北京人大附中高考数学信息卷二文

北京市人大附中2019届高考信息卷(二)文科数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知复数满足，则复数在复平面内表示的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化为的形式，由此确定所在象限.【详解】依题意，对应点在第一象限，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点所在的象限，属于基础题.2.已知，则在，中最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，可以比较四个数的大小，进而得到在ab，ba，aa，bb的最大值【详解】0ba0,2的最小正周期为，其图象向左平移6个单位后所得图象关于y轴对称，则fx的单调递增区间为（ ）A. 512+k,12+k，kZB. 3+k,6+k，kZC. 512+2k,12+2k，kZD. 12+k,512+k，kZ【答案】B【解析】【分析】利用函数fx的周期为可求得=2，再求出函数fx图象平移后的解析式y=sin2x+3+，由其图象关于y轴对称可求得=6，结合三角函数性质即可求得fx的增区间，问题得解。【详解】由fx的最小正周期为，所以=2，fx的图象向左平移6个单位后所得图象对应的函数为y=sin2x+3+，因其图象关于y轴对称，所以3+=k+2，kZ，因为0，6Sn=an2+3an4(nN*),bn=1an1an+11，若对任意的nN ,kTn恒成立，则的最小值为（ ）A. 13B. 19C. 112D. 115【答案】B【解析】【分析】先根据和项与通项关系得数列an递推关系式，根据等差数列定义以及通项公式得an，再根据裂项相消法求Tn，最后根据Tn最值得结果.【详解】因为6Sn=an2+3an-4，所以6Sn+1=an+12+3an+1-4，相减得6an+1=an+12+3an+1-an2-3an，因为an0，所以an+1-an=3，又6S1=a12+3a1-4，所以6a1=a12+3a1-4, 因为a10，所以a1=4,因此an=3n+1，bn=1(an-1)(an+1-1)=19n(n+1)=19(1n-1n+1),从而Tn=191-1n+1MF1.因M为椭圆上一点，所以a-cMF2a+c，即a-c2a2a+c0，所以e2+2e-10，解得2-1e0,b0的左、右焦点，P是双曲线的右支上的点，满足PF2=F1F2，且原点O到直线PF1的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的离心率为_【答案】53【解析】【分析】取PF1的中点为M，连接F2M，利用已知条件可得F2M=2a,F1M=a+c且F2MF1为直角三角形，从而a+c2+4a2=4c2，故可得所求的离心率【详解】设F1F2=2c，则PF2=2c，故PF1=2a+2c取PF1的中点为M，连接F2M，则F2MPF1，故F2M是O到PF1距离的两倍，所以F2M=2a，在F2MF1中，有a+c2+4a2=4c2，所以a+c=2b，两边平方有5a2+2ac3c2=0即3e22e5=0，所以e=53，填53【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于a,b,c的一个等式关系而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于a,b,c的不等式或不等式组14.已知函数fx=sinx(0)在区间(2,32)上至少有2个不同的极小值点，则的取值范围是_【答案】(73,3)(113,+)【解析】【分析】利用换元法，结合正弦函数的图像，可求的取值范围.【详解】设t=x，由0,x(2,32)可得t(2,32),作出y=sint的图像如下：结合图像，当函数fx=sinx(0)在区间(2,32)上有2个不同的极小值点时，272，解得73112，解得113.综上可得的取值范围是(73,3)(113,+).【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，数形结合是常用手段.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C3asin Cbc0.(1)求A；(2)若AD为BC边上的中线，cos B17，AD1292，求ABC的面积【答案】（1）A60；（2）103【解析】【分析】(1)利用正弦定理，把边化为角，结合辅助角公式可求；(2)利用三角形内角关系求出sinC，结合正弦定理求出a,c关系，利用余弦定理可求a,c.【详解】(1)acos C3asin Cbc0，由正弦定理得sin Acos C3sin Asin Csin Bsin C，即sin Acos C3sin Asin Csin(AC)sin C，又sin C0，所以化简得3sin Acos A1，所以sin(A30)12.在ABC中，0A180，所以A3030，得A60.(2)在ABC中，因为cos B17，所以sin B437.所以sin Csin(AB)3217124375314.由正弦定理得，ac=sinAsinC=75.设a7x，c5x(x0)，则在ABD中，AD2AB2BD22ABBDcos B，即129425x21449x225x127x17，解得x1，所以a7，c5，故SABC12acsin B103.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，合理选择公式是求解的关键.16.已知数列nan1的前n项和Sn=n，nN*.（）求数列an的通项公式；（）令bn=2n+1(an1)2(an+11)2，数列bn的前n项和为Tn，求证：对于任意的nN*，都有Tn1.【答案】（）an=n+1（nN*）.（）见证明【解析】【分析】（）根据和项与通项关系可得an，（）根据裂项相消法求Tn，即证得结果.【详解】（）因为Sn=n ；当n2时，Sn-1=n-1 由- 得nan-1=1，故an=n+1 又因为a1=2适合上式，所以an=n+1（nN*）. （）由（）知, bn=2n+1(an-1)2(an+1-1)2=2n+1n2(n+1)2=1n2-1(n+1)2,Tn=112-122+122-132+.+1n2-1(n+1)2=1-1(n+1)2 所以Tnb0)的离心率为12，M是椭圆C的上顶点，F1，F2是椭圆C的焦点，MF1F2的周长是6（）求椭圆C的标准方程；（）过动点P（1，t）作直线交椭圆C于A，B两点，且|PA|=|PB|，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标【答案】（）x24+y23=1；（）详见解析.【解析】【分析】（）由题得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆C的标准方程；（）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为yt=kx1，进一步求出直线的方程为y=1kx14，所以直线恒过定点14,0.当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，此时直线为x轴，也过14,0.综上所述直线恒过点14,0.【详解】解：（）由于M是椭圆C的上顶点，由题意得2a+2c=6，又椭圆离心率为12，即ca=12，解得a=2，c=1，又b2=a2c2=3，所以椭圆C的标准方程x24+y23=1。（）当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为yt=kx1，联立3x2+4y2=12yt=kx1，得3+4k2x2+8ktkx+4tk212=0，由题意，0，设Ax1,y1,Bx2,y2，则x1+x2=8ktk3+4k2，因为PA=PB，所以P是AB的中点即x1+x22=1，得8ktk3+4k2=2，3+4kt=0 又lAB，l的斜率为1k，直线的方程为yt=1kx1 把代入可得：y=1kx14所以直线恒过定点14,0.当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，此时直线为x轴，也过14,0.综上所述直线恒过点14,0【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆中直线的定点问题，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知函数f（x）=aex图象在x=0处的切线与函数g（x）=lnx图象在x=1处的切线互相平行（）求a的值；（）设直线x=t（t0）分别与曲线y=f（x）和y=g（x）交于P，Q两点，求证：|PQ|2【答案】（）a=1；（）见解析【解析】【分析】（）根据导数的几何意义可知，在某点处的切线的斜率即为该点处的导数值；（）由题意|PQ|=|et-lnt|，构造新函数h（x）=ex-lnx，x0，利用导数求解新函数的最小值，可证结论.【详解】（）由f（x）=aex，得f（x）=aex，所以f（0）=a，由g（x）=lnx，得gx=1x，所以g（1）=1，由已知f（0）=g（1），得a=1，经检验，a=1符合题意（）由题意|PQ|=|et-lnt|，t0，设h（x）=ex-lnx，x0，则hx=ex1x，设x=ex1x，则x=ex+1x20，所以（x）在区间（0，+）单调递增，又（1）=e-10，12=e20，所以（x）在区间（0，+）存在唯一零点，设零点为x0，则x012，1，且ex0=1x0当x（0，x0）时，h（x）0；当x（x0，+），h（x）0所以，函数h（x）在（0，x0）递减，在（x0，+）递增，hxhx0=ex0lnx0=1x0lnx0，由ex0=1x0，得lnx0=-x0，所以hx0=1x0+x02，由于x012，1，h（x0）2从而h（x）2，即ex-lnx2，也就是et-lnt2，|et-lnt|2，即|PQ|2，命题得证【点睛】本题主要考查函数与导数，利用导数解决切线问题时，注意利用导数的几何意义，即在某点处的切线的斜率即为该点处的导数值.20.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD=135，侧面PAB底面ABCD，PAAB，AB=AC =PA =2，E，F分别为BC，AD的中点，过EF的平面与面PCD交于M，N两点（1）求证：EF/MN；（2）求证：平面EFMN平面PAC； （3）设DMDP=，当为何值时四棱锥MEFDC的体积等于1，求的值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）=34【解析】【分析】（1）先证明EF/CD,从而得到线面平行，进而得到EF/MN；（2）利用面面垂直得到线面垂直，进而得到PAEF,结合平行四边形的特点可得ACEF，从而得到EF平面PAC，可证结论；（3）利用体积可得几何体的高，利用高之比可得.【详解】（1）在平行四边形ABCD中 ，由E，F分别为BC，AD的中点，得EF/CD，CD平面PCD，EF平面PCD，EF/平面PCD，过EF的平面EFMN与面PCD交于MN，EF/MN（2）在平行四边形A