北京朝阳区高考数学保温1理

2017北京市朝阳区高考数学保温试卷（理科）（1）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合A=x|x2，B=x|（x1）（x3）0，则AB=（）Ax|x1Bx|2x3Cx|1x3Dx|x2或x12若a，bR，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（）Aa=1，b=1Ba=1，b=1Ca=1，b=1Da=1，b=13下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是（）Aab+1Bab1Ca2b2Da3b34执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，b=1，那么输出的值等于（）A21B34C55D895在的二项展开式中，x2的系数为（）ABCD6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（）ABCD7设圆C的圆心在双曲线=1（a0）的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线l：xy=0截得的弦长等于2，则a的值为（）ABC2D38定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）f（x）=0，且在1，0上单调递增，设a=f（log32），b=f（log2），c=f（），则a，b，c的大小关系是（）AabcBacbCbcaDcba二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9抛物线y2=4x与直线x=1围成的封闭区域的面积为 10若x，y满足约束条件，则x+2y的取值范围是 11若非零向量，满足|+|=|+|，则向量，的夹角为 12在等差数列an中，若a5+a7=4，a6+a8=2，则数列an的公差等于 ；其前n项和Sn的最大值为 13直线与圆x2+y2=1相交于A、B（其中a、b为实数），且AOB=（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最大值为 14正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱BC，CC1上不与正方体顶点重合的动点，用平面AMN截正方体，下列关于截面的说法正确的有 若BM=C1N，则截面为等腰梯形若BM=CM，且时，截面为五边形截面的面积存在最大值截面的面积存在最小值三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次数第1次第2次第3次第4次5次收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：消费次数1次2次3次4次5次频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元根据所给数据，解答下列问题：（）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（）假设每个会员最多消费5次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X的分布列和数学期望E（X）16已知函数y=2cos（x+）（xR，0，0）的图象与y轴相交于点M（0，），且该函数的最小正周期为（1）求和的值；（2）已知点A（，0），点P是该函数图象上一点，点Q（x0，y0）是PA的中点，当y0=，x0，时，求x0的值17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD=60，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2（）求证：AD平面PQB；（）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA平面MQB；（）若PA平面MQB，平面PAD平面ABCD，求二面角MBQC的大小18已知平面上两个定点、，P为一个动点，且满足（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若A、B是轨迹C上的两个不同动点分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其交点为Q，证明为定值19设函数f（x）=xalnx（aR）（）讨论函数f（x）的单调性（）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）的直线斜率为k问：是否存在a，使得k=2a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由20如图，设A是由nn个实数组成的n行n列的数表，其中au（i，j=1，2，3，n）表示位于第i行第j列的实数，且au1，1记S（n，n）为所有这样的数表构成的集合对于AS（n，n），记ri（A）为A的第i行各数之积，cj（A）为A的第j列各数之积令l（A=（A）+（A）（）请写出一个As（4，4），使得l（A）=0；（）是否存在AS（9，9），使得l（A）=0？说明理由；（）给定正整数n，对于所有的AS（n，n），求l（A）的取值集合a11a12a1na21a22a2nan1an2ann2017北京市朝阳区高考数学保温试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合A=x|x2，B=x|（x1）（x3）0，则AB=（）Ax|x1Bx|2x3Cx|1x3Dx|x2或x1【考点】1E：交集及其运算【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由B中不等式解得：1x3，即B=x|1x3，A=x|x2，AB=x|2x3，故选：B2若a，bR，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（）Aa=1，b=1Ba=1，b=1Ca=1，b=1Da=1，b=1【考点】A3：复数相等的充要条件【分析】根据所给的关于复数的等式，整理出等式左边的复数乘法运算，根据复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等，得到a，b的值【解答】解：（a+i）i=b+i，ai1=b+i，a=1，b=1，故选C3下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是（）Aab+1Bab1Ca2b2Da3b3【考点】29：充要条件【分析】利用不等式的性质得到ab+1ab；反之，通过举反例判断出ab推不出ab+1；利用条件的定义判断出选项【解答】解：ab+1ab；反之，例如a=2，b=1满足ab，但a=b+1即ab推不出ab+1，故ab+1是ab成立的充分而不必要的条件故选：A4执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，b=1，那么输出的值等于（）A21B34C55D89【考点】EF：程序框图【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，b=1，执行循环体，a=2，b=3，不满足条件b50，执行循环体，a=5，b=8不满足条件b50，执行循环体，a=13，b=21，不满足条件b50，执行循环体，a=34，b=55，满足条件b50，退出循环，输出的值为55故选：C5在的二项展开式中，x2的系数为（）ABCD【考点】DA：二项式定理【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为2，求出展开式中，x2的系数，即得答案【解答】解：展开式的通项为Tr+1=（1）r22r6C6rx3r令3r=2得r=1所以项展开式中，x2的系数为故选C6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（）ABCD【考点】HP：正弦定理【分析】由内角和定理及诱导公式知sin（A+B）=sinC=，再利用正弦定理求解【解答】解：A+B+C=，sin（A+B）=sinC=，又a=3，c=4，=，即=，sinA=，故选B7设圆C的圆心在双曲线=1（a0）的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线l：xy=0截得的弦长等于2，则a的值为（）ABC2D3【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合【分析】圆C的圆心C（，0），双曲线的渐近线方程为xay=0，再由C到渐近线的距离可求出圆C方程+y2=2由l被圆C截得的弦长是2及圆C的半径为可知=1，由此能求出a的值【解答】解：圆C的圆心C（，0），双曲线的渐近线方程为xay=0，C到渐近线的距离为d=，故圆C方程+y2=2由l被圆C截得的弦长是2及圆C的半径为可知，圆心C到直线l的距离为1，即=1，a=故选A8定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）f（x）=0，且在1，0上单调递增，设a=f（log32），b=f（log2），c=f（），则a，b，c的大小关系是（）AabcBacbCbcaDcba【考点】3Q：函数的周期性；3F：函数单调性的性质【分析】推导出f（x）的周期为2，在0，1上单调递减，log2=log32，log321，由此能求出结果【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）f（x）=0，且在1，0上单调递增，f（x）的周期为2，在0，1上单调递减，log2=log32，log321，c=f（）=f（）=f（），b=f（log2）=f（）=f（），f（）=f（）=f（），log32，bca故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9抛物线y2=4x与直线x=1围成的封闭区域的面积为【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】方法一：求得交点坐标，对x积分，根据定积分的运算，即可求得答案；方法二：求得交点坐标，对y积分，根据定积分的运算，即可求得答案【解答】解：方法一：，解得：，则A（1，2），B（1，2），S=2dx=2=，抛物线y2=4x与直线x=1围成的封闭区域的面积，故答案为：方法二：，解得：，则A（1，2），B（1，2），S=dy=2dy=2=，抛物线y2=4x与直线x=1围成的封闭区域的面积，故答案为：10若x，y满足约束条件，则x+2y的取值范围是3，7 【考点】7C：简单线性规划【分析】利用已知条件画出可行域，关键目标函数的几何意义求最值【解答】解：由约束条件得到可行域如图：设z=x+2y则y=，当此直线经过图中A（1，1）时直线在y轴的截距最小，z最小，经过C（1，3）时，直线在y轴的截距最大，z最大，所以x+2y的最小值为1+2=3，最大值为1+23=7，所以x+2y的取值范围为：3，7；故答案为：3，711若非零向量，满足|+|=|+|，则向量，的夹角为0【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】把已知向量等式两边平方，化简可得向量，的夹角【解答】解：由|+|=|+|，两边平方得：，得，得cos=1，则向量，的夹角为0故答案为：012在等差数列an中，若a5+a7=4，a6+a8=2，则数列an的公差等于3；其前n项和Sn的最大值为57【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式【分析】等差数列an中，由a5+a7=4，a6+a8=2，解得a1=17，d=3，由此求出Sn=n2+，再用配方法能够求出Sn的最大值【解答】解：等差数列an中，a5+a7=4，a6+a8=2，解得a1=17，d=3，Sn=17n+=17n+=n2+=（n）2+，当n=6时，Sn取最大值S6=57故答案为：3，5713直线与圆x2+y2=1相交于A、B（其中a、b为实数），且AOB=（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最大值为【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】根据直线和圆的位置关系以及两点间的距离公式即可得到结论【解答】解：AOB=（O是坐标原点），圆心到直线ax+by=的距离d=即，整理得2a2+b2=3，则点P（a，b）与点Q（1，0）之间距离d1=则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最大值为故答案为：14正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱BC，CC1上不与正方体顶点重合的动点，用平面AMN截正方体，下列关于截面的说法正确的有若BM=C1N，则截面为等腰梯形若BM=CM，且时，截面为五边形截面的面积存在最大值截面的面积存在最小值【考点】L2：棱柱的结构特征【分析】画出正方体，根据动点M，N的不同位置动点不同 的截面；M，N分别是棱BC，CC1上不与正方体顶点重合的动点，考虑极限位置时 的截面形状以及面积极限判断【解答】解：对于，如图1，若BM=C1N，则MNAD1，D1N=AM，截面AMND1为等腰梯形，故正确；对于，如图2，若BM=CM，且时，设截面与棱C1D1的交点为R，延长DD1，使DD1NR=N1，连接AN1交A1D1于S，连接SR，可证ANPQ，由NRD1QRC1，可得C1R：D1R=C1N：D1N1，截面为五边形故正确； 对于，当BM=C1N0时，过点A，M，N的截面矩形，其面积接近最大，M，N分别是棱BC，CC1上不与正方体顶点重合的动点，BM=C1N0，截面的面积不存在最大值，故错误；对于，当BMBC时CN0时，截面等边三角形，边长为，面积，又M，N分别是棱BC，CC1上不与正方体顶点重合的动点，所以截面面积不存在最小值；故错误；故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次数第1次第2次第3次第4次5次收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：消费次数1次2次3次4次5次频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元根据所给数据，解答下列问题：（）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（）假设每个会员最多消费5次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X的分布列和数学期望E（X）【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】（I）根据频数计算频率，得出概率；（II）根据优惠标准计算平均利润；（III）求出各种情况对应的X的值和概率，得出分布列，从而计算出数学期望【解答】解：（I）随机抽取的100位会员中，至少消费两次的会员有20+10+5+5=40，该公司一位会员至少消费两次的概率为P=（II）第一次消费时，公司获取利润为200150=50元，第二次消费时，公司获取利润为2000.95150=40元，求这两次消费中，公司获得的平均利润为=45元（III）若会员消费1次，平均利润为50元，若会员消费2次，平均利润为45元，若会员消费3次，平均利润为为40元，若会员消费4次，平均利润为35元，若会员消费5次，平均利润为30元，X的可能取值为50，45，40，35，30，P（X=50）=，P（X=45）=，P（X=40）=，P（X=35）=，P（X=30）=X的分布列为： X 50 45 40 35 30 P E（X）=50+45+40+35+30=46.2516已知函数y=2cos（x+）（xR，0，0）的图象与y轴相交于点M（0，），且该函数的最小正周期为（1）求和的值；（2）已知点A（，0），点P是该函数图象上一点，点Q（x0，y0）是PA的中点，当y0=，x0，时，求x0的值【考点】HK：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】（1）将M坐标代入已知函数，计算可得得cos，由范围可得其值，由=结合已知可得值；（2）由已知可得点P的坐标为（2x0，）代入y=2cos（2x+）结合x0，和三角函数值得运算可得【解答】解：（1）将x=0，y=代入函数y=2cos（x+）得cos=，0，=由已知周期T=，且0，=2（2）点A（，0），Q（x0，y0）是PA的中点，y0=，点P的坐标为（2x0，）又点P在y=2cos（2x+）的图象上，且x0，cos（4x0）=，4x0，从而得4x0=，或4x0=，解得x0=或17如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD=60，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2（）求证：AD平面PQB；（）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA平面MQB；（）若PA平面MQB，平面PAD平面ABCD，求二面角MBQC的大小【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；LS：直线与平面平行的判定；LW：直线与平面垂直的判定【分析】（）证明ADBQ，ADPQ，利用线面垂直的判定，可得AD平面PQB；（）利用PA平面MQB，可得MNPA，利用比例关系，即可得到结论；（）证明PQ平面ABCD，建立空间直角坐标系，求出平面MQB的法向量=，取平面ABCD的法向量=（0，0，1），利用向量的夹角公式，即可求得二面角MBQC的大小【解答】（）证明：连接BD因为四边形ABCD为菱形，BAD=60，所以ABD为正三角形又Q为AD中点，所以ADBQ因为PA=PD，Q为AD的中点，所以ADPQ又BQPQ=Q，所以AD平面PQB（）解：当时，PA平面MQB下面证明：连接AC交BQ于N，连接MN因为AQBC，所以因为PA平面MQB，PA平面PAC，平面MQB平面PAC=MN，所以MNPA，所以，所以，即 （）解：因为PQAD，平面PAD平面ABCD，交线为AD，所以PQ平面ABCD以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Qxyz由PA=PD=AD=2，则有A（1，0，0），设平面MQB的法向量为=（x，y，z），由，且，可得令z=1，得所以=为平面MQB的一个法向量 取平面ABCD的法向量=（0，0，1），则=，故二面角MBQC的大小为6018已知平面上两个定点、，P为一个动点，且满足（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若A、B是轨迹C上的两个不同动点分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其交点为Q，证明为定值【考点】J3：轨迹方程；K6：抛物线的定义；KH：直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）先设P（x，y），欲动点P的轨迹C的方程，即寻找x，y之间的关系，结合向量的坐标运算即可得到（2）先设出A，B两点的坐标，利用向量关系及向量运算法则，用A，B的坐标表示出，最后看其是不是定值即可【解答】解：（I）设P（x，y）由已知，4y+8=4整理，得x2=8y即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x2=8y（II）由已知N（0，2）即得（x1，2y1）=（x2，y22）将（1）式两边平方并把x12=8y1，x22=8y2代入得y1=2y2解（2）、（3）式得，且有x1x2=x22=8y2=16抛物线方程为所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是，即y=解出两条切线的交点Q的坐标为所以=所以为定值，其值为019设函数f（x）=xalnx（aR）（）讨论函数f（x）的单调性（）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）的直线斜率为k问：是否存在a，使得k=2a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6C：函数在某点取得极值的条件【分析】（）求导，令导数等于零，解方程，跟据f（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（）假设存在a，使得k=2a，根据（I）利用韦达定理求出直线斜率为k，根据（I）函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题【解答】解：（I）f（x）定义域为（0，+），f（x）=1+，令g（x）=x2ax+1，=a24，当2a2时，0，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增，当a2时，0，g（x）=0的两根都小于零，在（0，+）上，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增，当a2时，0，g（x）=0的两根为x1=，x2=，当0xx1时，f（x）0；当x1xx2时，f（x）0；当xx2时，f（x）0；故f（x）分别在（0，x1），（x2，+）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减（）由（I）知，a2因为f（x1）f（x2）=（x1x2）+a（lnx1lnx2），所以k=1+a，又由（I）知，x1x2=1于是k=2a，若存在a，使得k=2a，则=1，即lnx1lnx2=x1x2，亦即 （*）再由（I）知，函数在（0，+）上单调递增，而x21，所以112ln1=0，这与（*）式矛盾，故不存在a，使得k=2a20如图，设A是由nn个实数组成的n行n列的数表，其中au（i，j=1，2，3，n）表示位于第i行第j列的实数，且au1，1记S（n，n）为所有这样的数表构成的集合对于AS（n，n），记ri（A）为A的第i行各数之积，cj（A）为A的第j列各数之积令l（A=（A）+（A）（）请写出一个As（4，4），使得l（A）=0；（）是否存在AS（9，9），使得l（A）=0？说明理由；（）给定正整数n，对于所有的AS（n，n），求l（A）的取值集合a11a12a1na21a22a2nan1an2ann【考点】57：函数与方程的综合运用【分