福建省师范大学附属中学届高三数学上学期期中试卷文 (2)

2019届福建师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1设集合A=y|y=2x,xR,B=x|x2-10,则AB=A(-1,1) B(0,1) C(-1,+) D(0,+)2命题“x0(0,+)，lnx0=x0-1”的否定是Ax0(0,+)，lnx0x0-1 Bx0(0,+)，lnx0=x0-1Cx(0,+)，lnxx-1 Dx(0,+)，lnx=x-13已知i是虚数单位，复数5i2+i9在复平面上所对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4已知双曲线x2-y2b2=1的离心率为2,则双曲线的渐近线方程为Ay=33x By=32x Cy=3x Dy=5x5已知函数f(x)=sin12x+ b0)的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线与椭圆交于A,B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A22 B2-3 C5-2 D6-3二、填空题13已知直线和直线垂直，则实数的值为_14已知向量a=-1,3，b=1,t，若a-2ba，则向量a与向量b的夹角为_15设函数f(x)=2x,x0-1x,x0，则函数F(x)=f(x)+x的零点个数是_.16半径为4的球的球面上有四点A,B,C,D，已知ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为_三、解答题17已知等差数列an的公差d为1，且a1，a3，a4成等比数列.（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn=2an+5+n，求数列bn的前n项和Sn.18已知函数f(x)=sinxcos(x-6)+12cos2x.（1）求函数f(x)的最大值；（2）已知ABC的面积为43，且角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=12，b+c=10，求a的值.19已知数列an的前n项和Sn满足Sn=3n2-n22,nN*.（1）求an的通项公式；（2）求数列1a2n-1a2n+1的前项和为Tn.20（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C的极坐标方程是=2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是x=32t+my=12t（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|PB|=1，求实数m的值21已知椭圆的离心率为，短轴长为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点， 为坐标原点，若，求证：点在定圆上.22函数fx=-lnx+12ax2+a-1x-2aR.(I)求fx的单调区间；(II)若a0，求证：fx-32a.12019届福建师范大学附属中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学 答 案参考答案1C【解析】试题分析：，则AB=（-1，+），选C.【考点】本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集运算，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与函数的值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.2C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：x(0,+)，lnxx-1考点：全称命题与特称命题3A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数5i2+i9,可得复平面上对应的点的坐标，从而可得结果.【详解】5i2+i9=5i2+i=5i2-i2+i2-i=5+10i5=1+2i，对应点坐标为1,2，在第一象限,故选A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4C【解析】【分析】由x2-y2b2=1可得a=1，利用双曲线的离心率求出c=2，从而可得b的值，然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】由双曲线x2-y2b2=1可得a=1，离心率为ca=c=2，则b=4-1=3，所以双曲线的渐近线方程为y=3x，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的离心率以及双曲线的渐近线方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.5B【解析】【分析】由x=3为f(x)图象的对称轴，可得6+=k+2,kZ,从而求得的值，再利函数y=Asinx+的图象变换规律，以及诱导公式，可得出结论.【详解】根据函数fx=sin12x+2,x=3为fx图象的对称轴，可得123+=k+2,kZ,故=3，函数fx=sin12x+3，将fx图象向左平移3个单位长度后得到gx=sin12x+3+3=cos12x的图象，故选B.【点睛】本题主要考查正弦函数图象的对称性，函数y=Asinx+的图象变换规律，以及诱导公式，属于基础题. 由函数y=Asin(x+)可求得函数的周期为2；由x+=k+2可得对称轴方程；由x+=k可得对称中心横坐标.6A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点P的坐标，进而求解三角形的面积详解：由抛物线的方程y2=4x，可得F(1,0),K(-1,0)，准线方程为x=-1，设P(x0,y0)，则PF=x0+1=5，即x0=4，不妨设P(x0,y0)在第一象限，则P(4,4)，所以SPKF=12FKy0=1224=4，故选A点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力7A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及x(0,12)是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，函数fx=x2-1cosxx满足f-x=fx，所以函数fx为奇函数，图象关于y轴对称，排除B,D；又由当x(0,12)时，函数fx=x2-1cosxx0的图像和直线y=-x交点的个数问题来解决，这样比较直观，容易理解.详解：在同一个坐标系中画出函数f(x)=2x,x0-1x,x0的图像和直线y=-x，而函数F(x)=f(x)+x的零点个数即为函数f(x)=2x,x0-1x,x0的图像和直线y=-x的交点的个数，从图中发现，一共有两个交点，所以其零点个数为2.点睛：该题考查的是函数的零点个数问题，解决该题的方法是将函数的零点个数问题转化为函数图像交点的个数问题来解决，从而将问题简单化，并且比较直观，学生容易理解.16183【解析】分析：求出ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可详解：ABC为等边三角形且面积为93，可得34AB2=93，解得AB=6，球心为O，三角形ABC 的外心为O，显然D在OO的延长线与球的交点如图：OC=23326=23，OO=42-(23）2=2，则三棱锥DABC高的最大值为6，则三棱锥DABC体积的最大值为：133463=183.故答案为：183点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.17（）an=n-5.（）Sn =2n+1+n(n+1)2-2.【解析】试题分析：（1）由题a1,a3,a4成等比数列则（a1+2d)2=a12+3a1d，将d=1,代入求出a1，即可得到数列an的通项公式；试题解析：（2）由（）bn=2n+n. 利用分组求和法可求数列bn的前n项和Sn.（1）在等差数列an中，因为a1,a3,a4成等比数列，所以 a32=a1a4，即 （a1+2d)2=a12+3a1d， 解得a1d+4d2=0. 因为d=1, 所以a1=-4, 所以数列an的通项公式an=n-5. （2）由（1）知an=n-5, 所以bn=2an+5+n=2n+n. Sn=b1+b2+b3+bn=(2+22+23+2n)+(1+2+3+n) =2(1-2n)1-2+n(1+n)2=2n+1+n(n+1)2-2 18(1)34;(2)a=213.【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数fx化为=12sin(2x+6)+14，可得函数f(x)的最大值为34；（2）由题意f(A)=12sin(2A+6)+14=12，化简得sin(2A+6)=12，从而得A=3，由12bcsinA=43，b+c=10，求得b、c的值，根据余弦定理得a=213.【详解】（1）f(x)=sinx32cosx+12sinx +cos2x-12=32sinxcosx+12cos2x=1232sin2x+12cos2x+14=12sin(2x+6)+14，函数f(x)的最大值为34.（2）由题意f(A)=12sin(2A+6)+14=12，化简得sin(2A+6)=12.A(0,)，2A+66,136，2A+6=56，A=3.由12bcsinA=43得bc=16，又b+c=10，b=2，c=8或b=8，c=2.在ABC中，根据余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=52. a=213.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19（）an=2-n；（）n1-2n【解析】试题分析：（）利用数列前n项和与an的关系解答；（）由（）得1a2n-1a2n+1=1(3-2n)(1-2n)，利用裂项求和法求得数列1a2n-1a2n+1的前n项和试题解析：（）当n=1时,a1=S1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=2-n，故an的通项公式为an=2-n.（）由（）知1a2n-1a2n+1=1(3-2n)(1-2n)=12(12n-3-12n-1),从而数列1a2n-1a2n+1的前n项和为 12(1-1-11)+(11-13)+(12n-3-12n-1)=n1-2n考点：1、数列前n项和与an的关系；2、裂项求和法【方法点睛】在等差（比）数列中由各项满足的条件求通项公式时，一般将已知条件转化为基本量，用a1和d(q)表示，通过解方程组得到基本量的值，从而确定通项公式解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：（1）转化的思想，即将一般数列设法转化为等差（比）数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成；（2）不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和20(1),；(2)或或【解析】试题分析：（1）在极坐标方程是=2cos的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公式x=cos,y=sin及2=x2+y2即可得到曲线C的直角坐标方程，消去直线l的参数方程x=32t+my=12t中的参数t得到直线l的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造m的方程.试题解析：（1）曲线C的极坐标方程是=2cos，化为2=2cos，可得直角坐标方程：x2+y2=2x直线l的参数方程是x=32t+my=12t（t为参数），消去参数t可得x=3y+m（2）把x=32t+my=12t（t为参数）代入方程：x2+y2=2x化为：t2+(3m-3)t+m2-2m=0，由0，解得-1m0实数m=12或m=1考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.21（1）椭圆的标准方程为 （2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由已知可得， ， 椭圆为；（2）由 ，且 ，又 ，由得 点在定圆上. 试题解析：（1）设焦距为，由已知， ， ，椭圆的标准方程为. （2）设，联立得，依题意， ，化简得， 若，则， 即， 即，化简得，由得.点在定圆上.（没有求范围不扣分）【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、斜率公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）设而不求法求得 ，再利用韦达定理转化得 ，由得 点在定圆上. 22(1) a0时，f(x)的单调递减区间是(0，+)；a0时，f(x)的单调递减区间是(0，1a)，f(x)的单调递增区间是(1a，+) (2) 证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出导数，根据对a的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；（2）求出函数的最小值，转化为证lna-12a-1-32