2021高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数 5.4 复数教学案 理 新人教A版

5.4复数最新考纲考情考向分析1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.4.能进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，突出考查运算能力与数形结合思想.一般以选择题、填空题的形式出现，难度为低档.1.复数的有关概念(1)定义：我们把集合cabi|a，br中的数，即形如abi(a，br)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类abi为实数b0abi为虚数b0abi为纯虚数a0且b0(3)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dr).(4)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dr).(5)模：向量的模叫做复数zabi的模，记作|abi|或|z|，即|z|abi|(a，br).2.复数的几何意义复数zabi与复平面内的点z(a，b)及平面向量(a，b)(a，br)是一一对应关系.3.复数的运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dr.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形oz1zz2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.概念方法微思考1.复数abi的实部为a，虚部为b吗？提示不一定.只有当a，br时，a才是实部，b才是虚部.2.如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)复数zabi(a，br)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()题组二教材改编2.若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()a.1b.0c.1d.1或1答案a解析z为纯虚数，x1.3.在复平面内，向量对应的复数是2i，向量对应的复数是13i，则向量对应的复数是()a.12ib.12ic.34id.34i答案d解析13i(2i)34i.4.若复数z满足z1i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数等于()a.ib.ic.id.i答案d解析由题意可得z，所以i，故选d.题组三易错自纠5.设a，br，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()a.充要条件b.充分不必要条件c.必要不充分条件d.既不充分也不必要条件答案c解析复数aabi为纯虚数，a0且b0，即a0且b0，“ab0”是“复数a为纯虚数”的必要不充分条件.故选c.6.(2019葫芦岛模拟)若复数z满足iz22i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限答案b解析由题意，z22i，22i，则z的共轭复数对应的点在第二象限.故选b.复数的有关概念1.(2019河南省百校联考)已知i为虚数单位，则复数z的虚部为()a.ib.2c.1d.i答案c解析因为2i，所以z的虚部为1.2.(2019汉中模拟)已知a，br，(ai)ib2i，则abi的共轭复数为()a.2ib.2ic.2id.2i答案a解析由(ai)i1aib2i，得abi2i，其共轭复数为2i，故选a.3.(2019东莞模拟)已知a为实数，若复数(ai)(12i)为纯虚数，则a等于()a.b.2c.d.2答案d解析(ai)(12i)a2(12a)i，复数是纯虚数，a20且12a0，得a2且a，即a2.故选d.4.(2019河南省八市重点高中联考)已知复数z2iz，则|z|等于()a.b.c.d.答案a解析由题意得z，故|z|，故选a.思维升华复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数、模等，在解题过程中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解.复数的运算命题点1复数的乘法运算例1(1)(2018全国)(1i)(2i)等于()a.3ib.3ic.3id.3i答案d解析(1i)(2i)22iii23i.(2)i(23i)等于()a.32ib.32ic.32id.32i答案d解析i(23i)2i3i232i，故选d.命题点2复数的除法运算例2(1)(2018全国)等于()a.ib.ic.id.i答案d解析i.故选d.(2)(2019全国)若z(1i)2i，则z等于()a.1ib.1ic.1id.1i答案d解析z1i.命题点3复数的综合运算例3(1)(2019达州模拟)已知z(1i)17i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则等于()a.b.34ic.5d.7答案c解析z34i，故34i|5，故选c.(2)(2018成都模拟)对于两个复数1i，1i，有下列四个结论：1；i；1；220，其中正确结论的个数为()a.1b.2c.3d.4答案c解析对于两个复数1i，1i，(1i)(1i)2，故不正确；i，故正确；1，故正确；22(1i)2(1i)212i112i10，故正确.故选c.思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算.(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.跟踪训练1(1)已知ar，i是虚数单位，若zai，z4，则a为()a.1或1b.1c.1d.不存在的实数答案a解析由题意得ai，故z3a24a1，故选a.(2)(2019晋城模拟)若mni，其中m，nr，则mn等于()a.b.c.d.答案b解析依题意，得i，所以m，n，所以mn.故选b.复数的几何意义例4(1)(2019聊城模拟)若复数z满足z(23i)i，则在复平面上对应的点位于()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限答案d解析由题意得z，所以i，所以在复平面上对应的点为，位于第四象限.(2)(2019上海市金山中学月考)已知集合az|(abi)(abi)z20，a，br，zc，bz|z|1，zc，若ab，则a，b之间的关系是()a.ab1b.ab1c.a2b21答案c解析设zxyi，x，yr，则(abi)(xyi)(abi)(xyi)20，化简整理得，axby10，即集合a可看成复平面中直线axby10上的点，集合b可看成复平面中圆x2y21上的点，若ab，即直线axby10与圆x2y21没有交点，d1，即a2b21，故选c.思维升华复数与复平面内的点、向量是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.跟踪训练2(1)(2019临沂模拟)已知1bi，其中a，b是实数，则复数abi在复平面内对应的点位于()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限答案b解析由1bi，得a(1bi)(1i)(b1)(b1)i，即a2，b1，复数abi2i在复平面内对应的点的坐标为(2,1)，位于第二象限，故选b.(2)已知复数z112i，z21i，z332i，它们所对应的点分别为a，b，c，o为坐标原点，若xy，则xy的值是_.答案5解析由已知得a(1,2)，b(1，1)，c(3，2)，xy，(3，2)x(1,2)y(1，1)(xy，2xy)，解得故xy5.如图的复平面中，r，cos，sin，tan(a0).任何一个复数zabi都可以表示成zr(cosisin)的形式.我们把r(cosisin)叫做复数的三角形式.对应于复数的三角形式，把zabi叫做复数的代数形式.例1将复数i表示成三角形式.解因为a，b1，所以r2，即i2.例2将复数2表示成代数形式.解221i.例3复数z2是不是复数的三角形式，如果不是，把它表示成三角形式.解不是复数的三角形式.z2222.1.(2020葫芦岛模拟)设i是虚数单位，若复数z12i，则复数z的模为()a.1b.2c.d.答案d解析依题意，|z|，故选d.2.(2019北京)已知复数z2i，则z等于()a.b.c.3d.5答案d解析z2i，2i，z(2i)(2i)5.故选d.3.(2019湖南省桃江县第一中学模拟)设zi5，则|z|等于()a.b.c.d.答案c解析zi5ii，|z|，故选c.4.(2019辽阳模拟)已知复数z，则z在复平面内对应的点位于()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限答案a解析zi，zi，z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.故选a.5.(2020湖南省师范大学附属中学模拟)若复数zm2m(m1)i是纯虚数，其中m是实数，则等于()a.ib.ic.2id.2i答案b解析复数zm(m1)(m1)i是纯虚数，故m(m1)0且(m1)0，解得m0，故zi，故i.故选b.6.(2019安徽江南十校联考)已知复数z满足z21216i，则z的模为()a.20b.12c.2d.2答案c解析设zabi，a，br，则由z21216i，得a2b22abi1216i，则解得或即|z|2.故选c.7.(2019江苏)已知复数(a2i)(1i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是_.答案2解析(a2i)(1i)a2(a2)i，实部是0，a20，a2.8.若复数z1i，则z的虚部是_.答案解析z1i1ii，故虚部为.9.(2019天津市南开中学月考)已知复数z满足i，则|z|_.答案1解析复数z满足i，(1i)z1i，(1i)(1i)z(1i)(1i)，即2z2i，zi，则|z|1.10.(2020武汉模拟)_.答案i解析i.11.(2019太原模拟)如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点a，b对应的复数分别是z1，z2，则|z1z2|_.答案2解析由图象可知z1i，z22i，故|z1z2|22i|2.12.已知复数zbi(br)，是实数，i是虚数单位.(1)求复数z；(2)若复数(mz)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围.解(1)因为zbi(br)，所以i.又因为是实数，所以0，所以b2，即z2i.(2)因为z2i，mr，所以(mz)2(m2i)2m24mi4i2(m24)4mi，又因为复数(mz)2所表示的点在第一象限，所以解得m2，即m(，2).13.若复数z(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是()a.(，1) b.(1，)c.(1,1) d.(，1)(1，)答案c解析由题意得z，因为z在复平面内对应的点在第一象限，所以所以1ab，则aibi；若ar，则(a1)i是纯虚数；若zi，则z31在复平面内对应的点位于第一象限.其中正确的命