福建龙岩一中高二数学第一次月考理实验班含解析

福建省龙岩一中2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题 理（实验班，含解析）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在中，内角的对边分别为，若，则 （）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在中，利用正弦定理与两角和的正弦可得，结合，即可求得答案【详解】在中，由正弦定理得：， ，又 ，又， 故选： 【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数与正弦定理的应用，属于中档题2.等差数列中，若，则该数列的前项的和为（）A. 2015B. 4030C. 6045D. 12090【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出结果【详解】由等差数列， ，则，解得，则该数列的前2015项的和，故选：【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.一首小诗数灯，诗曰：“远望灯塔高7层，红光点点倍加增，顶层数来有4盏，塔上共有多少灯？”答曰（）A. 252盏B. 256盏C. 508盏D. 512盏【答案】C【解析】试题分析：由已知可得,数列是等比数列,故选C.考点：等比数列求和.4.已知等差数列中，是它的前项和，若，则当最大时的值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 是等差数列中大于零的最后一项，因此 是所有前 项和里最大的。故选A。5. 是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据椭圆定义可判断，平方得出，再利用余弦定理求解即可【详解】 是椭圆上一点， 、 分别是椭圆的左、右焦点， ， ， ， ，在中， ，故选： 【点睛】本题考查了椭圆定义，焦点三角形的问题，结合余弦定理整体求解是运算的技巧，属于中档题6.某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）A. 大于B. 小于C. 大于等于D. 小于等于【答案】A【解析】【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为，根据，求出和的值，并利用基本不等式，可得 .【详解】由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为 由杠杆的平衡原理：， 解得，则下面比较与10的大小： 因为，又因为 ，所以，即 这样可知称出的黄金质量大于 故选：【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，运用了物理中的杠杆平衡原理知识来求解，属于基础题7.下列说法正确的是（）A. “”是“”的充分不必要条件B. 命题“，”的否定是“，”C. 命题“若，则”的逆命题为真命题D. 命题“若，则或”为真命题【答案】D【解析】选项A：，所以“”是其必要不充分条件；选项B：命题“”的否定是“”；选项C：命题“若，则”的逆命题是“若，则”，当c=0时，不成立；选项D：其逆否命题为“若且，则”为真命题，故原命题为真，故选D8.中，点 在双曲线上，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意结合双曲线定义，求出的三边关系，再利用正弦定理化简，求出它的值即可【详解】中， ， ，点在双曲线上，与为双曲线的两焦点，根据双曲线的定义得：，则故选：【点睛】本题考查了正弦定理的应用问题，考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目9.斜率为2的直线 过双曲线 的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出的关系，然后求出离心率的范围【详解】依题意，斜率为2的直线l过双曲线 的右焦点且与双曲线的左右两支分别相交，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即，因此该双曲线的离心率故选： .【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线的斜率的应用，考查了数形结合思想及转化思想，是基础题10.已知点，抛物线的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|PF|最小,则P点的坐标为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，则，其中为到准线的距离，而，此时.选C.点睛：在抛物线中，与焦点有关的最值问题，通常转化为与准线有关的最值问题.11.已知满足约束条件，当目标函数在约束条件下取到最小值时，的最小值为（ ）A. 5B. 4C. D. 2【答案】B【解析】试题分析： 由得，直线的斜率，作出不等式对应的平面区域如图，由图可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小由，解得，即，此时目标函数的最小值为，即，所以点在直线上，则原点到直线的距离，即的最小值.故选B考点：1、简单线性规划；2、点到直线的距离【思路点睛】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义确定取得最小值的条件，点在直线，而的几何意义为点到直线的距离的平方，将问题转化为求到直线的距离即可得到结论本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最小值的条件是解决本题的关键属于基础题12.已知c是椭圆的半焦距，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，运用勾股定理、基本不等式，直角三角形的2个直角边之和大于斜边，便可以求出式子的范围【详解】椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，两直角边分别为、 ，斜边为 ，由直角三角形的2个直角边之和大于斜边得： ，又，故选： 【点睛】本题考查椭圆的简单性质、基本不等式的应用，考查了直角三角形三边的关系，属于基础题第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.等比数列的各项均为正数，且，则 .【答案】.【解析】试题分析：由题意知，且数列的各项均为正数，所以，考点：1考查等比数列的基本性质；2对数的基本运算14.过抛物线的焦点作直线交抛物线于点， ，若，则线段的中点到抛物线准线的距离为_【答案】【解析】【分析】先大致绘出图像，结合抛物线上点到焦点距离等于该点到准线距离，计算MN。【详解】 结合抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，故 所以【点睛】本道题考查了抛物线的性质，可以将AB的长转化成点到准线距离，然后结合梯形中位线定理，即可。15.已知椭圆的左、右焦点分别为，点 与 的焦点不重合，若分别为线段的中点，线段的中点在上，则_【答案】12【解析】【分析】由题意作出图象，设线段的中点为，连结，用椭圆的定义解答即可【详解】如图，设线段的中点为，连结 ，则 ，分别是，的中位线，则 故答案为：12【点睛】本题考查了椭圆的定义以及简单性质的应用，考查三角形的中位线的性质，属于中档题16.在等腰中，则面积的最大值为_【答案】4【解析】【分析】由题意建立坐标系，结合向量模的坐标运算及基本不等式求解即可【详解】以为轴，以的垂直平分线为轴，设 ， ， ， ， ， ， ， ，当且仅当时，即 ， ，面积的最大值为4，故答案为：4【点睛】本题考查了用解析的方法解决平面几何问题，考查了向量的坐标运算，模的计算，考查了基本不等式的应用，属于中档题三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在平面四边形中，(1)求的值；(2)求的长【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）设，在中，根据余弦定理求得，再根据正弦定理可得，即的值；（2）由（1）可得的值，根据，进而利用和与差的公式可求得，然后解直角三角形即可.【详解】设.（1）在中，由余弦定理得，即,，解得（负值舍去）.在中，由正弦定理得，所以，即.（2）由题设知，为锐角，于是由（1）知，.而，所以 .在 中，故.【点睛】本题考查三角函数的化简，考查正弦定理、余弦定理的运用.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步：求结果.18.为数列的前项和.已知0，=.（）求的通项公式；（）设,求数列的前项和.【答案】（）（）【解析】【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求an的通项公式：（）求出bn，利用裂项法即可求数列bn的前n项和【详解】解：（I）由an2+2an4Sn+3，可知an+12+2an+14Sn+1+3两式相减得an+12an2+2（an+1an）4an+1，即2（an+1+an）an+12an2（an+1+an）（an+1an），an0，an+1an2，a12+2a14a1+3，a11（舍）或a13，则an是首项为3，公差d2的等差数列，an的通项公式an3+2（n1）2n+1：（）an2n+1，bn（），数列bn的前n项和Tn（）（）.【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键19.（）设 ，若 是的必要不充分条件，求实数的取值范围（）已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：双曲线的离心率若 有且只有一个为真命题，求的取值范围【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）求出，解集，利用条件，列出不等式即可求实数的取值范围.（）根据方程表示焦点在轴上的椭圆得到的范围，根据双曲线的离心率的范围求出的范围，利用复合命题的真假转化求解即可详解】（）：由题意得， 是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，且（等号不能同时取得），故实数的取值范围为（）将方程 改写为 ，只有当，即时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，所以命题等价于；因为双曲线 的离心率，所以 ，且，解得 ，所以命题等价于 若真假，则不存在；若假真，则综上可知的取值范围为【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，椭圆方程的应用，双曲线的简单性质以及充要条件，四种命题的逆否关系，考查转化思想以及计算能力20.已知双曲线的离心率为，虚轴长为4（）求双曲线的标准方程；（）过点 ，倾斜角为直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积【答案】（）;（）.【解析】试题分析：（）根据已知条件及可得关于的方程组,从而可求得.（）由点斜式可得直线方程,与双曲线联立消去可得关于的一元二次方程.可得两根之和,两根之积.由弦长公式可得,根据点到面的距离公式可得原点到直线的距离,从而可求得的面积.试题解析：解：()依题意可得解得双曲线的标准方程为()直线的方程为设、由可得由韦达定理可得，即原点到直线的距离为于是 的面积为考点：1双曲线的方程,简单几何性质;2直线与双曲线的位置关系问题.21.已知函数，满足 ， ，且函数的值域为 （）求函数的解析式；（）设函数，对任意 ，存在 ，使得 求的取值范围【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）根据，可得由判别式 ，可得，又，可得，解得和的值，可得的分析式（）先求得f(x)的最大值为9，可得，即 对任意恒成立构造，利用，由此求得的范围【详解】（）根据，可得 由函数的值域为 知，方程，判别式 ，即 .又 ， ，即 ，解得：， （）由（）可得f(x)的对称轴为，则当时， 取得最大值为9，若对任意，存在，使得 ，即，即 对任意恒成立设 ，则，即，解得 的取值范围是【点睛】本题主要考查二次函数图象及性质的应用，考查了函数的恒成立问题，属于基础题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知椭圆的一个焦点 ，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形（）求椭圆的标准方程；（）过焦点作 轴的垂线交椭圆上半部分于点，过点作椭圆的弦，设弦 所在的直线分别交轴于、两点，若为等腰三角形时，问直线的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（）；（）直线斜率为定值，该定值为.【解析】【分析】（1）根据题意，分析可得的值，进而分析可得，由椭圆的几何性质分析可得的值，代入椭圆的方程即可得答案；（2）根