甘肃高三数学第二次诊断考试文

2019年甘肃省第二次高考诊断考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数，则（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的平方运算法则求出z=2i,即得|z|.【详解】由题得z=2i,所以|z|=2.故选：C【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.集合，则（ ）A. B. C. 1,2,1,2D. 1,2,3【答案】D【解析】【分析】先求出N=-1,0,1,2,3,再求得解.【详解】由题得N=x|-1x3，=-1,0,1,2,3,所以.故选：D【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知向量a=(1,m)，向量b=(1,3)，若a/b，则m=（ ）A. 3B. 3C. 33D. 33【答案】B【解析】【分析】直接利用向量平行的坐标表示求m的值.【详解】由题得13m(1)=0,m=3.故选：B【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a3=9，S5=30，则a5=（ ）A. 12B. 15C. 18D. 21【答案】A【解析】【分析】由已知求出a1,d的值，再利用等差数列的通项求a5得解.【详解】由题得a1+3d=95a1+10d=30,a1=0,d=3.所以a5=43=12.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算，考查等差数列的通项和前n项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.若实数x，y满足约束条件xy+20，x+y40，2xy50，则z=x+y的最大值为（ ）A. 2B. 4C. 16D. 20【答案】C【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域为图中的三角形，再利用数形结合分析得到z=x+y的最大值.【详解】由题得不等式组对应的可行域为图中的三角形区域，由z=x+y得y=-x+z,所以当直线经过点A时，直线的纵截距最大，z最大.联立xy+2=02xy5=0得A(7,9).所以z最大值为7+9=16.故选：C【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.南北朝数学家祖暅在推导球的体积公式时构造了一个中间空心的几何体，经后继学者改进后这个中间空心的几何体其三视图如图所示.现用一与下底面平行且与下底面距离为h(0hb，ab0则下列不等式恒成立的是（ ）A. a2b2B. lg(ab)0C. 1a2b【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质、对数指数函数的图像和性质，对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】对于选项A, a2b2不一定成立，如a=1b=-2,但是a2b2，所以该选项是错误的；对于选项B, a=12,b=13,ab=16,lg160,所以该选项是错误的；对于选项C,1a1b=baab,ba0,ab符合不确定，所以1ab,所以2a2b，所以该选项是正确的.故选：D【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查对数指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.设直线xy+a=0与圆x2+y2+2x4y+2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则a=（ ）A. -1或1B. 1或5C. -1或3D. 3或5【答案】B【解析】【分析】先求出圆心和半径，再利用圆心到直线的距离为2求出a的值.【详解】由题得圆的方程为（x+1)2+(y2)2=3，所以圆心为(-1,2),半径为3.所以圆心到直线的距离为3212=|12+a|2,a=1或5.故选：B【点睛】本题主要考查圆的标准方程，考查圆心到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.若点(m,n)在函数f(x)=13x3x(x0)的图象上，则nm+22的最小值是（ ）A. 13B. 23C. 223D. 22【答案】C【解析】【分析】由题得nm+22=13m32m+22=g(m),再利用导数求函数g(m)最小值得解.【详解】由题得n=13m3m（m0),nm+22=13m32m+22=g(m),所以g(m)=m22，所以函数g(m)的增区间为（2，+），减区间为（0，2），所以g(m)min=g(2)=132322+22=223.所以n-m+22的最小值是223.故选：C【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最小值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.根据如下样本数据：x12345ya1-10.5b+12.5得到的回归方程为y=bx+a.样本点的中心为(3,0.1)，当x增加1个单位，则y近似（ ）A. 增加0.8个单位B. 减少0.8个单位C. 增加2.3个单位D. 减少2.3个单位【答案】A【解析】【分析】先根据已知得到a+b=-1.5,0.1=3b+a，解方程组即得b的值，即得解.【详解】由题得a11+0.5+b+1+2.55=0.1,a+b=1.5因为0.1=3b+a,所以解方程组得a=-2.3,b=0.8.所以y=0.8x-2.3,所以当x增加1个单位，则y近似增加0.8个单位.故选：A【点睛】本题主要考查回归方程的意义和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，如图所示，则方程(f(x)25f(x)+6=0的所有根之和为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】A【解析】【分析】由题得f(x)=2或3，再求出f(x)=2两根之和为4，f(x)=3两根之和为4，即得解.【详解】因为(f(x)2-5f(x)+6=0，所以f(x)=2或3，由函数y=f(x)的图象得f(x)=2有两个根x1，x2，且两个根关于直线x=2对称，所以x1+x2=22=4，同理f(x)=3的两个根的和为x3+x4=22=4，所以方程(f(x)2-5f(x)+6=0的所有根之和为4+4=8.故选：A【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f(x)= log2x,x0,22x,x0. 则f(f(14)=_.【答案】-2【解析】【分析】先计算出f(14)=2,再求ff14得解.【详解】由题得f(14)=log214=log222=2，所以f(f(14)=f(-2)=222=2.故答案为：-2.【点睛】本题主要考查对数和指数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.14.数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2an，则S2019=_.【答案】220191.【解析】【分析】因为an+1=2an，所以数列an是等比数列，再利用等比数列的前n项和公式求S2019.【详解】因为an+1=2an，所以an+1an=2，所以数列an是以a1=1为首项，以2为公比等比数列，所以S2019= 1(122019)12=220191.故答案为：22019-1【点睛】本题主要考查等比数列性质的判断，考查等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.直三棱柱ABC-ABC中，ACB=90，CA=CB=CC=1，则直线BC与面ABC所成角的正切值为_.【答案】33.【解析】【分析】如图所示，连接AC与CA交于点O,连接OB，证明CBO就是直线BC与面ABC所成的角，再求CBO的正切得解.【详解】如图所示，连接AC与CA交于点O,连接OB.由题得四边形ACCA是正方形，所以COAC,由题得BC平面ACCA，所以BCOC，因为AC，BC平面ABC,ACBC=C,所以OC平面ABC,所以CBO就是直线BC与面ABC所成的角，所以sinCBO=222=12,CBO=6,tanCBO=33.故答案为：33.【点睛】本题主要考查线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为A，其准线与x轴的交点为B，如果在直线3x+4y+25=0上存在点M，使得AMB=90，则实数p的取值范围是_.【答案】10,+)【解析】【分析】根据M在直线3x+4y+25=0上，设出点M的坐标，写出向量AM、BM；利用AMBM=0得出方程，再由0求出p的取值范围【详解】由题得A(p2,0),B(p2,0),M在直线3x+4y+25=0上，设点M(x,3x254)， AM=(xp2,3x254)，BM=(x+p2,3x254)；又AMB=90， AMBM=(xp2)(x+p2)+(3x254)2=0，即25x2+150x+6254p2=0；0，即1502425(6254p2)0，解得p10，或p10，又p0，p的取值范围是10，+)故答案为：10，+)【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中的范围问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17.在三个角互不相等的锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，.若b=2acosA.（）求角A范围；（）求函数f(A)=2cosA(3cosA+sinA)的值域.【答案】（）A(6,4)；（）y|1+3y23.【解析】【分析】（I）先利用正弦定理化简b=2acosA得B=2A，再根据A,B,C是三个角互不相等的锐角得到A的范围；（）化简得f(A)=2sin(2A+3)+3，再根据A的范围，结合三角函数的图像和性质得到函数的值域.详解】解：（I）由b=2acosA及正弦定理得sinB=2sinAcosA=sin2A，若2A+B=则A=C，故舍， B=2A 因ABC为锐角三角形，故0A2,0B=2A2,0C=-3A2,解得6A4，所以所求角A的范围是A(6,4). （）f(A)=2cosA(3cosA+sinA) =2sin(2A+3)+3 由6A4得232A+356故有1+3f(A)23所以f(A)的值域为y|1+3ySA，所以，该精准扶贫户选择方案B收购收益更好.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查实际收益的计算，考查茎叶图和分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19.等腰直角三角形ABC中，ABC=90，点D为AB的中点，DE垂直AB交AC于E，如图.将ABC沿DE折起，使A到达P的位置，且使平面PDE平面DBCE，连接PC，PB，如图.（）若F为PB的中点，求证：DFPC；（）当三棱锥P-DBC的体积为83时，求点B到面PEC的距离.【答案】（）详见解析；（）433.【解析】【分析】（）先证明DF平面PBC，即证DFPC；（）设DB=m，设点B到平面PEC的距离为h，根据VB-PEC=VP-EBC=VP-DBC=83求出点B到面PEC的距离.【详解】解：（I） DEPD，DEDB， DE平面PDB，又在图中BCBD，DEBD， DE/BC， BC平面PDB，而DF平面PDB， BCDF， DP=DB，F是PB的中点， DFPB DF平面PBC，而PC平面PBC， DFPC. （）设DB=m，由三棱锥P-DBC的体积13(12m2m)m=83得m=DB=2， PD=DE=DB=2，PE=EC=22，设M是PC的中点，则EM/DF且EM=DF=2，PC=26.设点B到平面PEC的距离为h，因VB-PEC=13SAPECh =13(12262)h=233h.而VB-PEC=VP-EBC=VP-DBC=83所以h=433.故B到面PEC的距离为433.【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查点到平面的距离的计算和体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点(2,0)，左、右焦点分别是F1，F2，P点在椭圆上，且满足F1PF2=90的P点只有两个.（）求椭圆C的方程；（）过F2且不垂直于坐标轴的直线交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在一点N(n,0)，使得ANB的角平分线是x轴？若存在求出n，若不存在，说明理由.【答案】（）x22+y2=1；（）详见解析.【解析】【分析】（）由题得P点为椭圆的上下顶点，得到a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（）设直线的方程为x=my+1(m0)，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，根据kAN+kBN=0得到n=2. 所以存在点N(2,0)，使得ANB的平分线是x轴.【详解】解：（I）由题设知P点为椭圆的上下顶点，所以a=2，b=c,b2+c2=a2,故a=2，b=1,故椭圆C方程为x22+y2=1 . （）设直线的方程为x=my+1(m0)，联立x2+2y2-2=0x=my+1 消x得m2+2y2+2my-1=0设A，B坐标为Ax1,y1，Bx2,y2则有y1+y2=-2mm2+2，y1y2=-1m2+2，又x1=my1+1，x2=my2+1假设在x轴上存在这样的点N(n,0)，使得x轴是ANB的平分线，则有kAN+kBN=0 而kAN+kBN=y1-0x1-n+y2-0x2-n =y1x2-n+y2x1-nx1-nx2-n=y1my2+1-n+y2my1+1-nx1-nx2-n =2my1y2+(1-n)y1+y2x1-nx2-n=0将，y1+y2=-2mm2+2，y1y2=-1m2+2代入2my1y2+(1-n)y1+y2=0有2m-1m2+2+(1-n)-2mm2+2 =-2m(2-n)m2+2=0即2m(n-2)=0因为m0，故n=2. 所以存在点N(2,0)，使得ANB的平分线是x轴.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和椭圆中的存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.函数f(x)=2x2ax+1+lnx(aR).（）若a=0，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；（）若a=5，求f(x)的单调区间；（）若30， f(x)在0,14和(1,+)上单调递增.当x(14,1)时，f(x)0， f(x)在14,1上单调递减. （）由f(x)=2x2-ax+1+lnx得f(x)=1x+4x-a=4x2-ax+1x设h(x)=4x2-ax+1，=a2-16，当3a4时，0，有h(x)0，即f(x)0，故f(x)在x(0,+)单调递增.又f(1)=3-a0，所以f(x)在x1,e有唯一零点.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2 B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为x=2+tcos,y=1