高中数学 常用逻辑、圆锥曲线同步训练 新人教版选修2-1（通用）

选修选修 2-12-1常用逻辑常用逻辑 【基础知识 1】 简易逻辑部分掌握联结词;四种命题(两组等价命题);反证法步骤; 命题关系中的充要条件(理解倒装式和等价转换思想的应用); 【题型训练】 【题型】常用逻辑 1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ B ） A “若一个数是负数，则它的平方不是正数” B “若一个数的平方是正数，则它 是负数” C “若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D “若一个数的平方不是正数，则 它不是负数” 变式：设 , a b是向量，命题“若a b ，则a= b”的逆命题是 D A若a b ，则ab B若a b ，则ab C若ab，则a b D若a=b，则a= -b 2.已知,m n是两条不同直线，, 是三个不同平面，下列命题中正确的是（D ） A,mnmn若则B, 若则 C,mm若则 D,mnmn若则 变式:下列命题中的假命题是 B AxR, 1 20 x 2x-10 B. * xN, 2 (1)0 x C xR,lg1x D. xR,tan2x 3.命题“存在 0 x R， 0 2x0”的否定是 ()A）不存在 0 x R, 0 2x0 B）存在 0 x R, 0 2x0 C）对任意的xR, 2x0 D）对任意的x R, 2x0 4.命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是 D A.所有不能被 2 整除的数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的数都是偶数 D.存在一个能被 2 整除的数都不是偶数 变式：1.命题“对任何xR， 243xx ”的否定是 ; 2.命题“存在 xR，使得 x2+2x+5=0”的否定是 ; 设x Z ，集合A是奇数集，集合B是偶数集。若命题 :,2pxAxB ，则（ D ） （A） :,2pxAxB （B） :,2pxAxB （C） :,2pxAxB （D） :,2pxAxB 5.“xy”是“xy”的 B A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6.P:不等式| 11 xx xx 解集为|01xx;q:在ABC中,“AB”是sinsinAB成立的 必要非充分条件，则（ A ） A. P 真 q 假 B.“p 且 q”为真 C. “p 或 q”为假 D. P 假 q 真 7.已知 q 和 P 是两个命题,如果 p 是 q 的充分不必要条件,那么非 q 是非 P 的( A ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 给定两个命题 p、q，若p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是q 的 B （A）充分而不必条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 8.“ 1 2 m 是直线(2)310mxmy 与直线(2)(2)30mxmy相互垂直”的( B ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 变式:1.“0 x ”是“0 x ”的（ A ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2.“”是“且”的 A A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.设”是“则“xxxRx 3 1,的 wA A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4.给定空间中的直线 L 及平面，条件“直线 L 与平面内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面垂直” 的（ C ）条件 A充要 B充分非必要 C必要非充分 D既非充分又非必要 已知集合 aA, 1，3 , 2 , 1B，则”“3a是”“BA的（A） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分 也不必要条件 设 a, b 为向量, 则“| |aabb”是“a/b”的 C (A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件 9.”“22a是“实系数一元二次方程01 2 axx有虚根”的 A A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 变式：1.设 ,x yR 则“ 2x 且 2y ”是“ 22 4xy ”的 A A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必 要条件 2已知211,10pxq xaxa ：若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范 围是（A） 1 0, 2 1 0, 2 1 ,0, 2 1 ,0, 2 10.“ 1 4 m ”是“一元二次方程 2 0 xxm”有实数解的 A A充分非必要条件 B.充分必要条件 C必要非充分条件 D.非充分必要条件 变式:1.0a 是方程 2 210axx 至少有一个负数根的（ B ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2.a、b 为非零向量。 “ab”是“函数( )() ()f xxabxbaA为一次函数”的 C A充分非必要条件 B.充分必要条件 C必要非充分条件 D.非充分必要条件 3.“x ”是“x ”的 A A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也 不必要 11.设ba,是两条直线，,是两个平面，则ba 的一个充分条件是 C （A）,/,ba （B）/,ba （C）/,ba （D）,/,ba 变式：使不等式 2 2530 xx成立的一个充分不必要条件是( C ) A. 0 x B. 0 x C. 1,3,5x D. 1 2 x 或3x 12.设集合( , )|,( , )|20,( , )|0,Ux yxR yRAx yxymBx yxyn那么点 (2,3)() U PAC B的充要条件是( A ) A. 1,5mn B. 1,5mn C. 1,5mn D. 1,5mn 13. 设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使 | ab ab 成立的充分条件是（ C ） A、ab B、/ab C、2ab D、/ab 且| |ab 选修 2-1空间向量 【基础知识 2】空间向量运算 (一)利用向量几何运算计算线线所成角,两点间距离典例: 1.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,D 是 AB 的中点. 1)求 1 ,AC BC ;(900)2)写出直线 AC1的一个方向向量. 2.空间四边形 OABC 中, ,OAa OBb OCc ,点 M 在 OA 上,且2OAOM ,N 为 BC 中点,则 MN 等于? 3.在中ABCA,ABc ACb ,若点 D 满足2BDDC ,则AD 等于( A ) A. 21 33 bc B. 52 33 cb C. 21 33 bc D. 12 33 bc 4.正四面体 ABCD 的每条棱长都等于 a,点 M,N 分别是 AB,CD 的中点,求证: ,MNAB MNCD. 5.设,| 1,| 2,| 3 6 abb cabc ,求向量abc 的模.( 176 3) 变式：平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AB=2，AD=2，AA1=1，AB、AD、AA1两两夹角均为 600，则 1 AC BD = ； 6.如图所示,已知线段 AB 在平面内,线段AC,线段BDAB, 且 BD 与平面所成的角是 0 30,如果,Ba ACBDb, 求 C,D 间的距离.( 22 ab) A B D C E a 7.如图,空间四边形 OABC 中,H 是OBCA的重心, 设,OAa OBb OCc ,试用, ,a b c 表示向量,AH AC AB BC . 【基础知识 3】空间向量在六类证明中的应用 1)线线平行判定:方向向量平行则两线平行; 2)线面平行判定:直线方向向量与平面的法向量垂直则线面垂直; 3)面面平行判定:两平面的法向量平行则两面平行; 4)线线垂直:两直线的方向向量垂直则两直线垂直; 5)线面垂直:直线的方向向量与平面的法向量平行则线面垂直; 6)两平面的法向量垂直则两平面垂直. 【题型训练】 【题型类】 1.根据下列条件,判断相应的线、面位置关系： 1）直线 12 ,l l的方向向量分别是(1, 3, 1),(8,2,2)ab ； 2）平面, 的法向量分别是(1,3,0),( 3, 9,0)uv ； 3）直线l的方向向量、平面的法向量分别是(1, 4, 3),(2,0,3)au ； 4）直线l的方向向量、平面的法向量分别是(3,2,1),( 1,2, 1)au . 2已知向量 , , a b c 是空间的一个基底，向量, ab ab c 是空间的另一个基底，向量p 在 基底 , , a b c 下的坐标为（4，2，3） ，则向量p 在基底, ab ab c 下的坐标是（3，1，3） 。 3.在正四面体 ABCD 中,证明: ,ABCD ACBD ADBC. 4.已知棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D,求平面 ACB1的一个法向量. 5.在正方体 1111 ABCDABC D中,PQ 是异面直线 A1D 和 AC 的公垂线, 如图求证:PQ/BD1. O A B C D H A B C D D Q P A1 B1 C1 D1 6.在三棱锥 A-BCD 中,如果两组对棱,ABCD DBAC,求证: DABC. 7.在正方体 AC1中,O1为 B1D1的中点,求证:BO1/面 ACD1. 8.已知 M、N、P 分别是正方体 1111 ABCDABC D中的棱 CC1、BC、CD 的中点， 求证： 1 AP 平面 DMN. 9.在空间直角坐标系中有长方体 1111 ABCDABC D, 1 2 2,1 2 ABBCAA , E 是 C1D1中点,求证: 平面 AA1E平面 BB1 【基础知识 4】空间向量在角的计算和距离计算中的应用 1)角的范围:空间两直线所成角的范围: 0 ,90 ;异面直线所成角的范围: (0 ,90 ; 两平面夹角的范围: 0 ,90 ;两向量夹角范围: 0 ,180 ;二面角大小范围: 0 ,180 ;线面所成角范围:0 ,90 . 2)角的大小与向量夹角之间的关系:直线方向向量所成角的余弦的绝对值为两直线的夹角的 余弦值;两平面法向量所成角的夹角余弦值的绝对值为两平面的夹角的余弦值;直线方向向量 与平面法向量所成角的余弦绝对值为直线与平面夹角的正弦值(,90s n 时, sin(,90 )cos,s ns n ; ,90s n 时, sin(90,)cos,s ns n ). 3)点到直线距离的计算: 22 |dPAPA s ; 4)点到平面距离的计算: |dPA n . 【题型训练】 【题型 1】 1.在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，M、N 分别为 A1B1和 BB1的中点， 求直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值.（2/5） 2.在空间四边形 OABC 中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5， 00 45 ,60OACOAB，则 OA 与 BC 所成角的余弦值为3 2 2 5 . 3.设 A,B,C,D 是空间不共面的四个点,且满足0,0,0AB ACAD ACAB AD ,则的形状 A B C D D B1 A1 EC1 D1 D P A B C E F P A A P A A 是 锐角三角形.(向量法或代数法) 4.正方体 1111 ABCDABC D中，求直线 BC1与平面 A1BD 所成角的正弦值.（ 6 3 ） 5.在三棱锥 P-ABC 中, PA 平面 ABC, 0 90BAC ,D、E、F 分别 是棱 AB、BC、CP 的中点，AB=AC=1，PA=2， 求直线 PA 与平面 DEF 夹角的正弦值.（5 5） 6.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, AA1=BC=AB=2, ABBC,求平面 B1A1C 与平面 A1CC1夹角的大小. （ 3 ） 7.平面的法向量为(1,0,-1),平面的法向量为(0,-1,1),则平面、所成二面角的大 小为 600或 1200 . 8.已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别为 AB、AD 的中点，GC平面 ABCD，且 GC=2，求点 B 到平面 EFG 的距离.( 2 11 11 ) 9.如图,边长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，E、F 分别 为 BB1、CC1的中点，DG= 1 3 DD1，过 E、F、G 的平面交 AA1于点 H， 求 A1D1到平面 EFGH 的距离.( 4 37 37 ) 10.在长方体 1111 ABCDABC D中，AB=1,BC=2,AA1=3.求点 D 到直线 A1C 的距离. 11.在单位正方体 1111 ABCDABC D中,已知 E 为 CC1上一点,且 2CE=EC1,在面 CDD1C1内作 EF/A1B 交 C1D1于点 F.求直线 EF 与 A1B 的距离.( 38 6 ) 12.在长方体 1111 ABCDABC D中,AB=4,AD=3,AA1=2,M、N 分别为 DC、BB1的中点，求异面直线 MN 与 A1B 的距离.( 6 61 ) 【题型 2】利用空间向量法计算 1.如图平行六面体 1111 ABCDABC D中,以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1, 且两两夹角为 600. (1)求 AC1长;( 6) (2)求 BD1与 AC 夹角的余弦值.( 6 6 ) G H F A B CDE A1B1 C1D1 AB C D C1 B1A1 D1 2如图，在棱长为 4 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 是正方形 A1B1C1D1的中心，点 P 在棱 CC1上，且 CC1 = 4CP. （1）求直线 AP 与平面 BCC1B1 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）;( arccos 561 33 ) （2）设 O 点在平面 D1AP 上的射影是 H，求证：D1HAP； （3）求点 P 到平面 ABD1的距离.( 3 2 2 ) 3已知三棱锥 P-ABC 的底面 ABC 是直角三角形,且 0 90ABC. PA平面 ABC,PA=AC=BC=1,D 是线段 PC 的中点,如图所示. 1) 证明:AD平面 PBC; 2) 求平面 PAC 与平面 ABD 的夹角的余弦值. 3 () 3 4如图,四边形 ABCD 为正方形,PD平面 ABCD,PD/QA,QA=AB=1 2 PD. 1)证明:平面 PQC平面 DCQ; 2)求平面 QBP 与平面 BPC 夹角的余弦值.( 15 5 ) 【题型 3】此类问题中应学会灵活运用把多个变量转化成单个变量. 1.设动点 P 在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D的对角线 BD1上,记 1 D P DB ,当APC为钝角 时,求的取值范围.(1/3,1) 2.如图， 在四面体 ABOC 中, ,120OCOA OCOBAOB 。 , 且1OAOBOC （1）设为P为AC的中点， 证明： 在AB上存在一点Q，使PQOA，并计算 AB AQ 的值； （2）求二面角OACB的平面角的余弦值。 变式：1.如图所示,四棱锥 S-ABCD 中,SD底面 ABCD,AB/DC,ADDC,AB=AD=1, DC=SD=2,E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC 平面 SBC.证明;SE=2EB. P Q O A B C S A B C D E P D A B C A B C D P Q D C B M N A E 2.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA 平面 ABCD,AP=AB=2,BC= 2 2， E，F 分别是 AD，PC 的重点. （1）证明：PC 平面 BEF； （2）求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小.(450) 3.已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形. （1）证明：BN平面 11NB C； （2）求平面 1 CNB与平面 11NB C所成角的 余弦值；（ 3 3 ） 4.在四棱锥P ABCD 中，侧面PCD 底面ABCD，PD CD ，E为PC中点，底面 ABCD是直角梯形。 0 / /,90 ,ABCDADC1,ABADPD 2CD （1）求证： / /BE 平面APD； （2）求证：BC 平面PBD； （3）设Q为侧棱PC上一点， PQPC ，试确定的值，使得二面角Q BDP 为 0 45 。 ( (0,1)21 ) 5.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角（如图） ，E，F 分别是 AD，BC 的中点. （1）求证：AC BD ； （2）在 AC 上是否存在点 G 使DF平面BEG？若存在，求 :AG GC； 若不存在，说明理由.（1：2） 3.如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MD ABCD 平面 ，NB ABCD 平面 ，且 MD=NB=1，E 为 BC 的中点 1）求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值；（ 10 10 ） 2）在线段 AN 上是否存在点 S，使得 ES平面 AMN？若存在，求线段 AS 的长；若不存在，请说明理由. （ 2 2 AS ） P A B C D F E D C E F B A G N C1 B1 M C B A 俯 俯 俯 俯 俯 俯 俯 俯 俯 4 4 4 8 必修 2-1圆锥曲线 【基础知识 5】圆锥曲线 1基本概念： 1) 圆锥曲线统一定义:到定点距离与到定直线距离之比为常数e的点的轨迹. 1e 是双曲线; 1e 是抛物线; 1e 是椭圆. 2)曲线方程:(注:会写三种曲线的顶点,焦点及准线方程,离心率;记住, ,a b c的关系及其几何 意义.) 椭圆: 2222 2222 cos 1(0);1(0);(); sin xa xyyx abab ybabab 是参数 其中 222 cab; 与椭圆 22 22 1 xy ab 共焦点的椭圆方程为： 22 22 1 xy ab ；过两点椭圆方程为： 22 1mxny ； 双曲线: 2222 2222 1( ,0);1( ,0); xyyx a ba b abab 其中 222 cab;注: 2222 2222 11; xyyx abba 与互为共轭双曲线其渐近线相同;等轴双曲线: 2;.eyx 与双曲线 22 22 1 xy ab 共焦点的双曲线方程为： 22 22 1 xy ab ；过两点双曲线方程为： 22 1mxny ； 与双曲线 22 22 1 xy ab 共渐近线的双曲线方程为： 22 22 (0) xy ab 抛物线:(四种方程) 22 2;2.xpy ypx 注:掌握抛物线焦点及准线求法. 3)基础训练篇:求曲线 2222 (1)(2)(3)(5)4xyxy的离心率;( 13 4 ) 曲线方程 22 (1)(1)435xyxy表示何种曲线,并求其离心率e;(5) 曲线方程 22 5 (1)(1)435xyxy表示何种曲线; 22 1 xy mn 何时表示焦点在x轴上的椭圆,双曲线; 22 1 xy mn 何时表示焦点在y轴上的椭圆,双 曲线; 2.基础提高篇:1)通径:椭圆和双曲线都是 2 2b a ;抛物线的通径是: 2p. 2)焦半径:椭圆: 1020 ,;pFaexpFaex (注: 12 ,F F分别是左右焦点;) 双曲线: 1020 ,;pFexapFexa (注: p在左支取绝对值添负号; p在右支直接取掉 绝对值;) 抛物线: 00 ,; 22 pp xy 3)圆锥曲线特性: 椭圆上的点到中心最远为a,最近为b;椭圆上的点到某一点最远距离是ac,最近是ac; e与, a b关系:椭圆: 2 2 2 1 b e a ;双曲线: 2 2 2 1 b e a ; 4)点与椭圆位置关系: 22222222 22222222 ( , )11;( , )11; xymnxymn m nm n abababab 在内在外 直线与椭圆距离最值问题求法: 利用参数方程;作平行线,然后求平行线间距离即可; 5）椭圆上一点与两焦点连线形成的三角形的面积为 2 tan 2 b (为与焦点连线的夹角); 若是双曲线则为 2 cot 2 b . 3.一类题型:1)四种弦长计算:圆中弦: 半弦 2+圆心距2=半径2;过焦点且垂直于对称轴 利用通径: 2 2b a ;2p;过焦点弦长:利用焦半径公式;一般弦长:利用公式: 22 1212 (1) ()4dkxxx x 2)弦中点问题:已知弦中点,求曲线方程;已知曲线,求弦中点轨迹; 3）向量与圆锥曲线综合应用； 4）对称问题（得到不等及相等方程组即可求解）. 【题型训练】 【题型 1】椭圆基本训练 1.求满足下列条件的椭圆的标准方程: 求与椭圆 22 9436xy有相同的焦点,且经过点(-2,3)的椭圆方程;( 22 1 1015 xy ) 两个焦点在坐标轴上,对称轴为坐标轴,且经过点 6 (,3) 3 和点 2 2 (,1) 3 .( 2 2 1 9 y x ) 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C的中心为原点，焦点 12 ,F F 在 x轴上，离心率为 3 2 。 过l的直线 交于 ,A B两点，且 2 ABFA 的周长为 16，那么C的方程为 . 椭圆对称轴在坐标轴上,短轴一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的 最短距离是 1,求椭圆方程; 5)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 3 倍,并且过点 P(3,0),求椭圆的方程. ( 2 2 1 9 x y 或 22 1 819 yx ) 变式:1.设椭圆 22 22 1(00) xy mn mn ， 的右焦点与抛物线 2 8yx的焦点相同，离心率为 1 2 ， 则此椭圆的方程为（ B ） A 22 1 1216 xy B 22 1 1612 xy C 22 1 4864 xy D 22 1 6448 xy 2.若椭圆 22 22 1 xy ab 的焦点在x轴上，过点（1，1/2）作圆 22 +=1xy 的切线，切点分别为 A,B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 22 1 54 xy ; 3.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P1( 6,1),P2( 3,2) ,求椭圆的 方程.( 22 1 93 xy ) 4.已知椭圆 C：的离心率为，双曲线 x-y1 的渐近线与椭圆有四 个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为 D 5.已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 2 倍,并且过点 P(2,1),求椭圆的方程. 2.求与圆 A: 22 (x+3)1y 外切和圆 B: 22 (x-3)81y 内切的动圆的圆心 P 的轨迹方程是 . 3.椭圆 22 55xky的一个焦点是(0,2),那么 K= 1 ; 4. 22 1 32 xy mm 表示椭圆,则m的取值范围是 . 变式:1. 22 1 25 xy kk 表示椭圆,则 K 的取值范围是 77 (, 2)(2, )( ,5) 22 ; 2.设 P 是椭圆 22 1 2516 xy 上的点，若 F1,F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于 . 3.已知椭圆 22 1 102 xy mm ,长轴为 y 轴,若焦距为 4,则m等于 . 4.如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在 y 轴上， 且ac =3, 那么椭圆的方程是 22 1 129 yx . 【题型 2】离心率类 1.椭圆 22 1 36 xy m 的离心率为1 2 ,则m是 5 或 3/2 ; 2.如果一个椭圆的两条准线间的距离是这个椭圆焦距的 2 倍, 则这个椭圆的离心率为( D ) A. B. C. D. 2 1 2 1 4 2 2 3.椭圆的两个焦点为 1 F、 2 F,短轴的一个端点为 A,且 1 FA 2 F是顶角为 1200的等腰三角形, 则此椭圆的离心率为 3 2 . 变式:1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( B ) A.4/5 B.3/5 C. 2/5 D. 1/5 2.椭圆 2 2 2 1(1) x ya a 上存在一点 P，使得它对两个焦点 1 F ， 2 F 张角 12 2 FPF ，则该椭 圆的 离心率的取值范围是（ B ） A 2 (0, 2 B 2 ,1) 2 C 1 (0, 2 D 1 ,1) 2 3.设 12 FF是椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点，P为直线 3 2 a x 上一点， 21 F PF是 底角为30的等腰三角形，则E的离心率为 3/4. 4.已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴， 直线AB交y轴于点P若2APPB ，则椭圆的离心率是（ D ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A 3 2 B 2 2 C 1 3 D 1 2 5.过椭圆 22 22 1 xy ab (0ab)的左焦点 1 F作x轴的垂线交椭圆于点P， 2 F为右焦点，若 12 60FPF ，则椭圆的离心率为 B A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 变式:在平面直角坐标系 XOY 中，已知 ABC 的顶点 A（-4，0）和 C（4，0）顶点 B 在椭圆 22 1 259 xy 上，则 sinsin sin AC B 5/4 . 4.设 12 ,F F 分别为椭圆 2 2 1 3 x y 的左、右焦点，点 ,A B在椭圆上，若 12 5F AF B ;则点A的 坐标是 (0, 1) ; 5.已知 1 F、 2 F是椭圆的两个焦点，满足 12 0MF MF 的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率 的取值范围是( C ) A(0,1) B 1 (0, 2 C 2 (0,) 2 D 2 ,1) 2 6.设 F1、F2分别为椭圆1 的左、右焦点，c，若直线 x上存在点 P， x2 a2 y2 b2a2b2 a2 c 使线段 PF1 的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围是（D ） A. B. C. D. (0， 2 2 (0， 3 3 2 2 ，1) 3 3 ，1) 变式:椭圆 22 1 43 xy 的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B，当FAB的周长最 大时，FAB的面积是_3_. 【题型 3】椭圆统一定义应用 1.已知椭圆 2 2 1 4 x y上的一点 P 到左焦点 1 F的距离为 1,则点 P 到右准线的距离是2 3; 2.已知 12 ,F F是椭圆的左右焦点,点 P 是椭圆 22 1 2516 xy 上的一点,且其横坐标为 2,求 1 |PF与 2 |PF.(31/5 或 19/5) 3.点 P 在椭圆 22 1 259 xy 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐标是 25/12 ; 4.已知 21 FF、为椭圆1 925 22 yx 的两个焦点，过 1 F的直线交椭圆于 A、B 两点 若 12 22 BFAF，则AB= .8 变式:1.已知椭圆 2 2 :1 2 x Cy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B， 若3FAFB ,则|AF =2 . 2.过椭圆 22 1 54 xy 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点，O 为坐标原点， 则OAB 的面积为 5/3_. 3.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，过右焦点F且斜率为(0)k k的直线与 C相交于AB、两点若3AFFB ，则k ( B ) A.1 B.2 C.3 D.2 【题型 4】椭圆类最值问题（充分理解二元换一元思想） 1.若正实数yx,满足 22 1 168 xy ,则yxlglg的最大值为_ _; 2.点 P( , )x y是椭圆 22 1 2516 xy 上的一点,求xy的最大值和最小值. 3.椭圆 22 1 164 xy 上的点到直线 24 20 xy 的最大距离和最小距离分别是; 4.焦点在 x 轴上的椭圆 22 1 43 xy ,F,A 分别是它的左焦点和右顶点,P 是椭圆上的任意一 点,求PF PA 的最大值和最小值.(4,0) 5.已知椭圆的左右焦点为 21 FF、 ,点 P 为椭圆 22 1 169 xy 上的任意一点,求 12 | |PFPF 的最大值和 最小值. 变式:1.若动点（x,y）在曲线 22 2 1(1) 4 xy b b 上变化，则 2 2xy 的最大值为（ A ） A 2 4(04) 4 2 (4) b b b b B 2 4(02) 4 2 (2) b b b b C 2 4 4 b D2b 2.变式:若点 O 和点 F 分别为椭圆 x2/4 +y2/3 =1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上点的任意 一点，则的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8 【题型 5】轨迹问题（理解转换思想） 1.求到直线 :2l y 和到点（，2）距离相等的点的轨迹； 2.若动圆 P 过点 N（-3，0） ，且与另一圆 M： 22 (3)8xy 相外切，则动圆 P 的圆心的轨迹 方程是？ 变式:1.若动圆 M 与圆 C1： 22 (3)1xy和圆 C2： 22 (3)9xy都外切，求动圆圆心 M 轨 迹方程. ( 2 2 1(1) 8 y xx ) 2.曲线 C 是平面内与两个定点 F1（-1，0）和 F2（1，0）的距离的积等于常数 ) 1( 2 aa 的点 的轨迹.给出下列三个结论： 曲线 C 过坐标原点； 曲线 C 关于坐标原点对称；若点 P 在曲线 C 上，则F1PF2的面积大于2 1 a 2 .其中，所有正确结论的序号是 . 3.在平面直角坐标系中，点 B 与点 A（-1，1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于-1/3.求动点 P 的轨迹方程.( 22 34(1)xyx ) 4.若长度为 10 的线段 AB 的两个端点 A,B 分别在x轴, y轴上滑动,点 M 在 AB 上且 2AMMB ,求点 M 的轨迹方程.( 22 99 1 64256 xy ) 变式：已知直线l：2430 xy，P 为直线l上的动点，O 为坐标原点，若2OQQP ，则 点 Q 的轨迹方程是？（2410 xy ） 5.已知圆 22 4xy 上的动点以及定点（，6） ，则线段的中点的轨迹方程； 变式：1.过抛物线 2 8yx的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，过原点 O 作 OMAB，垂足 为 M，则点 M 的轨迹方程是？（利用数量积完成； 22 20 xyx） 2.线段长为，它的两个端点分别在x轴，y轴上滑动，则中点的轨迹方程； ( 22 25xy) 6.已知 A（2，-1） ，B（-1，1） ，O 为坐标原点，动点 M 满足OMmOAnOB ，其中 ,m nR且 22 22mn，则 M 的轨迹方程是？（ 22 22xy） 【题型 6】中点弦问题（法 1：联立求解法；法 2：代点作差法.） 1.已知椭圆 22 1 169 xy ,求过椭圆内点 P(4,2)且被 P 平分的弦所在直线的方程. 2.倾斜角为 4 的直线交椭圆 2 2 1 4 x y 于 A,B 两点,则线段 AB 中点的轨迹方程.( 44 40(55) 55 xyx ) 变式:1.已知椭圆 C: 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ,其中左焦点 F(-2,0). 1) 求椭圆 C 的方程;( 22 1 84 xy ) 2) 若直线yxm与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点 M 在圆上,求m的值.( 3 5 5 m ) 2已知抛物线 2 4yx的焦点为 F,直线l过点 M(4,0). 1)若点 F 到直线l的距离为 3,求直线l的斜率;( 2 2 ) 2)设 A,B 为抛物线上两点,且 AB 不与轴垂直,若线段 AB 的垂直平分线恰过点 M,求证:AB 中点 的横坐标为定值.(中点弦问题;利用代点作差较易;2) 【题型 7】椭圆综合应用 【模型 1】面积计算 1.椭圆 22 1 169 xy 上一点 P 与椭圆的两个焦点 12 ,F F的连线互相垂直,则 12 PFFA的面积是多少. 2.已知点 P 是椭圆 22 1 54 xy 上一点, 12 ,F F是其焦点,且 12 3 FPF ,求 12 F PF SA. 【模型 2】弦长类 1.AB 是过椭圆 22 1 43 xy 的左焦点 1 F的弦,若 AB 的倾斜角为 3 . 求弦 AB 的长; 求 2 ABF周长; 变式:设 1 F ， 2 F 分别是椭圆 E: 2 2 2 1(01) y xb b 的左右焦点,过 1 F 的直线l与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. 1)求|AB|;(4/3) 2)若直线l的斜率为 1,求 b 的值.( 2 2 ) 2设动点,P x y 0 x 到定点 1 ,0 2 F 的距离比到y轴的距离大 1/2记点P的轨迹为曲 线 C 1）求点P的轨迹方程；( 2 2yx) 2）设圆 M 过1,0A，且圆心 M 在 P 的轨迹上，BD是圆 在y轴的截得的弦，当 运动时 弦长BD是否为定值？说明理由；( 22 0 22BDMAx) 3）过 1 ,0 2 F 作互相垂直的两直线交曲线 C 于 G、H、R、S，求四边形面GRHS的最小值 设过 F 的直线方程为 1 2 ykx , 1122 ,G x yH xy 由 2 1 2 2 ykx yx 得 2 222 20 4 k k xkx 得 12 2 2 1xx k 2 2 2GH k 同理得 2 22RSk 四边形GRHS的面积 22 22 121 2222 28 2 Tkk kk . 2.过椭圆 22 1 54 xy 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点,求弦 AB 的长.( 5 5 3 ) 3.已知ABC的两个顶点 B,C 的坐标分别为(-1,0)和(1,0),顶点 A 为动点,如果ABC的周长 为 6. 1) 求动点 A 的轨迹 M 的方程;( 22 1(0) 43 xy y ) 2) 过点 P(2,0)作直线l,与轨迹 M 交于点 Q,若直线l与 圆 22 2xy相切,求线段 PQ 的长. ( 1k ,利用弦长公式计算, 12 2 7 ) 变式:如右图，已知中心为坐标原点 O，焦点在轴上的椭圆的两个短轴端点 和左右焦点所组成的四边形是面积为 2 的正方形。 1）求椭圆的标准方程；（ 2 2 1 2 x y） 2）过点 P（0，2）的直线l与椭圆交于点 A，B，当OAB面积最大时，求直线l的方程。 F F/ P A B O x y 右图 （ 2 2 2 2 16242 |1, 21 1 k ABkd k k ； 2 3 0 2 k ； 14 2 k 时 max 2 2 S ，直线： 14240 xy ） 【模型 3】数量积类 1.过椭圆 2 2 1 2 x y 的右焦点且斜率为 1 的直线交椭圆于 A、B 两点，若 O 为坐标原点，M 为 椭圆上一点，满足OMOAOB ，求的值. 2.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 3 ，过右焦点 F 的直线l与C相交于A、 B两点，当l的斜率为 1 时，坐标原点O到l的距离为 2 2 . 1）求a，b的值；( 3,2 ) 2）C上是否存在点 P，使得当l绕 F 转到某一位置时，有OP OAOB 成立？若存在，求出 所有的 P 的坐标与l的方程；若不存在，说明理由.( 32 (,) 22 P , 220 xy ) 变式：1.已知椭圆 2 2 1: 1 4 x Cy，椭圆 2 C以 1 C的长轴为短轴，且与 1 C有相同的离心率. 1)求椭圆 2 C的方程；( 22 1 164 yx ) 2）设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 1 C和 2 C上，2OBOA ，求直线AB的方程. ( yx 或 yx ) 2.设 1 F ， 2 F 分别为椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab 的左右焦点，过 2 F 的直线l与椭圆C相交于 A,B两点，直线l的倾斜角为60 ， 1 F 到直线l的距离为2 3。 1）求椭圆C的焦距；(4) 2）如果 22 2AFF B ,求椭圆C的方程.( 22 1 95 xy ) 3.设椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点， 直线 l 的倾斜角为 60o, 2AFFB . 1)求椭圆 C 的离心率；(2/3) 2)如果|AB|=15/4，求椭圆 C 的方程.( 22 1 95 xy ) 4.已知点 A,B 的坐标分别为(-1,0),(1,0),直线 AM 与 BM 相交于点 M,且它们的斜率之积为-2. 1)求动点 M 的轨迹方程;( 2