福建福州高级中学高一数学解斜三角形的应用

福建省福州市高级中学高一数学解斜三角形的应用课题:解斜三角形的应用教学设计:创设数学情境是前提，提出问题是重点，解决问题是核心，应用数学知识是目的。本节教学中,我们充分利用课本的例题创设问题情景，旨在帮助学生学生从实际问题中抽象出数学模型，学会运用正弦定理和余弦定理解斜三角形，指导学生学会探索和归纳数学规律的思想方法和策略，培养学生的数学问题意识，养成从数学的角度发现和提出问题、形成独立思考的习惯，提高学生解决数学问题的能力，增强学生的创新意识和实践能力。充分利用学生资源，从多方位、多角度着手，让学生参与创造性的数学活动，让应用意识化为信念，伴随着学生的学习与生活，成为终生享用的财富。例题多解教学是发展学生的主体性，让学生成为解题方法的发现者，教师成为例题多解的策划者，课堂教学过程的控制者，学生解题方法的欣赏者评价者，学生思维发展的梳理升华者。教学目标:知识与能力:（1）使学生掌握利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的方法，学会分析在实际问题中何时运用正弦定理，何时运用余弦定理。（2）通过在解决实际问题中应用解斜三角形的知识，逐步培养学生发现问题、提出问题和明确探究方向的数学建模能力。过程与方法: （1）使学生会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法。（2）提高学生将实际问题转化为数学问题的能力,了解转化、化归与数形结合的数学思想方法. 情感态度价值观: 发挥学生的主体作用，让学生体验数学思维活动的过程和成功的喜悦，从而形成合作交流的学习气氛，。教学重点：解斜三角形在实际中的应用，关键是把实际问题转化为解三角形的问题来解决教学难点： 数学建模教学方法和教学手段：引导分析法，案例教学，以计算机辅助教学，应用软件：几何画板教学过程一创设问题情景阅读例题：例1 自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（图540）。已知车箱的最大仰角为60O，油泵顶点B与支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6O20，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）。 理解题意引导学生分析：实际问题：求油泵顶杆BC的长度。转化A 解三角形问题：在ABC中，已知AB=1.95m,AC=1.40m，CBAC=60+ 620=6620,求BC的长。图1链接基本类型：已知两边夹角，可用余弦定理解之。建立数学模型提问：ABC中，已知什么？要求什么？抽象出ABC，可化为：ABC中，AB=1.95,AC=1.40,A=66O20，求BC组织讨论求解启发思考：可用什么方法求BC。学生解答和教者讲评：属于已知两边夹角，求第三边归纳解斜三角形的“基法”，确立“知识支撑点” 电脑投影表格：解斜三角形基本类型一般解法一边两角先由内角和定理求第三角，再由正弦定理求另两边两边夹角先用余弦定理求第三边，再由正弦定理与内角和定理求角三边由余弦定理和内角和定理求角两边和其中一边的对角先由正弦定理求另一边的对角，再由内角和定理与正弦定理求其余的边和角或者由余弦定理和解一元二次方程求边（解的情况可以确定）（注：先给出基本类型，由学生回答一般解法，再对照投影）问题2：自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度。已知车箱的最大仰角为90O，油泵顶点B与支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6O20， 油泵顶杆BC与AB的夹角为45,计算BC的长（请问c点是唯一确定）在三角形ACD中，BDC=15, , BCD=120, CD=200，（问B点确定吗） 当重合时，(A、B、C、D四点在同一平面内)，求、之间的距离。求的距离可放在AC（或ADB）中求解 求边AC、BC（或AD、BD）在ACD中，利用正弦定理可求BC。点评：1、以上过程为分析过程，逆向即得解题步骤：分别求边AC、BC求边AB。余弦定理基本类型：两边夹角2、将实际问题转化为数学问题求解时，指导学生列出“解题表”。（介绍数学家G波利亚的解题表思想方法）展示学生的不同解法问题3：自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度。已知车箱的最大仰角为90O，油泵顶点B与支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6O20， 油泵顶杆BC与AB的夹角为45，求油泵顶点到的距离应用训练、转化能力，夯实“知识的强化点” 练1：要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是=3512和=4928,CD间的距离是11.12m已知测角仪器高1.52m，求烟囱的高（精确到0.01m）。点评：练，让学生列出“解题表”，试着将实际问题转化解三角形，将解三角形问题对应基本类型的解法上去，重点训练分析、转化的能力。练2： 如图所示，隔河看到两目标A、B，但不能到达，在岸边选取C、D两点，测得CD=200m，并测得ADC=105, BDC=15, ACD=30, BCD=120,(A、B、C、D四点在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。引导学生列表分析问题，灵活选用正弦定理和余弦定理：求AB的距离小结与思考，寻找“知识的深入点”解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解（将知识向能力转化，培养数学建模能力和解决问题中的创新精神）。课后学习，保持“知识的延伸点”提炼和整理运用解斜三角形的知识解决实际问题的一般方法。举一反三，变式训练，寻找题目间的相关点：练习1若货物与车底部的动摩擦力为0.3。求出车箱的最小倾斜角和BC的长。分析：根据货物克服摩擦力开始下滑时，求出车箱的倾斜角。 当时开始下滑： 当货物下滑时， （米） 作业：教材137 ， P120（优化） 7.8五教学反思解斜三角形在生产实践中有着广泛的应用，核心问题是将实际问题转化为解斜三角形的数学问题。本课中，从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材第五章5.10解三角形应用举例的例1。实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程