上海浦东新区高三数学下学期期中教学质量检测二模

上海市浦东新区2019届高三数学下学期期中教学质量检测（二模）试题（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.若集合，集合，则_ .【答案】【解析】【分析】由集合交集的定义可直接得解.详解】由集合，集合，得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，属于基础题.2.若行列式，则_ .【答案】3【解析】【分析】由行列式的定义列方程求解即可.【详解】行列式，所以.故答案为：3.【点睛】本题主要考查了行列式的计算，属于基础题.3.复数的虚部为_（其中为虚数单位）.【答案】【解析】【分析】由复数的除法运算直接求解即可得虚部.【详解】复数. 虚部为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及虚部的概念，属于基础题.4.平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上. 如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作_个三角形.（结果用数值表示）【答案】220【解析】【分析】根据题意，由组合数公式计算总12个点中任选3个的取法，又由任何3点不在同一直线上，分析可得答案【详解】根据题意，12个点中，任取3个，有种取法，又由平面的12个点中，任何3点不在同一直线上，则可以做220个三角形；故答案为：220【点睛】本题考查组合数公式的应用，注意“任何3点不在同一直线上”的条件5.如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的倍，那么它的底面半径应该扩大为原来的_倍.【答案】【解析】【分析】设圆柱的高为h，底面半径为r，设扩大后圆柱的高为h，底面半径为R，根据圆柱的体积公式计算可得答案【详解】设圆柱的高为h，底面半径为r，则体积Vr2h，设扩大后圆柱的高为h，底面半径为R，则体积VR2h，由，得R25r2，则R它底面半径应该扩大为原来的倍故答案为：【点睛】本题考查了圆柱的体积公式，熟练掌握圆柱的体积公式是关键，是基础题6.已知函数是偶函数，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】结合三角函数的奇偶性，建立方程关系2k，kZ,即可得解【详解】是偶函数，则2k，kZ，即，kZ，当k0时，取得最小值，为，故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数对称性的应用，结合三角函数是偶函数，建立方程求出的表达式是解决本题的关键7.焦点在轴上，焦距为，且经过点的双曲线的标准方程为_.【答案】【解析】【分析】利用已知条件求出c，a，然后求解b，即可得到双曲线方程【详解】焦点在x轴上，焦距为6，c3，且经过点可得，所以.双曲线的标准方程为：故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查8.已知无穷数列满足则_.【答案】0【解析】【分析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可【详解】无穷数列满足，0故答案为：0【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，属于基础题9.二项式展开式的常数项为第_项.【答案】4【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式得：Tr+1（2x）6r（）r（1）r262rx62r，当62r0，即r3时，T4为常数项，即二项式展开式的常数项为第4项，得解【详解】由二项式展开式的通项公式得：Tr+1（2x）6r（）r（1）r262rx62r，当62r0，即r3时，T4为常数项，即二项式展开式的常数项为第4项，故答案为：4【点睛】本题考查了二项式展开式的通项，属基础题10.已知个正整数，它们的平均数是，中位数是，唯一众数是，则这个数方差的最大值为_.（精确到小数点后一位）【答案】12.3【解析】【分析】根据题意，由中位数、众数的概念分析，设这6个数为a，3，3，5，b，c；进而分析可得若这6个数方差的最大，则a1，b6，c12；由方差公式计算可得答案【详解】根据题意，6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一众数是3，则可以设这6个数为a，3，3，5，b，c；若这6个数方差的最大，6个数据的波动幅度较大，此时a1，c12.由平均数为5，所以，则有b6其方差s2（15）2+（35）2+（35）2+（55）2+（65）2+（125）212.3；故答案为：12.3【点睛】本题考查数据的方差、中位数、众数、平均数的计算，关键是掌握数据的方差、中位数、众数、平均数的定义，属于基础题11.已知正方形边长为，若在正方形边上恰有个不同的点，使，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】建立坐标系，逐段分析的取值范围及对应的解得答案【详解】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图：则F（0，2），E（8，4）（1）若P在AB上，设P（x，0），0x8（x，2），（8x，4）x28x+8，x0，8，88，当8时有一解，当88时有两解；（2）若P在AD上，设P（0，y），0y8，（0，2y），（8，4y）（2y）（4y）y26y+80y8，124当1或824时有唯一解；当18时有两解（3）若P在DC上，设P（x，8），0x8（x，6），（8x，4），x28x+24，0x8，824，当8时有一解，当824时有两解（4）若P在BC上，设P（8，y），0y8，（8，2y），（0，4y），（2y）（4y）y26y+80y8，124，当1或824时有一解，当18时有两解综上，在正方形ABCD的四条边上有且只有6个不同的点P，使得成立，那么的取值范围是（1，8）故答案为：（1，8）【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，分类讨论思想，属难题12.已知是定义在上的函数, 若在定义域上恒成立，而且存在实数满足：且，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由函数定义域及复合函数的关系可得，解得，设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，由与抛物线联立，解得中点在得，从而在有两不等的实数根，利用二次函数根的分布列不等式组求解即可.【详解】因为，所以时满足；设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，令由设、为直线与抛物线的交点，线段中点为，所以，所以，而在上，所以，从而在有两不等的实数根，令，所以。【点睛】本题主要考查了二次型复合函数的性质，考查了转化与化归的能力，属于难题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图及正三棱柱的几何特征可得解.【详解】由正三棱柱的几何特征知，俯视图中间有条实线，故选C.【点睛】本题主要考查了正三棱柱的几何特征和三视图的相关知识，属于基础题.14.点到直线（为参数，）的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先把直线的参数方程化成普通方程，再根据点到直线的距离公式可得【详解】由消去参数t可得3x4y+50，根据点到直线的距离公式可得d故选：D点睛】本题考查了直线的参数方程化成普通方程，点到直线的距离公式，属基础题15.已知点满足约束条件：，则目标函数的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由zxy，得yxz表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，由，解得A（0，40）平移直线yxz，当直线yxz经过点A时，直线yxz的截距最大，此时z最小，此时zmin40故选：B【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决16.已知，则对任意非零实数，方程 的解集不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数f（x）的对称性，因为的解应满足y1，y2，进而可得到的根，应关于对称轴x对称，对于D中4个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可能是D【详解】，关于直线x对称.令方程的解为f1（x），f2（x） 则必有f1（x）y1，f2（x）y2那么从图象上看，yy1，yy2是一条平行于x轴的直线它们与f（x）有交点，由于对称性，则方程y1的两个解x1，x2要关于直线x对称，也就是说x1+x2同理方程y2的两个解x3，x4也要关于直线x对称那就得到x3+x4，若方程有4个解，则必然满足x1+x2 x3+x4而在D中，找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个和等于另外两个的和.故答案D不可能故选：D【点睛】本题主要考查二次函数的性质对称性，考查了函数与方程的思想，属于难题三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.已知，正三棱柱中，延长至，使。（1）求证：；（2）求二面角的大小，（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）通过底面的边角关系可得，进而可证得平面，从而得证；（2）取中点，联结，可证得为二面角的平面角，从而得解.【详解】（1）因为是正三棱柱，所以 ，且 从而又所以， 即 平面 （2）取中点，联结. 所以， 又，故因为 所以 从而 所以为二面角的平面角. 因为所以， 二面角的大小为 解法二：以直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系.则 设平面的一个法向量则令，则，所以 又平面的一个方向量 设二面角的大小为则 所以二面角的大小为【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明及性质的应用，二面角的求解，考查了空间想象力及计算能力，属于中档题.18.已知向量，其中，若函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）在ABC中，若，求的值.【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1），利用三角函数的周期性可求的值（2）根据f（B）的值，求得B，由正弦定理求得A，最后求得C，利用向量的数量积公式求得答案【详解】（1） 的最小正周期为，.（2）设ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，即，解得 ，.【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质，向量的数量积运算，三角函数恒等变换的应用综合考查了学生分析问题和运算能力19.浦东一模之后的“大将” 洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习. 2019年春节档非常热门的电影流浪地球引发了他的思考：假定地球（设为质点，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为万米）的中心为右焦点的椭圆. 已知地球的近木星点（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为万米，远木星点（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为万米. （1）求如图给定的坐标系下椭圆的标准方程；（2）若地球在流浪的过程中，由第一次逆时针流浪到与轨道中心的距离为万米时（其中分别为椭圆的长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线，称该直线的斜率为“变轨系数”. 求“变轨系数”的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞. （精确到小数点后一位）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意得，解方程组即可得解；（2）设，解得，设出直线方程，由焦点到直线的距离大于半径列不等式求解即可.【详解】（1）由条件 椭圆C的方程为 （2）设地球由近木星点第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为万米时所在位置为，则 设 .【点睛】本题主要考查了椭圆方程的实际应用，考查了计算能力，属于中档题.20.已知各项均不为零的数列满足前项的和为，且，数列满足.（1）求；（2）求；（3）已知等式对成立. 请用该结论求有穷数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由，可得，结合a11，依次求得a2，a3的值；（2）由（n2），得，两式作差可得an+an+14n+2，结合等差数列的前n项和求S2019；（3）由bkak+ak+14k+2，得，然后结合已知组合数公式的性质求解有穷数列，的前n项和Tn【详解】（1）因为，又数列各项均不为零，所以.当时，所以. 当时，所以. （2）由（1）知. .（3）由（2）知. .【点睛】本题考查数列递推式，考查了数列的分组求和与等差数列前n项和，考查二项式系数的性质，是难题21.已知函数的定义域，值域为.（1）下列哪个函数满足值域为，且单调递增？（不必说明理由），.（2）已知函数的值域，试求出满足条件的函数一个定义域