高中数学 3.2.3立体几何中的向量方法教案 新人教A版选修2（通用）

3.2.33.2.3 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角 教学目标教学目标 1、使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法； 2、使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3、使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点教学重点 求解二面角的向量方法 教学难点教学难点 二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系 教学过程教学过程 一、复习引入 1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面， 把立体几何问题转化为向量问题； （化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等 问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形） 2、向量的有关知识： （1）两向量数量积的定义： （2）两向量夹角公式： （3）平面的法向量：与平面垂直的向量 二、知识讲解与典例分析 知识点 1、异面直线所成的角（范围： ） （1）定义：过空间任意一点 o 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b，那么直线 a与 b 所成的不大于 90的角 ，叫做异面直线 a 与 b 所成的角。 （2）用向量法求异面直线所成角 ba ba ba ,cos 2 , 0 bababa,cos a b o a b 设两异面直线 a、b 的方向向量分别为 和 ， mn 问题 1 当与的夹角不大于 90时，异面直线 a、b 所成的角 与 和 mnm 的夹角的关系？ 相等 n 问题问题 2 2 当与的夹角大于 90时，异面直线 a、b 所成的角 与和 mnmn 的夹角的关系？ 互补 所以，异面直线 a、b 所成的角的余弦值为 典型例题 1：在 RtAOB 中，AOB=90，现将AOB 沿着平面 AOB 的法向量方向平 移到A1O1B1 的位置，已知 OA=OB=OO1，取 A1B1 、A1O1 的中点 D1 、F1，求异面直线 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值。 解：以点 O 为坐标原点建立空间直角坐标系，并设 OA=1,则 A(1,0,0) B(0,1,0) F1( ,0,1) D1( , ,1) 2 1 2 1 2 1 所以，异面直线 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值为 知识点 2、直线与平面所成的角（范围： ） nm,coscos nm nm 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 zyxzyx zzyyxx ),1 , 0 , 2 1 ( 1 AF ) 1 , 2 1 , 2 1 ( 1 BD 11 11 11, cos BDAF BDAF BDAF 2 3 4 5 10 4 1 2 ,0 10 30 10 30 A1 z C1 AD 据图分析出直线与 平面所成的角的正 弦值为 = 典型例题 2:正 方体 ABCD- A1B1C1D1 的棱长为 1，点 E、F 分别为 CD、DD1 的中点， (1)求直线 B1C1 与平面 AB1C 所成的角的正弦值; (2)求二面角 F-AE-D 的余弦值。 解： (1)以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则： A(0,0,0) B1(1,0,1) C(1,1,0) C1(1,1,1) sin nAB,cos B D1 B1 C y x B A O n n B A O n n 0, 0 1 ACnABn则 3、二面角（范围： ） ),0 , 1 , 0( 11 CB)0 , 1 , 1 (),1 , 0 , 1 ( 1 ACAB 设平面AB1C的法向量为n =(x1,y1,z1), 所以 X1+z1=0 X1+y1=0 取x1=1,得y1=z1=-1 3 3 31 010 11 11 11 ,cos CBn CBn CBn 故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为 3 3 , 0 n n1 1 n n2 2 n n1 1 n n2 2 cos 21, cosnn cos 31 010 3 3 21, cosnn 取y2=1,得x2=z2=-2 解：(2)由题意知 )0 , 1 , 2 1 (), 2 1 , 1 , 0(FE )0 , 1 , 2 1 (), 2 1 , 1 , 0(AEAF 设平面AEF的法向量为m=(x2,y2,z2), 所以 0 2 1 22 zy 0 2 1 22 yx 故m=(-2, 1,-2) 又平面AED的法向量为AA1=(0,0,1) 观察图形知，二面角F-AE-D为锐角，所以所求二面角F-AE-D 的余弦值为 3 2 0, 0AEmAFm则 3 2 13 2 1 1 1 ,cos AAm AAm AAm 典型例题 2 (2)点 E、F 分别为 CD、DD1 的中点，求二面角 F-AE-D 的余弦值。 典型例题 3 如图，甲站在水库底面上的点 A 处，乙站在水坝 斜面上的点 B 处.从 A，B 到直线 （库底与水坝的交线）的距离 AC 和 BD 分别为 a 和 b ,CD 的长为 c , AB 的长为 d .求库底与水坝所成二面角的余弦值. 解：如图. dABcCDbBDaAC， 根据向量的加法法则, .DBCDACAB 21, cosnncos l 2 2 2 )(DBCDACABd )(2 222 DBCDDBACCDACBDCDAC DBACbca2 222 DBCAbca2 222 于是，得 2222 2dcbaDBCA 设向量 与 的夹角为，就是库与水坝所成的二面角.CADB 因此 .cos2 2222 dcbaab 所以 . 2 cos 2222 ab dcba 库底与水坝所成二面角的余弦值是 . 2 2222 ab dcba 三、巩固练习 如图，已知：直角梯形 OABC 中， OABC，AOC=90，SO平面 OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2.求 异面直线 SA 和 OB 所成的角的余弦值； 直线 OS 与平面 SAB 所成角 的正弦值； 二面角 BASO 的余弦值