高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的统一定义 曲线和方程的两性问题素材 苏教版选修2-1

2.5 曲线和方程的“两性”问题论述曲线与方程的关系必须注意其应满足的两个条件，两个条件缺一不可否则，缺少第一个条件，方程不能表示曲线上所有点，导致“不完整”，失去“完备性”，方程也就不能准确刻划曲线的代数性质；缺少第二个条件，方程包含了不在曲线上的点，导致“不纯”，失去“纯粹性”，方程同样不能准确描述曲线的性质；只有两个条件都得到验证，才能保证“完备性”与“纯粹性”，使方程表示的点“一个也不少”、“一个也不杂”下面举例说明.一、验证纯粹性在求曲线的轨迹方程时，因方程整理、变形不等价，由此会出现不符合题意的点，这时必须去掉，解这类题目时，要认真分析题意，仔细思考，严密变形.例1已知一条曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。分析：本题条件中给出的关系清楚，可用直接法.解：设P(x，y)为所求曲线上的任意一点，因为曲线在x轴的上方，所以y0，则P点到x轴的距离就是P点的纵坐标的绝对值|y|=y，因为y0，则|PA|=2，即y2，移项，y2，两边平方，化简得y=x2(y0)，即y=x2(y0)是所求曲线的方程.评注：求曲线的轨迹方程要注意动点轨迹的完备性和纯粹性，本题虽然原点的坐标（0，0）是方程y=x2的解，但不属于已知曲线上的点，因为y0，所以所求曲线方程是y=x2(x0)，它的图形是开口向上且关于y轴对称的一条抛物线，但缺一个顶点，否则破坏了纯粹性。例 已知A（2，0）、B（-1，2），点C在直线2x+y-3=0上移动，求ABC重心G的轨迹方程分析：重心G的运动是由点C在直线2x+y-3=0上运动引起的，因而设出G点坐标（x，y），再用x、y表示出点C的坐标，就可以建立起点G的轨迹方程，另外还应考虑完备性与纯粹性是否得到保证解：设G（x，y），C（x0，y0）G是ABC的重心，A（2，0），B（-1，2）；，故，又C（x0，y0）在直线2x+y-3=0上，2x0y0-3=0，即2(3x-1)+(3y-2)-3=0， 6x+3y-7=0. （）A（2，0）、B（-1，2）、C（3x-1,3y-2）共线的条件是，即2x+3y-4=0.解方程组，得，方程（）中含有轨迹外的一个点（，），应剔除故ABC的重心G的轨迹方程是6x+3y-7=0 (x).评注：本例中的动点C、G可分别称为主动点与从动点，力求从动点G的轨迹，应设出其坐标，再根据主动点与从动点存在的位置关系，建立两动点坐标之间的等量关系，实现用从动点坐标表示主动点坐标之后，代入主动点坐标应满足的等量关系，就得到从动点坐标应满足的方程，这种方法通常称为“转移法”另外，本题由于构成三角形的条件的限制，即A、B、C三点不共线，即有重心G不在直线AB上，不注意此问题，就会造成增加轨迹以外的点，为此，还应进行一些删除，才能确保纯粹性二、验证完备性在求轨迹方程时，如果忽略隐蔽条件，有些方程会出现漏掉曲线上的部分或个别点，应根据其条件作出相应补充.例3如图，过定点A(a,b)任作互相垂直的两条直线L1与L2，且L1与x轴交于M点L2与y轴交于N点，求线段MN中点P的轨迹方程.分析：题中给出的条件A(a,b)；L1L2；点M、点N.从不同的角度去分析三个条件之间的联系，将有不同的解法.解法一(直接法)：当直线AM斜率存在时，设P(x,y),则M(2x,0),N(0,2y),于是kAM=,kAN=,L1L2,=-1,化简整理得2ax+2by-a2-b=0(x),当直线AM垂直x轴时，此时MN中点(,),也满足上述方程.解法一(相关点法)：设点P(x,y),M(x1,0),N(0,y1),则,即,L1L2,(x1-a)2+b2+(y1-b)2+a2=x+y,化简得ax1+by1-a2-b2=0,所求点P的轨迹方程为2ax+2by-a2-b=0.评注：一般地，要求那个点的轨迹方程，就设这个点为（x，y