关于求空间的角的问题人教

关于求空间的角的问题 人教版秭归县屈原高中 张鸿斌 443600 Email:空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想 空间角的计算步骤 一作、二证、三算1 异面直线所成的角 范围 090方法 平移法；补形法 2 直线与平面所成的角 范围 090方法 关键是作垂线，找射影 3 二面角方法 定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法 注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S=Scos来计算 注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果 典型题例示范讲解 例1在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E、F分别是BC、AD的中点 (1)求证 四边形BEDF是菱形；(2)求直线AC与DE所成的角；(3)求直线AD与平面BEDF所成的角；(4)求面BEDF与面ABCD所成的角 命题意图 本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强 知识依托 平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角 错解分析 对于第(1)问，若仅由BE=ED=DF=FB就断定BEDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B、E、D、F四点共面 技巧与方法 求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法 (1)证明 如上图所示，由勾股定理，得BE=ED=DF=FB=a,下证B、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结AG、EG，由EGABAB知，BEGA是平行四边形 BEAG,又AF DG,AGDF为平行四边形 AGFD，B、E、D、F四点共面故四边形BEDF是菱形 (2)解 如图所示，在平面ABCD内，过C作CPDE，交直线AD于P，则ACP(或补角)为异面直线AC与DE所成的角 在ACP中，易得AC=a，CP=DE=a,AP=a由余弦定理得cosACP=故AC与DE所成角为arccos 另法（向量法） 如图建立坐标系，则故AC与DE所成角为arccos (3)解 ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上 如下图所示 又BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB在RtBAD中，AD=a，AB=a,BD=a则cosADB=故AD与平面BEDF所成的角是arccos 另法（向量法） ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上 如下图所示 又BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB，如图建立坐标系，则，故AD与平面BEDF所成的角是arccos (4)解 如图，连结EF、BD，交于O点，显然O为BD的中点，从而O为正方形ABCDABCD的中心 作OH平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HMDE，垂足为M，连结OM，则OMDE，故OMH为二面角BDEA的平面角 在RtDOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在RtOHM中，sinOMH=故面BEDF与面ABCD所成的角为arcsin 另法（向量法） 如图建立坐标系，则，所以面ABCD的法向量为 下面求面BEDF的法向量 设，由 故面BEDF与面ABCD所成的角为 例2如下图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120 求 (1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值 命题意图 本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题 知识依托 向量的加、减及向量的数量积 错解分析 注意=,=120而不是60,=90 技巧与方法 数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用 BD1与AC所成角的余弦值为 例3如图，为60的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M,N,且MP与所成的角等于NP与所成的角 (1)求证 MN分别与、所成角相等；(2)求MN与所成角 (1)证明 作NA于A，MB于B,连接AP、PB、BN、AM，再作ACl于C，BDl于D，连接NC、MD NA,MB,MPB、NPA分别是MP与所成角及NP与所成角，MNB，NMA分别是MN与,所成角，MPB=NPA 在RtMPB与RtNPA中，PM=PN，MPB=NPA，MPBNPA，MB=NA 在RtMNB与RtNMA中，MB=NA，MN是公共边，MNBNMA，MNB=NMA，即(1)结论成立 (2)解 设MNB=,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asin，NB=acos,MB,BDl,MDl,MDB是二面角l的平面角，MDB=60，同理NCA=60,BD=AC=asin,CN=DM=asin,MB，MPPN，BPPNBPN=90,DPB=CNP,BPDPNC,整理得，16sin416sin2+3=0解得sin2=,sin=，当sin=时，CN=asin= aPN不合理，舍去 sin=,MN与所成角为30 另法（向量法） 如图设的法向量为，的法向量为，模均为1，由题意，设，则，且所以或所以，MN分别与、所成角相等 学生巩固练习 1 在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( )A B C D 2 设ABC和DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,CBA=CBD=120,则AD与平面BCD所成的角为( )A 30B 45C 60D 753 已知AOB=90,过O点引AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45、60，则以OC为棱的二面角AOCB的余弦值等于_ 4 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_ 5 已知四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ABC=90,PA平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的长；(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；(3)求证 二面角BPCD为直二面角 6 设ABC和DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120，求 (1)直线AD与平面BCD所成角的大小；(2)异面直线AD与BC所成的角；(3)二面角ABDC的大小 7一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角 (1)求证 平面ABD平面ACD；(2)求AD与BC所成的角；(3)求二面角ABDC的大小 参考答案 1 解析 (特殊位置法）将P点取为A1，作OEAD于E，连结A1E，则A1E为OA1的射影，又AMA1E，AMOA1，即AM与OP成90角 答案 D2 解析 作AOCB的延长线，连OD，则OD即为AD在平面BCD上的射影，AO=OD=a,ADO=45 答案 B3 解析 在OC上取一点C，使OC=1，过C分别作CAOC交OA于A，CBOC交OB于B，则AC=1，OA=，BC=，OB=2，RtAOB中，AB2=6，ABC中，由余弦定理，得cosACB= 答案 4 解析 设一个侧面面积为S1，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为，由题设得，设侧面与底面所成二面角为,则cos=,=60 答案 605 (1)解 因为PA平面AC，ABBC,PBBC,即PBC=90,由勾股定理得PB= PC= (2)解 如图，过点C作CEBD交AD的延长线于E，连结PE，则PC与BD所成的角为PCE或它的补角 CE=BD=，且PE=由余弦定理得cosPCE=PC与BD所成角的余弦值为 (3）证明 设PB、PC中点分别为G、F，连结FG、AG、DF，则GFBCAD，且GF=BC=1=AD，从而四边形ADFG为平行四边形，又AD平面PAB，ADAG，即ADFG为矩形，DFFG 在PCD中，PD=，CD=，F为BC中点，DFPC从而DF平面PBC，故平面PDC平面PBC，即二面角BPCD为直二面角 另法（向量法） (略)6 解 (1)如图，在平面ABC内，过A作AHBC，垂足为H，则AH平面DBC，ADH即为直线AD与平面BCD所成的角 由题设知AHBAHD，则DHBH，AH=DH，ADH=45(2)BCDH，且DH为AD在平面BCD上的射影，BCAD，故AD与BC所成的角为90 (3)过H作HRBD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，ARBD，故ARH为二面角ABDC的平面角的补角 设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在HDB中，HR=a，tanARH=2故二面角ABDC大小为arctan2 另法（向量法） (略)7 (1)证明 取BC中点E，连结AE，AB=AC，AEBC平面ABC平面BCD，AE平面BCD，BCCD，由三垂线定理知ABCD 又ABAC，AB平面BCD，AB平面ABD 平面ABD平面ACD (2)解 在面BCD内，过D作DFBC，过E作EFDF，交DF于F，由三垂线定理知AFDF，ADF