3图中的图像所表示的函数的解析式为( )(A) (B) (C) (D) 分析：把已知图像转化为解析式表示，宜根据图像的特征，选择相应的函数模型通过待定系数法求解；又根据选择题的题型特征，可从图像的特殊点（最高、最低点，与坐标轴的交点等）入手，用表格法巧妙求解.解法1：当时，令，则点代入解得，从而；当时，令，则点、分别代入解得，从而.已知图像所表示的函数的解析式为，与选择支(B)的函数转化为分段函数后的解析式相同，故选(B).解法2：由已知图像列表如下：x012y00用点代入选择支可排除(A)(C)，再用点代入选择支可排除(D)，故选(B).点评：研究函数的图像，既要从局部特征出发，研究它的特殊点、特殊线，又要从整体着眼，并预测整体的变化趋势.例4客车从甲地以的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程与时间之间关系的图像中，正确的是( )分析：先把实际问题转化为函数解析式，再转化为图像；也可在实际问题中，找出几个分界点或关键点，与已知图像一起双管齐下来破解.解法1：当时，；当时，；当时，.路程s与时间t之间的函数解析式为，对照图形选(C).解法2：根据题意列出客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程与时间之间的关系表格如下：t00.511.251.522.5s030606060100140用点代入选择支可排除(B)，再用点代入选择支可排除(A) (D)，故选(C).点评：从中我们进一步认识到了函数图像在实际问题中的作用与重要性，有时甚至用其它表示方法是无法替代的.三、把握函数性质中的一题多解例5 函数的递增区间是( )(A) (B) (C) (D)分析：从原函数直接研究单调区间显然比较困难，根据经验可先转化为分段函数，再逐段研究；也可作出图像直接观察而得.解法1：原函数写成分段函数得，分段函数的三段中只有第二段函数在其自变量的取值范围内是增函数，即递增区间为，故选(A). 解法2：原函数写成分段函数得，画出图像得：由图像观察即知递增区间为，选(A).点评：解析式有利于通过计算等手段研究函数的性质，图像法有利于通过图像的直观性研究函数的性质，所以能转化为图像的尽可能转化为图像表示，在画图时要特别注意一些关键点的作用，如分界点、对称点、转折点等.例6 已知函数的图像关于轴对称，且在上是单调减函数，则( )(A) (B)(C) (D)分析：函数式抽象是难点也是突破点，它可以给我们自由选取满足题意的函数或图像更广阔的空间，所以宜用特殊函数或特殊图像进行智取.解法1：由函数的图像关于轴对称，可取特殊函数，它也同时满足在上是单调减函数，则，从而，故选(D). 解法2： 函数的图像关于轴对称，如图作出的代表图像，再向右移2个单位即得的图像，