东北三三校哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学高三数学第二次模拟理

东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2019届高三数学第二次模拟试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解不等式得到集合，再根据题中条件，即可判断出与之间关系.【详解】由得或，故或，又，所以.故选D【点睛】本题主要考查集合之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知（为虚数单位），则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将式子化为，再由复数的除法运算即可得出结果.【详解】因为，所以，故.故选C【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.3.过点的直线与圆相交于，两点，若，则该直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由题意，设直线的方程为；根据弦长和半径确定点到直线的距离，再由点到直线的距离公式即可求出结果.【详解】由题意设直线的方程为，因为圆的圆心为，半径为，又弦长，所以圆心到直线的距离为，所以有，解得.故选A【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系，熟记点到直线距离公式以及几何法求与弦长有关的问题，属于基础题型.4.将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为，则，分别为（ ）111 001 011 010 000 111 111 111 101 010000 101 011 010 001 011 100 101 001 011A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据题意，可直接得到“连掷三次，恰出现1次反面朝上”的概率；根据题中数据，列举出“连掷三次，恰出现1次反面朝上”所包含的情况，即可得出；【详解】由题意可得，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率；由表中数据可得，“连掷三次，恰出现1次反面朝上”所包含的情况有：011，101，101，011，011，101，011共7组，所以.故选B【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率问题、以及随机模拟法求概率的问题，熟记相关概念即可，属于基础题型.5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由诱导公式可得，根据，再由二倍角公式即可得出结果.【详解】因为所以.故选B【点睛】本题主要考查给值求值问题，熟记诱导公式与二倍角公式即可，属于基础题型.6.已知函数，若，则（ ）A. -4B. -3C. -2D. -1【答案】C【解析】【分析】先由得到，进而可求出结果.【详解】因为，所以，因此；又，所以.故选C【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型.7.四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接交于点，连接，证明平面，进而可得到即是直线与平面所成角，根据题中数据即可求出结果.【详解】连接交于点，因为平面，底面是正方形，所以，因此平面；故平面；连接，则即是直线与平面所成角，又因，所以，.所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型.8.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且，则的一个可能值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由题意写出解析式，根据可知为奇函数，进而可求出.【详解】由题意可得，又，所以为奇函数，因此，故，所以，所以可以取.故选A【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，以及三角函数的性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型.9.双曲线：，分别为其左，右焦点，其渐近线上一点满足，线段与另一条渐近线的交点为，恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意得到双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，；不妨令在渐近线上，则在上，设，根据题意求出点坐标，再得到的坐标，将坐标代入直线，即可得出结果.【详解】由题意得双曲线：的渐近线方程为，；不妨令在渐近线上，则在上，设，由得，即，解得，所以，又恰好为线段的中点，所以，因在上，所以，因此，故离心率为2.故选B【点睛】本题主要考查双曲线的斜率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.10.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设，根据题意可知，求出的长，延长交于，求出的长，再由平面向量基本定理即可得出结果.【详解】设，因此，又由题意可得，所以，因此；延长交于，记，则，所以；又由题意易知，则，在三角形中，由正弦定理可得，即，因此，所以，因为，所以，即，整理得，所以.故选D【点睛】本题主要考查解三角形以及平面向量基本定理，熟记正弦定理和余弦定理、以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.11.已知三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先在长方体中还原该三棱锥为，根据三棱锥底面外接圆圆心确定外接球球心位置，设球的半径为，列出方程即可求出结果.【详解】根据三视图，在长方体中还原该三棱锥为，且长方体的底面边长为2，高为；取中点为，上底面中心为，连接，则，因为三角形为直角三角形，所以点为三角形的外接圆圆心，因此三棱锥的外接球球心，必在线段上，记球心为，设球的半径为，则，所以有，因此，解得，所以该三棱锥的外接球表面积为.故选C【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及几何体外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.12.已知直线与椭圆：相交于，两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先联立直线与椭圆方程，设，由韦达定理得到与，结合弦长公式表示出弦长，进而表示出三角形的面积，根据面积最大值，可求出，代入弦长的表达式，即可得出结果.【详解】由，得.设，则， .又到直线的距离，则的面积 ，当且仅当，即时，的面积取得最大值.此时，.故选A【点睛】本题主要考查椭圆中的弦长问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、以及弦长公式等求解，属于常考题型.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数，则_【答案】【解析】【分析】根据解析式，由内向外逐步代入即可得出结果,【详解】由题意，所以.故答案为【点睛】本题主要考查求函数值，分段函数中的求函数值问题是比较常见的一种题型，属于基础题.14.的展开式中的系数是_【答案】-16【解析】【分析】先将化为，再结合展开式的通项公式即可得出结果.【详解】因为，又展开式的通项为，求的展开式中的系数，只需令或，故所求系数为.故答案为【点睛】本题主要考查指定项的系数，熟记二项展开式的通项公式即可，属于常考题型.15.设的内角，的对边分别为，且，则_【答案】【解析】【分析】先由正弦定理得，得到，再由余弦定理得，即可求出结果.【详解】因为，由正弦定理可得，即，解得；又由余弦定理得，因此，解得.故答案为【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.16.以抛物线焦点为圆心，为半径作圆交轴于，两点，连结交抛物线于点（在线段上），延长交抛物线的准线于点，若，且，则的最大值为_【答案】32【解析】【分析】先由题意，得到以为圆心，为半径的圆的方程，再令为轴正半轴上的点，从而求出点坐标，得到直线的方程，分别与抛物线的准线方程、抛物线方程联立求出两点坐标，即可用表示出，再由，且，求出的范围，即可得出结果.【详解】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为，所以以为圆心，为半径的圆的方程为，因为，两点为圆与轴的两个交点，不妨令为轴正半轴上的点，由得，；所以直线的斜率为，因此直线的方程为，由得；由得，所以，又，且，所以，即，因此，当且仅当时，取等号.故答案为【点睛】本题主要考查抛物线的性质，通常需要联立直线与抛物线方程等求解，属于常考题型.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题.第22、23题为选考题.）17.已知数列的前项和为，满足，数列为等比数列，公比为，且，.（）求数列，的通项公式；（）求数列的前项和.【答案】（） （）【解析】【分析】（）先由得到，两式作差得；根据为等比数列，公比为，且，求出首项和公比即可得出结果；（）先得到，写出，两边同乘以，再作差整理，即可得出结果.【详解】解：（I）因为 ，又 .（II）因为所以，.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列、以及错位相减法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型.18.如图，直三棱柱中，点是棱的中点.（）求证：平面；（）若，在棱上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（）见解析（）【解析】【分析】（）先连接，交于点，再由线面平行的判定定理，即可证明平面；（）先由题意得，两两垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系设 ，求出两平面的法向量，根据法向量夹角余弦值以及二面角的大小列出等式，即可求出，进而可得出结果.【详解】解：（）证明：连接，交于点，则为中点，连接，又是棱的中点，平面，平面，平面.（）解：由已知，则，两两垂直以为原点，如图建立空间直角坐标系则，设 则，设平面的法向量为 ，则取平面的一个法向量.设平面的法向量为 ，则取平面的一个法向量 . ，得或，存在点，此时，使二面角的大小为45.【点睛】本题主要考查线面平行、以及已知二面角求其它量的问题，通常需要熟记线面平行的判定定理来证明平行；另外，向量法求二面角是最实用的一种做法，属于常考题型.19.椭圆：，点，动直线与椭圆交于，两点，已知直线的斜率为，直线的斜率为，且，的乘积为.（）若，求实数的值；（）若，求证：直线过定点.【答案】（）（）过定点【解析】【分析】（）先由，设，表示出，进而可求出结果；（）联立直线与椭圆方程，设，根据韦达定理得到的关系式，进而可得出直线所过的定点.【详解】解：（）不妨设 ， ，.（）设联立得，由题意，设， ，均符合.若，直线：过，与已知矛盾.，直线:过定点.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，以及椭圆中直线过定点的问题，熟记椭圆的性质，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理等求解，属于常考题型.20.一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.（）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，请根据（）中频率分布直方图（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率）：（1）写出四月后20天每天百合花需求量的分布列；（2）若百合花进货价格与售价均不变，微店从四月十一日起，每天从云南固定空运支百合花，当为多少时，四月后20天每天百合花销售利润（单位：元）的期望值最大？【答案】（）见解析（）（1）见解析（2）每天空运245支百合，四月后20天每天百合销售利润的期望值最大【解析】【分析】（I）根据题意完善频率分布直方图，平均数等于每组的中间值乘以该组频率再求和；众数为频率最大的一组的中间值；（）（1）由（I）中频率分组直方图可直接得到分布列；（2）分别计算、以及时的利润期望，比较大小即可得出结果.【详解】解：（I）四月前10天订单中百合需求量众数为255，平均数频率分布直方图补充如下：（II）（1）由（I）频率分布直方图知，分布列为245255265P0.10.30.40.2（2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 时，（元）.故每天空运245支百合，四月后20天每天百合销售利润的期望值最大.【点睛】本题主要考查频率分布直方图，以及离散型随机分布列与期望等，结合相关知识点求解即可，属于常考题型.21.已知函数，.（）求证：曲线与在处的切线重合；（）若对任意恒成立.（1）求实数的取值范围；（2）求证：（其中）.【答案】（）见解析（）（1）（2）见解析【解析】【分析】（）先对函数求导，得到，再由，根据直线的点斜式方程即可求出在点处的切线方程；另外同理求出在处的切线方程，即可得出结论成立；（）（1）先令，对函数求导，通过讨论与、研究函数的单调性，即可得出结果；（2）先由（1）得到当时，恒成立，得，分别令得个不等式相加得，整理化简得到只要证明即可得出结论成立.【详解】证明:()在处的切线方程为在处的切线方程为所以切线重合.（）（1）令 则， 当时，当且仅当时，取等号，在递减，不成立.当时，(i)当时，时，递减，在递减， 不恒成立.(ii）当时，在递增，在递增，恒成立.综上