全国高中数学联赛及详细解析

2006年全国高中数学联赛试题及详细解析一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 已知ABC，若对任意，则ABC一定为A锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答案】 （ ）2. 设，则的取值范围为A B C D 【答案】（ ）5. 设，则对任意实数，是的A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 （ ）6. 数码中有奇数个9的2007位十进制数的个数为 A B C D 【答案】（ ）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设，则的值域是 。8. 若对一切R，复数的模不超过2，则实数的取值范围为 .9. 已知椭圆的左右焦点分别为与，点P在直线l：上. 当取最大值时，比的值为 .10. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm3.11. 方程的实数解的个数为 .12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 .三、解答题（本题满分60分，每小题20分）15. 设 . 记，. 证明：.2006年全国高中数学联合竞赛加试试卷（考试时间：上午10：0012：00）一、以B0和B1为焦点的椭圆与AB0B1的边ABi交于Ci（i=0，1）。在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧P0Q0交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；以B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1；以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1P0，交AB0的延长线于P0。试证：（1）点P0与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0；（2）四点P0、Q0、Q1、P1共圆。一试参考答案一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）1.【答案】 （ C ）【解析】令，过A作于D。由，推出,令，代入上式，得 ，即 , 也即 。从而有。由此可得 。 3.【答案】 （ C ）【解析】；。要使，则，即。所以数对共有。 4.【答案】 （ A ）【解析】建立直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，则（），（）。所以，。因为，所以，由此推出 。又，从而有 。6、 【答案】（ B ）【解析】出现奇数个9的十进制数个数有。又由于以及，从而得。二、填空题（本题满分54分，每小题9分）8.【答案】。 【解析】依题意，得 （）（对任意实数成立） . 故 的取值范围为 。9. 【答案】【解析】 由平面几何知，要使最大，则过，P三点的圆必定和直线l相切于P点。设直线l交x轴于A，则，即，即 （1），又由圆幂定理，（2），而，A，从而有，。代入（1），（2）得。12. 【答案】0.0434【解析】第4次恰好取完所有红球的概率为=0.0434.三. 解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 【证明】 因为与的交点为.显然有。若为抛物线与直线的一个交点，则. 记，则 ，（13.1）由于是整数，也是整数，所以根据数学归纳法，通过（13.1）式可证明对于一切正整数，是正整数. 现在对于任意正整数，取，使得与的交点为. 15. 【证明】（）如果，则，。 （）如果，由题意 ，,. 则 当 时，（）. 事实上，当时，, 设时成立（为某整数），则对， .（3）当时，记，则对于任意，且。对于任意，, 则。 所以，。当时，即。因此。综合（）（）（），我们有。 2006年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、（本题满分50分）以B0和B1为焦点的椭圆与AB0B1的边ABi交于Ci（i=0，1）。在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧P0Q0交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；以B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1；以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1P0，交AB0的延长线于P0。试证：（1）点P0与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0；（2）四点P0、Q0、Q1、P1共圆。【解析】证明：（1）显然B0P0=B0Q0，并由圆弧P0Q0和Q0P1，Q0P1和P1Q1，P1Q1和Q1P0分别相内切于点Q0、P1、Q1，得C1B0+B0Q0=C1P1，B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及C0Q1=C0B0+B0P0。四式相加，利用B1C1+C1B0=B1C0+C0B0以及P0在B0P0或其延长线上，有B0P0=B0P0。从而可知点P0与点P0重合。由于圆弧Q1P0的圆心C0、圆弧P0Q0的圆心B0以及P0在同一直线上，所以圆弧Q1P0和P0Q0相内切于点P0。（2）现在分别过点P0和P1引上述相应相切圆弧的公切线P0T和P1T交于点T。又过点Q1引相应相切圆弧的公切线R1S1，分别交P0T和P1T于点R1和S1。连接P0Q1和P1Q1，得等腰三角形P0Q1R1和P1Q1S1。基于此，我们可由P0Q1P1=P0Q1R1P1Q1S1=(P1P0TQ1P0P1)(P0P1TQ1P1P0)而P0Q1P1=Q1P0P1+Q1P1P0，代入上式后，即得，同理可得。所以四点P0、Q0、Q1、P1共圆。二、（本题满分50分）已知无穷数列an满足a0=x，a1=y，n=1、2、。（1）对于怎样的实数x与y，总存在正整数n0，使当n0n时an恒为常数？（2）求数列an的通项公式。（2）由（2.3）和（2.4），我们得到，n2。（2.7）记，则当n2时，由此递推，我们得到，n2，（2.8）这里Fn=Fn1+Fn2，n2，F0=F1=1。（2.9）由（2.9）解得。（2.10）上式中的n还可以向负向延伸，例如F1=0，F2=1。这样一来，式（2.8）对所有的n0都成立。由（2.8）解得，n0。（2.11）式（2.11）中的F1、F2由（2.10）确定。2006年全国高中数学联赛加试试题的另解2006年全国高中数学联赛加试第一题以和为焦点的椭圆与的边交于。在的延长线上任取点，以为圆心，为半径作圆弧交的延长线于；以为圆心，为半径作圆弧交的延长线于；以为圆心，为半径作圆弧交的延长线于；以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于。试证：（1） 点与点重合，且圆弧与相切于点；（2） 四点、共圆。（原题图略） 第（1）问的证明略，下面着重讨论第2问的另一种证明方法：构思：证明四点共圆，如果能找（或猜测）到该圆的圆心，转而证明圆心到四点距离相等，也是一个常用的方法，那么圆心究竟在哪里？试验：由题意可以知道：=常数（大于）。利用几何画板制作如图1所示的试验场景，其中圆为四边形的外接圆。图1拖动点，观察圆心位置的变化，猜测点可能是的内心与的内心（这两个三角形的内心可能是重合的）。利用几何画板中的测量工具测得相关角的度数，可以验证这个猜想是正确的！所以我们就有了下面的另解：证明：首先证明的内心与的内心重合：假设这