函数的值域和最值教案

函数的值域和最值教案【教学目标】1让学生了解求函数值域（最值）常用的方法；2让学生了解各种方法的适用题型，并能灵活运用各种方法解函数的值域【教学重点】直接法、利用函数单调性求值域（最值）、数形结合法【教学难点】判别式法和数形结合方法的使用【例题设置】例1（强调定义域的重要性），其它例题主要指出各种方法适用的题型及注意点【教学过程】第一课时例1已知函数（），求函数的最值错解：令，则当时，；当时，错因分析：当时，无意义产生错误的原因主要是忽略了定义域这个前提条件正解：由，得的定义域为，则当时，；当时，点评：1求函数的值域(最值)同样得在定义域上进行；2运用换元法解题时，一定要注意元的取值范围，这步较容易被忽略；3配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如的函数的值域问题，均可用此法解决该法常与换元法结合使用例2 求下列函数的值域： ；法一：（直接法）由，故，即原函数的值域为法二：（逆求法）由得，故，即原函数的值域为点评：1对于一些简单的函数可直接利用直接法求解即可；2若原函数中有某一元素的范围易确定，则常用“逆求法”来求值域，即用来表示该元素，通过该元素的范围来确定原函数的值域；法一：（换元法）令，则，故当时，；当时，无最小值原函数的值域为法二：由得原函数的定义域为，易知函数和在都为增函数，故原函数在也为增函数，故原函数的值域为 点评：求函数的解析应优先考虑直接法和判断函数的单调性；这里可能只有极少学生会考虑到限制的范围，可结合后面去绝对值，强调限制的范围的必要性解：由得原函数的定义域为，设，则，即原函数的值域为点评：用三角换元时，在不改变的范围的前提下，应尽可能缩小的范围，这样可以避免一些不必要的讨论，如本题中的去绝对值解：由得，则该方程有解当时，方程可化为，方程有解，符合题意当时，要使方程有解，当且仅当，解得，且综上所述，即原函数的值域为1思考：该题为什么不采用判别式法？若用判别式法，则所方程应是在上有解，情况较为复杂2该法采用了换元法，这要比拼凑法和待定系数法更容易让学生接受解：令，则，故当且仅当且，即时取等号另一方面，当时，故原函数无最大值原函数的值域为点评：当函数的定义域为时才比较适用判别法【课堂小结】1求函数的值域(最值)同样得在定义域上进行；2本节课我们复习了函数值域（最值）的几种较为常见的方法直接法：一些简单的函数可利用该法求解；配方法：求“二次函数类”值域的基本方法，该法常与换元法结合使用；换元法：包括代数换元和三角换元，运用换元法解题时，一定要注意元的取值范围换元法很多时候可以很大程度的简化解题过程，如例2；逆求法：若原函数中有某一元素的范围易确定，用来表示该元素，通过该元素的范围来确定原函数的值域；不等式法：利用均值不等式求最值时，一定要注意“正、定、等”三个条件缺一不可；判别式法：该法只有当定义域为时才比较适用；利用函数的单调性（注意导数的应用）；具体解题中应优先考虑直接法或判断函数的单调性【教后反思】第二课时例3求下列函数的值域解：表示数轴上点到与2的距离之和，故，即原函数的值域为解：表示数轴上点到3的距离与点到的距离的差，故，即原函数的值域为解：表示动点到两定点的距离之和，由图象分析知：，当时，故原函数的值域为 点评：利用函数的几何意义，是解决这类特殊函数的较为简便的方法例4实数满足，求以下各式的最值：；解：因实数满足，故圆可看作点的可行域令，即，表示目标函数中的斜率，由图可知，即， 令，即，表示目标函数中的纵截距由，解得，故令，即，目标函数过定点，表示目标函数中的斜率，由得，故点评：用线性归划的观点解决该类函数的关键在于抓住可行域，并弄清所求的东西在目标函数中表示什么变式：求函数的值域解：，表示动点与定点连线的斜率，而动点的轨迹为单位圆，由图象分析知：，即原函数的值域为【课堂小