湖北孝感高级中学高中数学教学《例谈联想思维在解题中的应用》

湖北省孝感高级中学高中数学例谈联想思维在解题中的应用论文 联想是一种心理现象，是由一个事物想到另一个事物的心理过程.数学解题的过程，就是根据题目条件与结论联想与之接近或相似的知识点，结构特点，思想方法，做过的题目，常用结论和常用方法，把题目的条件和结论之间用一系列的因果链条连接起来，从而解决问题的过程.本文通过例题说明联想思维在解题中的应用，旨在提高学生分析问题，解决问题的能力.1联想知识点 在解题过程中，可根据问题的形式特点联想相关知识点，通过对有关定义，定理，公式，法则和性质等的联想，从中寻找解题的突破口，使问题迎刃而解.例1（2010辽宁理11）已知则满足关于的方程的充要条件是（ ） 解析移项后得，因 要与结论等价，则恒成立，又故恒成立，即恒成立，选点评由形式特点联想到“一元二次不等式恒成立的充要条件”这一重要知识点是解决问题得关键.例2设函数使关于的不等式在上至少存在一个解，则实数的取值范围（ ）.解析因定义域是故是偶函数且 ；又在单增且恒大于在单增且恒大于故在为增函数，故原不等式若则矛盾，故原命题等价于有解，故即点评由函数解析式的特点联想到函数的单调性和奇偶性这些重要性质，再利用其性质等价转化，避免了繁杂的分类讨论.例3（2011安徽理18）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作再令（1）求数列的通项公式；（2）设求数列的前项和 解析（1）（过程略）.（2）由得故点评由数列通项的形式特点联想到两角差的正切公式，再进行裂项求和是快速破题的关键.2联想结构特点 面对一个数学问题，如果能够根据所求问题的结构特点进行联想，挖掘其中蕴含的特殊规律和内在联系，预测，猜想，探索可能的解题途径，往往能够使得问题的求解过程简洁明了.例4（2010四川理12）设则的最小值是（ ） 解析 原式=，当且仅当“且”即“”时=成立，故原式的最小值为4.点评 本题代数式结构繁杂，但联想到完全平方式，均值不等式等结构特征，对原式进行优化重组，问题便迎刃而解.例5若函数满足则当时，与的大小关系为（ ）解析设则故在上单增，因故即点评由式子结构特点联想到构造商的导数法则，若条件变为则联想到构造积的求导法则.3联想数学思想方法 数学思想方法是数学解题的灵魂，数学解题过程，实际上就是数学思想方法的再现过程.当解题过程中不能充分揭示题目的隐含条件，找不到解题的突破口时，若能联想我们学过的数学思想方法，转换思维角度，经过适当的变形，转化，往往能使许多思维障碍不攻自破.例6（2011重庆文15）若实数满足则的最大值为（ ）解析因故又由得，故即的最大值为点评不少同学做此题时无从下手，关键是没能联想到函数思想引领解题，求最值和范围问题往往要联想利用函数思想，分清自变量与函数值，将函数解析式准确求出来.例7（2011年浙江理21）已知抛物线圆的圆心为点M.（1）求点M到抛物线的准线的距离；（2）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线交抛物线于A，B两点，若过点M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程. 解析(1)略.（2）如图1，设由题意得图1直线方程为即与圆相切，化简得即同理可得由直线方程思想得直线AB的方程为的直线方程为点评根据相切条件得到方程后，若能联想到利用直线方程思想引领解题，便可快速求解，比原解答更加简洁.4联想做过的题目例8（2011课标全国理21）已知函数曲线在点处的切线方程为（1）求的值；（2）如果当且时，求的取值范围.解析（1）（2）可转化为在且恒成立，令再令当时，当时， 在时恒成立，即在上单调递减，注意到时，总有恒成立，又由定理1知，点评联想到我们做过的2010课标全国卷理21题目：设函数（1）若求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围.此外我们做过的还有2008年全国卷II理22题，2007年全国卷I理20题，2006全国II理20题，我们还有什么理由不能“秒杀”本题来？此外2011大纲全国21题是“四点共圆问题”，也可以联想到2005年湖北理21题的“四点共圆”是我们做过的题目.5联想常用结论 有些较为复杂的题目实际上是许多重要知识点的有机组合，它们往往来自简单题，即“简单题+简单题=难题”，而数学解题是命题的连续变换，所以在遇到复杂的题目时，若能联想到常用的结论，善于把复杂问题分解，往往能够起到化难为易的效果.例9设为所在平面上一点，且在线段的垂直平分线上，向量若则（）解析设线段的垂直平分线与交于则点评许多学生做此题时不知如何下手，有些用特值法处理；但若能联想到“若为边的中点，则”这一平面向量中的重要结论，便可圆满解决该题.例10（2010山东理22）已知函数（1）时，讨论的单调性；（2）设当时，若对任意存在使求实数的取值范围.解析（1）当时，的单增区间为单减区间为当时，的单减区间为当时，的单增区间为单减区间为和（过程略）.（2）“若对任意存在使”可先把看作自变量，看作常量，于是等价于有解；又等价于由（1）知，在上单减，在上单增，又当时，矛盾；当时，矛盾；当时，综合上述， 的取值范围为点评本题将两个常用的结论“在上恒成立等价于在上有解等价于”有机结合起来，由此可见，本题所谓的压轴难题就是“简单题+简单题”.6联想常用方法 数学解题常用方法需要不断积累，在积累过程中不断提高应对各种新颖题目的能力.有些题目看上去很陌生，但实际上就可以用我们常见的方法去解决.例11（2010江苏12）设满足则的最大值为（ ）解析令的最大值为点评联想到待定系数法是解决本题的关键，甚至还可以将本题结论推广.例12（2011上海理17）设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为（ ）.A0 B.1 C.5 D.10解析从特例入手，不妨令五点共线，且则满足题意的点恰为的中点，存在且唯一.猜想知：满足条件的点的个数是唯一的，下面用反证法证明如下：假设满足条件的点除外还有点那么，-得则点与点重合，与假设矛盾. 满足条件的点只有一个.点评联想到特殊到一般的分析问题的方法和反证法，可准确，快速解决此问题. 7联想常用技巧 有些数学问题若能联想到常用解题技巧解决问题，便会有“山重水复疑无路，柳岸花明又一春”的感悟.例13（2008重庆理10）函数的值域是（ ） 解析当时，当时，其中其几何意义为动点与定点构成直线的斜率，由数形结合知综上有故选 点评