福建平和一中、南靖一中等五校高二数学下学期期中联考理

福建省平和一中、南靖一中等五校2018-2019学年高二年下学期期中联考数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.命题“，”的否定是（ ）A. 不存在，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】由全称命题的否定是特称命题可得命题的否定是“”选C2.若复数为虚数单位，则A. B. C. 3D. 5【答案】B【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案【详解】，则故选B【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题3.条件：，条件：，则是（ ）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】分析：由已知中条件：，条件：，我们可以求出对应的集合P,Q,然后分析两个集合间的包含关系，进而根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，确定q是p的什么条件，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致得到答案.详解：条件：，条件：， q是p的充分但不必要条件根据互为逆否的两个命题真假性一致可得是的充分但不必要条件.故选A.点睛:本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中求出对应的集合P，Q，然后分析两个集合间的包含关系，进而根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，确定q和p之间的关系式解答本题的关键.4.已知随机变量X的分布列为P(Xi) (i1,2,3,4)，则P(2X4)等于()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得，即可求出的值，再利用互斥事件概率的加法公式可得，据此计算即可得到答案详解】，解得则故选【点睛】本题是一道关于求概率的题目，解答本题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列，属于基础题。5.某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：度)之间有下列数据：x21012y54221甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的三个线性回归方程：x2.8，x3，1.2x2.6；其中正确的是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由样本数据可得，0，2.8，利用点（0，2.8）满足线性回归方程，即可得出结论【详解】由题意知0，2.8，线性回归方程过这组数据的样本中心点，点（0，2.8）满足线性回归方程，代入检验只有符合故答案为A【点睛】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键,是基础题6.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）A. 150B. 200C. 300D. 400【答案】C【解析】【分析】求出，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数【详解】，所以，所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为故选：C【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想属于基础题7.甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题得甲不跑第一棒的总的基本事件有个，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有,由古典概型的概率公式得在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是.故选D.8.X是离散型随机变量，E(X)6，D(X)0.5，X12X5，那么E(X1)和D(X1)分别是()A. E(X1)12，D(X1)1B. E(X1)7，D(X1)1C. E(X1)12，D(X1)2D. E(X1)7，D(X1)2【答案】D【解析】分析】由期望和方差的运算性质求解即可【详解】由期望和方差的运算性质知E(X1)= E(2X5)=2 E(X)-5=7D(X1)= D(2X5)= D(X)2故选：D【点睛】本题考查期望和方差的运算性质，熟记公式，准确计算是关键，是基础题9.函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】观察函数解析式，通过函数的定义域，特殊点以及当时，函数值的变化趋势，将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果.【详解】因为函数的定义域为R，故排除B，因为，所以排除C，当时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，所以当时，有，所以排除D，故选A.【点睛】该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解析式进行分析，注意从函数的定义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注意对不正确的选项进行排除.10.有，四种不同颜色的花要（全部）栽种在并列成一排的五个区域中，相邻的两个区域栽种花的颜色不同，且第一个区域栽种的是颜色的花，则不同栽种方法种数为（ ）A. 24B. 36C. 42D. 90【答案】B【解析】分析：可以直接利用树状图分析解答.详解： 这一种有12种，类似AC,各有12种，共36种，故答案为：B.点睛：(1)本题主要考查排列组合，考查计数原理，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题可以利用排列组合解答，分类讨论比较复杂.也可以利用树状图解答，比较直观.11.已知是椭圆的长轴，若把线段五等份，过每个分点作的垂线，分别与椭圆的上半部分相交于、四点，设是椭圆的左焦点，则的值是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别连接与椭圆右焦点，根据椭圆对称性有,，通过等量代换，将所求目标转化成椭圆定义来求解.【详解】设椭圆右焦点，连接、，根据椭圆对称性有,所以=而椭圆，可知其中，故所求式子选择D项.【点睛】本题考查椭圆的对称性和定义，属于简单题.12.已知函数图像过点，为函数的导函数，为自然对数的底数，若，恒成立，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：依题意，成立，故排除A，D选项.构造函数，单调递增，而，故解集为.考点：函数导数与不等式，恒成立问题第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中的常数项等于 .【答案】-160【解析】试题分析：，令，.考点：二项式定理.14.若随机变量，且，则当_（用数字作答）【答案】【解析】由题意，所以，应填答案。15.体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投次为止.每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为，若该同学本次测试合格的概率为，则_【答案】【解析】【分析】由题意可得：，据此求解关于实数p的方程确定实数p的值即可.【详解】由题意可得：，整理可得：，即,该方程存在唯一的实数根.故答案为： 0.4【点睛】本题主要考查独立事件概率公式及其应用，属于基础题.16.边长为的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于；将这个结论推广到空间是：棱长为的正四面体内任一点到各面距离之和等于_.（具体数值）【答案】【解析】【分析】三角形内任意一点到三边距离和为定值是利用三角形面积相等得到的，类比：可利用四面体的体积相等求得棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和【详解】解：边长为a的等边三角形内任意一点到三边距离之和是由该三角形的面积相等得到的，由此可以推测棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和可由体积相等得到方法如下，如图，在棱长为a的正四面体内任取一点P，P到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4四面体ABCD的四个面的面积相等，均为，高为由体积相等得：所以故答案为【点睛】本题考查了类比推理，考查了学生的空间想象能力，训练了等积法求点到面的距离，是基础题三解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17.若，求：（1）的单调增区间；（2）在上的最小值和最大值.【答案】(1) 增区间为;(2) .【解析】分析：（1）求导，解不等式得到的单调增区间；（2）求出极值与端点值，经比较得到在上的最小值和最大值.详解：（1），由 解得，的增区间为；（2）， （舍）或，, , ， 点睛：函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值18.“冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动，活动规定：被邀请者要么在小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外个人参与这项活动假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响（1）若某参与者接受挑战后，对其他个人发出邀请，则这个人中至少有个人接受挑战的概率是多少？（2）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下列联表：根据表中数据，能否有%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？附：【答案】（1）；（2）详见解析【解析】试题（1）分别列出3人参加活动的所以可能结果，和其中至少有3人接受挑战的情况种数，然后根据古典概型的概率计算；（2）根据列联表中的数据计算观测值，然后和表中的进行比较，大于就表示有关，小于表示没有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”试题解析：（1）这个人接受挑战分别记为，则，分别表示这个人不接受挑战这个人参与该项活动的可能结果为：，共有种其中，至少有个人接受挑战的可能结果有：，共有种根据古典概型的概率公式，所求的概率为（2）根据列联表，得到的观测值为：因为所以没有%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”考点：1古典概型的概率计算；2独立性检验19.如图所示，四棱锥底面是矩形，侧面是正三角形，.（1）求证：平面平面；（2）若为中点，求二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2） 【解析】【分析】（1）取AB中点H，连结PH，推导出PHAB，由勾股定理得PHHC，从而PH平面ABCD，由此能证明平面PAB平面ABCD（2）以H为原点，HA为x轴，在平面ADCB过H作AB的垂线为y轴，以HP为z轴，建立空间直角坐标系Hxyz，利用向量法能求出二面角【详解】（1）取中点，连接，是正三角形，为中点，且.是矩形，.又，.，平面.平面，平面平面.（2）以为原点,HA为x轴，在平面ADCB过H作AB的垂线为y轴，以HP为z轴，建立建立如图所示的空间之间坐标系，则，则，.设平面的法向量为，由，解得，即平面的一个法向量为.又平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，又，二面角的平面角为.【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，考查二面角平面角的值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，利用向量法是解决问题的常用方法，属于中档题20.已知椭圆的短轴长为2，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的右焦点，右顶点分别为，过的直线交椭圆于两点，求四边形（为坐标原点）面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的标准方程；（2）设出直线的方程为，与椭圆方程联立，化为关于y的方程，利用根与系数的关系及三角形面积公式可得四边形面积，再由换元法结合“对勾函数”的单调性求得最值【详解】（1）依题意，则由，解得，椭圆的方程为.（2）由（1）知，设，的方程为，的方程与椭圆方程联立，整理得显然， 令，则 当且仅当（即）时，等号成立，故所求四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查了利用换元法求函数的最值，是中档题21.某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其实验数据统计如下：方式实施地点大雨中雨小雨模拟实验总次数A甲4次6次2次12次B乙3次6次3次12次C丙2次2次8次12次假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟实验的统计数据：(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；(2)考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只要是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量，求随机变量的分布列和均值E()【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由人工降雨模拟实验的统计数据，用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，求出大雨、中雨、小雨的概率分布表,再利用相互独立事件概率计算公式求出三地都为中雨的概率；（2）X 的可能取值为0,1,2,3，分别求出X 取这几个值时的概率,再求出分布列和数学期望.试题解析：（）设事件M：“甲、乙、丙三地都恰为中雨”，则 ；（）设事件A、B、C分别表示“甲、乙、丙三地能缓解旱情”，则由题知且X 的可能取值为0,1,2,3分布