同步测控优化训练高三数学极限

高三数学同步检测(六)极限说明:本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填入题后括号内，第卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1.下列无穷数列中,极限不存在的数列是( )A.1,B.3,3,3,3,3,C.3,D.1,0,-1,0,分析 本题考查常见数列的极限.解 (-1)n+1=0,3=3,=()=2,A、B、C存在极限.而D是一摆动数列,不存在极限.答案 D2.若an=3且bn=-1,那么(an+bn)2等于( )A.4 B.-4 C.16 D.-16分析 本题考查数列极限的运算法则,即如果两个数列都有极限,那么它们的和、差、积、商的极限分别等于它们极限的和、差、积、商.解 (an+bn)2=(an2+2anbn+bn2)=an2+2anbn+bn2=32+23(-1)+(-1)2=4.答案 A3.若在x=2处连续,则实数a、b的值是( )A.-1,2 B.0,2 C.0,-2 D.0,0分析 本题考查函数的左、右极限与函数极限的关系、函数连续的概念及它们之间的关系.解 f(x)在x=2处连续f(x)=(x2+a)=4+a=4,a=0.f(x)=(x+b)=2+b=4,b=2.答案 B4.等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn,若则的值等于()A.1B.C.D.分析本题考查当n时数列的极限.解题的关键是把结论中通项的比值用条件中前n项和的比值表示出来,即把转化成关于n的多项式.解法一设Sn=kn2n,Tn=kn(3n+1)(k为非零常数).由an=Sn-Sn-1(n2),得an=2kn2-2k(n-1)2=4kn-2k,bn=kn(3n+1)-k(n-1)3(n-1)+1=6kn-2k.解法二=又答案C5.若则常数k的值为()A.2B.C.-2D.-解析原式=k=.答案B6.的值为()A.3B.-3C.-2D.不存在分析本题考查函数在xx0处的极限值.如果把x=x0代入函数解析式,解析式有意义,那么f(x0)的值就是函数的极限值.解答案B7.函数f(x)= 的不连续点是( )A.x=2 B.x=-2C.x=2和x=-2 D.x=4分析 本题考查函数的连续性.一般地,函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件：(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；(2)存在；(3),即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值.解 因函数在x=2时无定义,所以不连续点是x=2.答案 C8等于( )A. B. C. D.1分析 由于“和的极限等于极限的和”只能用于有限多项相加,因此,对于本题应先求和化为有限项的算式,再运用极限的运算法则求极限.解 原式=答案 B9.已知一个数列的通项公式为f(n),nN*,若7f(n)=f(n-1)(n2)且f(1)=3,则f(1)+f(2)+f(n)等于( )A. B. C.-7 D.-分析 本题考查当n时数列的极限.关键是先求出数列的通项公式f(n),然后求其前n项和,把待求极限式化成有限项形式,即化成关于n的多项式,再求极限.解 f(1)=30,数列为首项为3,公比为的等比数列.f(n)=3()n-1.由公比不为1的等比数列的前n项和公式,得Sn=答案 A10.(2x+1)n=0成立的实数x的范围是( )A.x=- B.-x0C.-1x0 D.-1x0分析本题考查数列的一个重要极限,即limnan=0时,有|a|1.解 要使(2x+1)n=0,只需|2x+1|1,即-12x+11.解得-1x0.答案 C第卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在横线上)11. .分析 当n无限增大时, 的分子中含无限多项,而“和的极限等于极限的和”只能用于有限多项相加.因此应先将分子化为只含有限多项的算式,然后再运用极限的运算法则求极限.解 原式=答案 112. .分析 本题考查当xx0时函数的极限.若把x=1代入分子、分母中,分式变成“”型,不能直接求极限,因此可把分子、分母分别进行因式分解,约去分子、分母中的“零因式”,然后再代入求极限.解答案 13.一个热气球在第一分钟时间里上升了25米高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%,这个热气球最多能上升 米.解析 由题意,该热气球在第一分钟,第二分钟,上升的高度组成首项为25,公比为的等比数列,它上升的最大高度S=Sn=答案 12514. .分析 本题考查qn=0,|q|1的应用.因为当n时,构成该式的四项均没有极限,故应将分子、分母同时除以底数最大、次数较高的项3n,以期转化成每一项都有极限的形式,再运用极限的运算法则求解.解 答案 三、解答题(本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)讨论函数在x=2处的左极限、右极限以及在x=2处的极限.分析 本题考查函数在某一点处的极限,左、右极限的定义及其相互关系.对于常见函数,可先画出它的图象,观察函数值的变化趋势,利用极限的定义确定各种极限.解 当x2-时,函数无限接近于0,即 3分当x2+时,函数无限接近于2,即综上,可知, 6分函数f(x)在x=2处极限不存在. 8分16.(本小题满分8分)已知数列an中,an=Sn为其前n项的和,求的值.分析 由于中是无穷项和的极限,必须先求得和的化简式,转化为有限项的极限问题.而是一类裂项后有明显相消项的数列,所以采用了裂项法.但相消时应注意消去项的规律,即消去了哪些项,保留了哪些项.解 8分17.(本小题满分8分)如图,已知RtABC中,B=90,tanC=0.5,AB=1,在ABC内有一系列正方形,求所有这些正方形面积之和.分析 本题考查等比数列前n项和的极限.解 设正方形BD1C1B1、D1D2C2B2、的边长分别为a1,a2,.AB=1,tanC=0.5,BC=2.由相似三角形的知识可得,a1=.同理,可得a2=a1,an=an-1.an是以为首项,以为公比的等比数列. 3分设Sn是第n个正方形的面积,则Sn是以为首项, 为公比的等比数列. 4分(S1+S2+Sn)=即所有这些正方形面积之和为. 8分18.(本小题满分10分)已知等差数列an的前三项为a,4,3a,前n项和为Sn,Sk=2 550.(1)求a及k的值;(2)求的值.解 (1)a+3a=24,a=2.数列an是首项为2,公差为2的等差数列. 2分2k+2=2550,k=50,即a、k的值分别为2、50. 5分(2)Sn=2n+2=n2+n, 19.(本小题满分10分)已知求m、n的值.分析 本题考查当xx0时,函数的极限.关键是通过极限的运算构造方程组,求m、