异面直线习题课

异面直线习题课一、复习引入：1、复习： （1）异面直线的定义： ； （2）两条异面直线所成的角： ； 当两条异面直线互相垂直时 ； 两条异面直线所成的角的范围是 ；ABCDA1B1C1D12、观察正方体中，正方体的棱和所在的直线，直线和它都 ， 直线和直线，直线和它们都 。3、两条异面直线的公垂线的定义： 4、两条异面直线间的距离的定义： 5、设上图中，已知正方体ABCD的棱为. （1）则异面直线AB和的公垂线为 ；它们的距离是 ； （2）则异面直线和的公垂线为 ；它们的距离是 ； （3）则异面直线和的公垂线为 ；它们的距离是 思考题：则异面直线和的公垂线为 ；它们的距离是 ；二、讲解新课： PABCD 例1：如图，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=15.（1） 求直线PA、BC间的距离；（2） 求直线PA、BD间的距离；（3） 求直线AD与PC所成角的余切值。ABCD 例2：已知正四面体ABCD中（各边均相等的四面体），若AB=1。求：AB和CD间的距离。 练习（2）1、判断题； （1）是4条直线，-（ ）（2）若是直线，是平面，且则一定是异面直线（ ）（3）-（ ）（4）-（ ） 2、填空题：（1）已知是两条直线，且，那么与 ；（2）已知是三条直线，且和所成的角为，那么和所成的角的大小为 ；（3）是长方体的一条棱，这个长方体中与垂直的棱共有 ；（4）如果是异面直线，直线与都相交，那么由这三条直线中的两条所确定的平面共有 个。D1C1 3、如图，已知长方体的长和宽都是，高是.B1A1DC（1） BC和所成的角是多少度？BA（2） 和所成的角是多少度？和，以及和CD的距离各是多少？ 作业： P 15 7、8例1 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4求异面直线A1B和AD1所成的角的余弦（如图1）师：首先我们要以概念为指导作出这个角，A1B和AD1所成的角是哪一个角？生：因为CD1A1B，所以AD1C即为A1B与AD1所成的角师：AD1C在AD1C中，求出AD1C的三边，然后再用余弦定理求出AD1C的余弦师：我们要再一次明确求异面直线所成的角的三个步骤：第一是以概念为指导作出所成的角；第二是找出这个角所在的三角形；第三是解这个三角形现在我们再来看例2例2 在长方体ABCDA1B1C1D1中，C1BC=45，B1AB=60求AB1与BC1所成角的余弦（如图2）师：在这例中，我们除了首先要以概念为指导作出异面直线所成的角以外，还要注意把所给的特殊角的条件转化为长方体各棱之间的关系，以便于我们用余弦定理生：因为BC1AD1，所以AB1与BC1所成的角即为D1AB1根师：现在我们来看例3例3 已知正方体的棱长为a，M为AB的中点，N为B1B的中点求A1M与C1N所成的角的余弦（如图3）（1992年高考题）师：我们要求A1M与C1N所成的角，关键还是以概念为指导作出这个角，当一次平移不行时，可用两次平移的方法在直观图中，根据条件我们如何把A1M用两次平移的方法作出与C1N所成的角？生：取A1B1的中点E，连BE，由平面几何可知BEA1M1，再取EB1的中点F，连FN由平面几何可知FNBE，所以NFA1M所以C1NF即为A1M与C1N所成的角师：还可以用什么方法作出A1M与C1N所成的角？生：当BEA1M后，可取C1C中点G，连BG，则BGC1N，师：这两种解法都要用两次平移来作出异面直线所成的角，现在我们来看例4例4 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且ab求AC1与BD所成的角的余弦（如图4）师：根据异面直线所成的角的概念，再根据长方体的基本性质，如何作出AC1与BD所成的角。生：连AC，设ACBD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，定理，得师：想一想第二个解法生：取AC1中点O1，B1B中点G在C1O1G中，C1O1G即一可知：师：想一想第三个解法当然还是根据异面直线所成的角概念首先作出这个角有时可根据题目的要求在长方体外作平行直线生：延长CD到E，使ED=DC则ABDE为平行四边形AEBD，所以EAC1即为AC1与BD所成的角（如图5）连EC1，在由余弦定理，得所以EAC1为钝角根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为师：根据这一道题的三种解法，我们可以看出，当用异面直线所成的角的概念，作出所成的角，这时所作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）今天就讲这四个例题，这四个例题都是要用余弦定理来求异面直线所成的角作业补充题3在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，E，F分别是AB，BC中点求：（1）异面直线A1D1和CD的距离；（2）异面直线C1O和EF的距离4在长方体ABCDA1B1C1D1中