2011普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖南卷含答案）

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷，含答案）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。参考公式：（1），其中为两个事件，且， （2）柱体体积公式，其中为底面面积，为高。 （3）球的体积公式，其中为求的半径。一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。1.若，为虚数单位，且，则（ ）A B C D 答案：D2.设，则“”是“”则（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 答案：A3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C D 答案：B4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（ ）A在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案：C5.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）A4 B3 C2 D1答案：C6. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A B1 C D答案：D7. 设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为（ ）A B C D答案：A8.设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（ ）A1 B C D答案：D 二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为 。 答案：210.设,则的最小值为 。答案：911.如图2，是半圆周上的两个三等分点，直径，,垂足为D, 与相交与点F，则的长为 。答案：二、必做题（1216题）12、设是等差数列的前项和，且，则答案：2513、若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于 。答案：14、在边长为1的正三角形中，设，则。答案：15、如图4， 是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（1）；（2）答案：（1）；（2）16、对于，将表示为，当时，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则（1） （2）答案：（1）2；（2）三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小18. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。(）求当天商品不进货的概率；（）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。19.（本题满分12分）如图5，在圆锥中，已知的直径的中点（I）证明：（II）求二面角的余弦值20. 如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。（）写出的表达式（）设0v10,0c5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，故.（II）由(I)知，当时，当时，故。(1)当时，是关于的减函数.故当时，。(2) 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，。21. (本小题满分13分） 如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。（）求，的方程；（）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.（i）证明：；(ii)记MAB,MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由。解析：（I）由题意知，从而，又，解得。故，的方程分别为。（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.由得，设，则是上述方程的两个实根，于是。又点的坐标为，所以故，即。（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.于是由得，解得或，则点的坐标为；又直线的斜率为，同理可得点的坐标于是因此由题意知，解得 或。又由点的坐标可知，所以故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。22.（本小题满分13分） 已知函数() =，g ()=+。 （）求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由； （）设数列满足，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有.解析：（I）由知，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点解法1：，记，则。当时，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；所以，当时，单调递减，而，则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。解法2：，记，则。当时，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，综上所述，有且只有两个零点。（II）记的正零点为，即。（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：当时，显然成立；假设当时，有成立