上海南洋模范中学高三数学检测三

上海市南洋模范中学2016届高三数学10月检测试题（三）（含解析）一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1. 若实数a、b满足a2+b2=1，则ab的取值范围是_【答案】【解析】因为实数满足，解得的取值范围是，故答案为.2. 设是一元二次方程的两个实根，则的最小值为_【答案】8【解析】根据题意得，即，或，=4a22a+64a+2=4a26a10=4a342494，当a=3时，x112+x212=43342494=8，当a=2时，x112+x212=42342494=18，x112+x212的最小值8，故答案为8.3. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=2x+2x+b（b为常数），则f(-1)=_【答案】-3【解析】因为fx为定义在R上的奇函数，所以f0=20+20+b=0，解得b=1，所以当x0时，fx=2x+2x1，又因为fx为定义在R上的奇函数，所以f1=f1=21+211=3，故答案为3. 4. 已知集合A=(x,y) |-2y1,xZ,yZ，B=(x,y)|2x,xZ,yZ，则AB的真子集的个数为_【答案】15【解析】A=x,y|2y1,xZ,yZ=x,y|y=1或0,xZ，B=x,y|2x0，解得3x1，令gx=x22x+3，则外函数为y=gx12为减函数，求函数fx=x22x+312的单调递增区间，即求gx=x22x+3的减区间，函数gx在1,1上为减函数，则原函数的增区间为1,1，故答案为1,1.【方法点睛】本题主要考查二次函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.6. 不等式(|x|+x)(sinx2)0的解集为_【答案】(0,+) )【解析】因为(|x|+x)(sinx-2)0且 sinx20,x0，所以原不等式的解集是x|x0，故答案为0,+.7. 已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(xR)的值域为0,+)，则f(1)的最小值为_【答案】4【解析】因为二次函数fx=ax2+2x+cxR的值域为0,+，a0,=44ac=0，a0,c0,ac=1,a+c2ac=2，当且仅当a=c=1时取等号，而f1=a+c+24，故答案为4.8. 若三角方程2sin7cos=2m1有解，则实数m的取值范围是_【答案】1,2 【解析】令f=2sin7cos，则f=3sin+3,3，因为三角方程2sin7cos=2m1有解，所以直线y=2m1与正弦曲线f=3sin+有公共点，32m13,1m2，故答案为1,2.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解9. 若y=f(2x-1)是周期为t的周期函数，则函数y=f(x)的一个周期是_【答案】2t 【解析】若y=f2x1是周期为的周期函数，则y=f2x1=f2x+t1=f2x1+2t，则fx=fx+2t，故y=fx的一个周期是2t，故答案为2t. 【方法点晴】本题主要考查抽象函数的周期性，属于难题.对函数周期性的考查主要命题方向由两个，一是三角函数，可以用公式求出周期；二是抽象函数，往往需要根据条件判断出周期，抽象函数给出条件判断周期的常见形式为:(1)fx+a=fx+bT=ab ；（2）fx+a=fxT=2a；（3） fx+a=1fxT=2a .10. 已知f(x)=2sin(2x+6)若f(x0)=65,x04,2，则cos2x0=_【答案】34310【解析】因为fx0=65,x04,2，所以2sin2x0+6=65，所以sin2x0+6=35，因为x04,2，所以cos2x0+6=45，所以cos2x0=cos2x0+66=cos2x0+6cos6+sin2x0+6sin6=4532+3512=34310，故答案为34310.11. 若正数a,b满足2+log2a=3+log3b=log6(a+b)，则1a+1b的值为_【答案】108【解析】因为正数a,b满足，2+log2a=3+log3b=log6a+b，所以设2+log2a=3+log3b=log6a+b=x，则a=2x2,b=3x3,a+b=6x，1a+1b=a+bab=6x2x23x3=623=108，故答案为108 .12. 设集合3a+b|1ab2中的最大元素与最小元素分别为M,m，则M-m的值为_【答案】523【解析】由题意得，3a+b3a+a23aa=23，当且仅当3a=a时，等号成立，m=23,3a+b31+2=5，M=5,Mm=523，故答案为523. 13. 若函数f(x)=x2+a|x-1|在0,+)上单调递增，则实数a的取值范围是_【答案】2,0 【解析】fx=x2+ax1=x2+axa,x1x2ax+a,x”，结论仍然成立的是（ ）A. 如果a=b，c0，那么ac=bc B. 如果a=b，那么a2=b2C. 如果a=b，c=d，那么a+d=b+c D. 如果a=b，c=d，那么ad=bc【答案】D【解析】把下列命题中的“=”改为“”, 对于选项A ，如果ab,c0，那么acbc，若cbc不成立，对于选项B，如果ab，那么a2b2，取a=1,b=2时，a2b2不成立，对于选项C，如果ab,cd，取a=1,b=8 c=1,d=8 a+db+c不成立，对于选项D，如果ab,cd，那么根据不等式的性质可知adbc正确，故选D.16. 设p,q是两个命题，p:1x1，q:|2x+1|1，则p是q（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】p:1x1,q可化为1x0:2x+11，可得1x0），则函数f(x)在区间5,7上的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】当x1,3,x21,1，所以fx=fx2a=1ax22x2=1ax2x3； 当x3,5,x21,3，所以fx=1a2x4x5；当x5,7,x23,5，所以fx=1a3x6x7=1a3x213x+42；所以当x=6.5时，fxmin=14a3，故选D.18. 如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动（向右为顺时针，向左为逆时针）设顶点Px,y 的轨迹方程是y=f(x)，则关于f(x)的最小正周期T及y=f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积S的正确结论是（ ）A. T=4，S=+1 B. T=2，S=2+1C. T=-4，S=2+1 D. T=2，S=+1【答案】A【解析】从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1,因此该函数的周期为4.下面考查点P的运动轨迹,不妨考查正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径旋转90，再以C为圆心，旋转90,这时候以CP为半径,因此最终构成图象如下：所以两个相邻零点间的图象与x轴所围成区域的面积S=214+21211+142=+1，故选A.三、解答题（本大题满分74分）19. 已知函数f(x)=cx+1,(0xc),2xc2+1,(cx0x+10 (2) 22x0x+10【解析】试题分析：（1）函数求值时首先确定自变量的值对应的取值范围，进而代入相应的函数解析式；（2）解不等式f(x)28+1时需分0xc与cx1两种情况分别代入函数式求解试题解析：（1）因为0c1，所以c228+1得，当0x12时，解得24x12，当12x1时，解得12x28+1的解集为x|24x58考点：分段函数求值及解不等式20. 已知函数f(x)=lg(x+1)(1) 若0f(12x)f(x)1，求x的取值范围；(2) 若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0x1时，有g(x)=f(x)，求函数y=g(x) (x1,2)的反函数【答案】(1) 23x0x+10，得-1x1.由0lg(2-2x)-lg(x+1)=lg2-2xx+11得12-2xx+10，所以x+12-2x10x+10，-23x13.由-1x1-23x13得-23x13. （2）当x1,2 时，2-x0,1 ，因此y=g(x)=g(x-2)=g(2-x)=f(2-x)=lg(3-x). 由单调性可得y0,lg2.因为x=3-10y，所以所求反函数是y=3-10x，x0,lg2.21. 已知函数f(x)=(1+cotx)sin2x+msin(x+4)sin(x4)(1) 当m=0时，求f(x)在区间8,34上的取值范围；(2) 当tan=2时，f()=35，求m的值【答案】(1) f(x)0,1+22 (2) m=2【解析】解：（1）当m=0时，f(x)=sin2x+sinxcosx=12(sin2xcos2x)+12=22sin(2x4)+12又由x8,34得2x40,54，所以sin(2x4)22,1，从而f(x)=22sin(2x4)+120,1+22.（2）f(x)=sin2x+sinxcosxm2cos2x =1cos2x2+12sin2xm2cos2x=12sin2x(1+m)cos2x+12由tan=2得sin2=2sincossin2+cos2=2tan1+tan2=45，cos2=cos2sin2sin2+cos2=1tan21+tan2=35，所以35=1245+(1+m)35+12，得m=222. 已知函数f(x)=a2x+a222x1(xR,x0)，其中a为常数，且a0 (1) 若f(x)是奇函数，求a的取值集合A；(2) 当a=1 时，设f(x)的反函数为f1(x)，且函数y=g(x)的图像与y=f1(x+1)的图像关于y=x对称，求g(1)的取值集合B；(3) 对于问题(1)(2)中的A、B ，当f1(x)时，不等式f1(x)恒成立，求x的取值范围【答案】(1) A=1 (2) B=4 (3) 1，4【解析】试题分析: （1）由f(-1)+f(1)=0求得a的值，在验证f(x)是奇函数即可得结果；(2)根据指数对数的运算法则可得f-1(x)，从而可得f-1(x+1)，求其反函数可得y=g(x)的解析式，进而可得结果；(3)根据对数函数的单调性，结合对数函数的定义域，列不等式组求解即可.试题解析：（1）由必要条件f(-1)+f(1)=0得a2-a-2=0,a0,aa|a0,a-1,a-4恒成立，则x-40 则x 的取值范围为1，4 .23. 对于函数f1(x)、f2(x)、h(x)，如果存在实数a,b使得h(x)=af1(x)+bf2(x)，那么称h(x)为f1(x)、f2(x)的生成函数(1) 下面给出两组函数，h(x)是否分别为f1(x)、f2(x)的生成函数？并说明理由；第一组：f1(x)=sinx，f2(x)=cosx，h(x)=sin(x+3)第二组：f1(x)=x2x，f2(x)=x2+x+1，h(x)=x2x+1；(2) 设f1(x)=log2x，f2(x)=log12x，a=2,b=1，生成函数h(x)若不等式h(4x)+th(2x)0)，f2(x)=1x(x0)，取a0,b0，生成函数h(x)图像的最低点坐标为(2,8)若对于任意正实数x1,x2，且x1+x2=1，试问是否存在最大的常数m，使h(x1)h(x2)m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由【答案】(1)见解析 (2) (,43) (3) m为289【解析】试题分析：（1）由条件利用生成函数的定义，判断生成函数h(x)是否分别为是f1(x)、f2(x)的生成函数，从而得出结论；（2）log2(4x)+tlog2(2x)0有解等价于t-2+log2x1+log2x在x2,4上有解，只需小于函数g(x)=-2+log2x1+log2x在x2,4的最大值即可；（3）先求出函数h(x1)h(x2)的最小值为289，只需m289 即可.试题解析：(1)第一组：h(x)是f1(x)、f2(x)的生成函数，因为存在a=12,b=32使h(x)=12f1(x)+32f2(x) 第二组：h(x)不是f1(x)、f2(x)的生成函数，因为若存在a,b使得h(x)=af1(x)+bf2(x)，则有x2-x+1=a(x2-x)+b(x2+x+1) =(a+b)x2+(b-a)x+b故a+b=1b-a=-1b=1，而此方程无解，所以h(x)不是f1(x)、f2(x)的生成函数 . (2) 依题意，有2log2(4x)+log12(4x)+t2log2(2x)+log12(2x)0在x2,4上有解化简得：log2(4x)+tlog2(2x)0即t-2+log2x1+log2x在x2