福建厦门高三数学下学期第一次质量检查理

厦门市2019届高中毕业班第一次质量检查数学（理科）试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（ ）A. B. C. 5D. 10【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【详解】故选：B【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.若抛物线的焦点到准线的距离为1，则（ ）A. 2B. 4C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意得到抛物线的焦点坐标与准线方程，从而得到结果.【详解】由抛物线，可知：焦点坐标为，准线方程为，抛物线的焦点到准线的距离为，解得：故选：C【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，属于基础题.3.已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简集合A,B，利用子集关系建立不等式关系，即可得到结果【详解】,，故选：D【点睛】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中根据集合包含关系，构造出关于参数a的不等式组是解答本题的关键4.若满足约束条件，则的最小值为（ ）A. -6B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】解：由实数x，y满足约束条件得到可行域如图：目标函数经过图中A时最小，由得到A（3，1），所以zx+2y的最小值为3211；故选：C【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.在梯形中，若为的中点，则（ ）A. B. 3C. D. 12【答案】D【解析】【分析】利用数量积的几何意义可得结果.【详解】由题意可知：ABC为直角三角形，ACB=90，根据数量积的几何意义可得：故选：D【点睛】本题考查数量积的运算，考查数量积的几何意义，属于基础题.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120，又由侧视图知几何体的高为3，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算即可【详解】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由正视图可得：底面扇形的圆心角为120，又由侧视图知几何体的高为3，底面圆的半径为2，几何体的体积V223故选：B【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状是解答的关键7.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用作差法，结合指数函数的图像与性质可得结果.【详解】，又，又综上：故选：A【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查作差法，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8.已知数列的前项和为，且，则（ ）A. 410B. 400C. 210D. 200【答案】C【解析】【分析】由题意明确数列的奇数项构成首项为1,公差为2的等差数列，偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列，利用等差数列前n项和公式即可得到结果.【详解】由，当n2时，两式作差可得：，又.又，数列的奇数项构成首项为1,公差为2的等差数列，偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列，故选：C【点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.9.易经是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接根据概率公式计算即可【详解】从八卦中任取两卦，基本事件有种，其中这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，基本事件共有10中，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为p故选：D【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题10.已知函数，若恰有1个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作出y与ya（x1）的函数图象，根据交点个数判断a的范围【详解】恰有1个零点等价于图像与直线ya（x1）有一个公共点，作图如下：函数在x=1处的切线m方程为y= x1，函数在x=1处的切线n方程为y= x，由图易得的取值范围是故选：A【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解11.已知函数，若方程在的解为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合正弦型函数的图像与性质可得，进而可得，明确的范围得到结果.【详解】因为，所以，又因为是的两根，结合图像可知，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，考查函数的对称性及取值范围，属于中档题.12.已知双曲线的一个焦点为，点是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点，若，的面积为8，则的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由双曲线的对称性可得即，又，从而可得的渐近线方程.【详解】设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，所以，的渐近线方程为.故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.在等比数列中，则_【答案】【解析】【分析】利用等比数列的通项公式即可得到结果.【详解】设等比数列的公比为，故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14.的展开式中的系数为_【答案】-40【解析】【分析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有的项得答案【详解】解：，的展开式中含的项为，的展开式中含的项为的展开式中，x2的系数为4080-40故答案为：-40【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.15.已知函数，则关于的不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】判断的奇偶性和单调性，原不等式转化为，运用单调性，可得到所求解集【详解】令，易知函数为奇函数，在R上单调递增，即，即x故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题16.已知正三棱柱的所有棱长为2，点分别在侧面和内，与交于点，则周长的最小值为_【答案】3【解析】【分析】设关于侧面和的对称点分别为，连结，则当共线时，周长最小.【详解】设关于侧面和的对称点分别为，连结，则当共线时，周长最小，由于在正三棱柱中，点是与的交点，所以点是侧面的中心，故周长最小时分别为侧面和的中心，所以周长最小值为3.故答案为：3【点睛】本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在平面四边形中，.（1）若的面积为，求；（2）若，求.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1)利用已知条件与面积公式即可得到结果；(2) 设，则，结合正弦定理即可得到.【详解】（1）在中，因为，所以，解得：.在中，由余弦定理得：所以（2）设，则如图，在中，因为，所以在中，由正弦定理，得，即所以所以，即所以，即【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18.如图，在四棱锥中，和均为边长为的等边三角形.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】(1) 取的中点，连接，要证平面平面，转证平面，即证， 即可；(2) 以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入公式，即可得到结果.【详解】（1）取的中点，连接，因为均为边长为的等边三角形，所以，且因为，所以，所以，又因为，平面，平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）因为，为等边三角形，所以，又因为，所以，在中，由正弦定理，得：，所以.以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，令，则平面的一个法向量为，依题意，平面的一个法向量所以故二面角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的质量指数在的为三等品，在的为二等品，在的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件1.5，3.5,5.5（单位：元），以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率.（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量 数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.16.3024.870.411.64表中，根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程.（）建立关于的回归方程；（）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取）参考公式：对于一组数据：，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为，【答案】(1) 平均销售利润为4元.(2) （）（）投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元【解析】【分析】(1) 设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5,3.5,5.5,求出相应的概率值，得到分布列与期望值；(2) （）由得，令，则，利用表中数据求出即可；（）设年收益为万元，则，利用导函数即可得到结果.【详解】（1）设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5,3.5,5.5由直方图可得：一、二、三等品的频率分别为0.4,0.45,0.15，所以，,所以：随机变量的分布列为：1.53.55.5P0.150.450.4所以，故每件产品的平均销售利润为4元.（2）（）由得，令，则，由表中数据可得，则所以，即因为，所以故所求的回归方程为（）设年收益为万元，则设，则当时，在单调递增，当时，在单调递减.所以，当，即时，有最大值为768即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数；写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.已知为坐标原点，为椭圆的上焦点，上一点在轴上方，且.（1）求直线的方程；（2）为直线与异于的交点，的弦，的中点分别为，若在同一直线上，求面积的最大值.【答案】(1) 的方程为或.(2)3【解析】【分析】(1) 设 ，可得，求出A点坐标，即可得到直线的方程；(2)利用点差法可得，又因为在同一直线上，所以，所以，设出直线，与椭圆方程联立，利用韦达定理即可表示面积，结合均值不等式即可得到结果.【详解】解法一：（1）设 ，因为，所以又因为点在椭圆上，所以由解得：或，所以的坐标为或又因为的坐标为，所以直线的方程为或.（2）当在第一象限时，直线 设，则，两式相减得：因为不过原点，所以，即，同理：又因为在同一直线上，所以，所以，设直线，由得：，由，得由韦达定理得：，所以，又因为到直线的距离，所以当且仅当，即时等号成立，所以的面积的最大值为3，当在第二象限时，由对称性知，面积的最大值也为3，综上，面积的最大值为3.解法二：（1）同解法一；（2）当点在第一象限时，直线由，得：，则中点的坐标为所以直线当直线斜率不存在或斜率为零时，不共线，不符合题意；当直线斜率存在时，设，由得：，由，得，由韦达定理，所以因为在同一直线上，所以，解得，所以，所以又因为到直线的距离为所以当，即时，面积的最大值为3，所以面积的最大值为3，当在第二象限时，由对称性知，面积的最大值也为3，综上，面积的最大值为3.【点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21.已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若，求证：.【答案】(1) 的单调递增区间为，不存在递减区间.(2)见证明【解析】【分析】(1)求出，研究函数的正负情况即可明确的正负情况，即可得到的单调区间；(2) 设，证明，要证明只需证明.【详解】解法一：（1）的定义域为，时，,所以当时，所以在单调递减；当时，所以在单调递增；所以，所以在单调递增，即的单调递增区间为，不存在递减区间.（2）设，则当时，所以在单调递增；当时，所以在单调递减；所以所以时，即，要证明只需证明由（1）知，在单调递增，所以，当时，即所以当时，所以只需证明，即证明设，则所以在单调递增，所以，所以原不等式成立.综上，当，时，解法二：（1）同解法一（2）同解法一得只需证明设，则,由得，即因为，所以又因为，所以因为，所以所以，在单调递增，所以所以在单调递减，所以，即综上，当，时，解法三：（1）同解法一（2）同解法一得要证明，只需证明，即证明，设则由，得，即，所以，所以在单调递增，所以即，所以综上，当，时，解法四：（1）同解法一（2）同解法一得要证明，只需证明，即证明，设，设，因为，所以，所以在单调递减，所以，所以在单调递增，所以即，所以综上，当，时，【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）