陕西吴堡吴堡中学高中数学第二章平面向量数量积的有关概念详解示例素材北师大必修4_第1页
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详解示例：平面向量数量积的有关概念一.两个向量的夹角：对于非零向量，作，称为向量，的夹角，当0时，同向，当时，反向，当时，垂直。二.平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意:数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）ABC中，则_（答：9）；（2）已知，与的夹角为，则等于_（答：1）；（3）已知，则等于_（答：）；（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_（答：）三.向量在向量上的投影:为，它是一个实数，但不一定大于0。如已知，且，则向量在向量上的投影为_（答：）四.的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。五.向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：(1)；(2)当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，为锐角可以推出,但不一定可以推出为锐角；当为钝角时，0，且不反向，为钝角可以推出,但不一定可以推出为钝角; (3)非零向量，夹角的计算公式：；。如已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_（答：或且）；已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_（答：）；已知与之间有关系式，用表示；求的最小值，并求此时与的夹角的大小（答：；最小值为，）六.两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？(1)在实数中：若，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，不能推出.(2)已知实数，且，则a=c,但在向量的数量积中没有.(3)在实数中有，但是在向量的数量积中，这是因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量.七.向量平行(共线)的充要条件：0。如(1)若向量，当_时与共线且方向相同（答：2）；（2）已知，且，则x_（答：4）；（3）设，则k_时，A,B,C共线（答：2或11）.八、向量垂直的充要条件： .特别地。如(1)已知，若，则 （答：）；（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，则点B的
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